重庆市育才中学高2014级一轮复习学案(理科数学)40抛物线(教师版).pdf
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1、重庆市育才中学高2014 级一轮复习学案40 抛物线第 79 页 40 抛物线姓名 一、学习内容:选修2-1P5765 二、课标要求: 1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 2.了解圆锥曲线的简单应用. 三、基础知识 1抛物线的定义:平面内与一定点和一条定直线的的点的轨迹叫抛物线 2抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程 图形标准方程焦点坐标准线方程 3. 抛物线y 22px( p0)的几何性质 (1)离心率: e. (2)p 的几何意义: (3)焦半径: |MF |,其中 M(x0,y0)在抛物线上 (4)焦点弦 AB 长:设A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|; 12
2、 |ABxxp (1) y 1y2=-p 2 , 12 x x= 2 4 p ; 重庆市育才中学高2014 级一轮复习学案40 抛物线第 80 页 设直线AB 倾斜角为 ,则 |AB|, 2 2 (); sin p AB 为直线的倾斜角 特别地,当 90 时, AB 为抛物线的通径,此时 |AB|. 2 2sin AOB p S ; (表示成P与 的关系式)4. 焦点弦问题 已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,A(x1,y1)、B(x2,y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点,且直 线 AB 的倾斜角为 ,求证: (1)y1y2 p2,x1x2p 2 4 ;(2)|AB|x1x2p 2p
3、 sin 2. 【解析】(1)由已知抛物线的焦点F(p 2,0),设直线方程为 xmy p 2 ,由 xmy p 2 y 22px, 得 y22pmyp20(*) 4p2m 24p20,y 1y2 p 2,x 1x2 y 2 1 2p y 2 2 2p y1y2 2 4p 2 p 2 2 4p 2 p 2 4 . (2)由抛物线的定义易得|AB| |AF| |BF| x1 p 2x2 p 2x1x2p,由方程 (*) 得 y1y22pm, x1x2m(y1y2)p2pm 2p, 为直线 AB 的倾斜角,则 mcot , |AB|2p(cot2 1)2pcsc2 2p sin 2. 【注意】(1
4、)本题还有以下结论: SAOB p 2 2sin . 1 |AF| 1 |BF| 2 p(定值 )以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 【点评】 1.解决直线与抛物线问题时,要注意以下几点: (1)设抛物线上的点为(x1,y1),(x2,y2); (2)因为 (x1,y1),(x2,y2)在抛物线上,故满足y 2 12px1,y 2 22px2; (3)利用 y 2 1y 2 24p 2x 1x2可以整体得到 y1y2或 x1x2. 2利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径的和,转化为到准线的距离,再求解 四、基础练习 1(2011陕西文 )设抛物线的顶点在原点,准线方程为x 2,则抛物
5、线的方程是(C) Ay 2 8x By 2 4x C y 2 8x Dy 24x 2求下列各抛物线的方程: 顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,且经过点M(2, 4); 【答案】 x2 8y. 顶点在坐标原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点Q(m, 3)到焦点的距离等于5.【答案】x2 3y. 【解析】设抛物线方程为y2mx 或 x2 ny(m0,n0),则 (4)2 m(2)或( 2)2n( 重庆市育才中学高2014 级一轮复习学案40 抛物线第 81 页 4)? m 8 或 n 1,所求抛物线的方程为y 2 8x 或 x2 y. 由题意, 抛物线开口向下, 故设其方程为x 2 2py(p0),
6、则准线方程为 yp 2,又设焦点为 F, 则|QF| p 2 y0,即 p 2(3)5? p4,故抛物线的方程为 x2 8y. 3动直线l 的倾斜角为60 ,若直线l 与抛物线x22py(p0)交于 A,B 两点,若A,B 两点的横坐 标之和为3,则抛物线的方程为_ 【解】设直线 l 的方程为y3xb,联立 y3xb x 22py ,消去 y,得 x22p(3xb),即 x 22 3px2pb0, x 1x22 3p3, p 3 2 ,抛物线的方程为x23y. 【点评】求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外,还可以利用统一方程法,对于 焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2a
7、x(a0),a 的正负由题设来定,也就是说,不必 设为 y22px 或 y2 2px(p0),这样能减少计算量,同理,焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设 为 x 2ay(a0) 4(2011 广东文 )设圆 C 与圆 x 2(y3)21 外切,与直线 y0 相切,则C 的圆心轨迹为() A抛物线B双曲线C椭圆D圆 【解析】设圆心 C(x,y),由题意得x0 2 y32y1(y0),化简得 x28y8. 5(2010 重庆文 )已知过抛物线y 24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点, |AF|2,则 |BF| _ 【答案】 【解析】设点 A,B 的横坐标分别是x1,x2,则依题意有
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