重庆市育才中学高2014级一轮复习学案(理科数学)65推理与证明(教师版).pdf
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1、重庆市育才中学高2014 级一轮复习案65 推理与证明第 127 页 65 推理与证明 一、学习内容:选修22,P109132;选修 45,P2631; 二、课标要求: (1)合情推理与演绎推理:了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理掌握 演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理了解合情推理和演绎推理之间的联 系和差异 (2)直接证明与间接证明:了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法;了解分析法和综 合法的思考过程、 特点了解间接证明的一种基本方法反证法;了解反证法的思考过程、 特点 (3)数学归纳法:了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 三、基础知
2、识 1. 合情推理 (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理. 简言之,归纳推理是由部分到 整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也 具有这些特征的推理称为类比推理. 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想, 再进行 归纳、类比 , 然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理. 2. 演绎推理 (1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出
3、某个特殊情况下的结论, 我们把这种推理称为演绎推理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: 、大前提已知的一般原理; 、小前提所研究的特殊情况; 、结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断 1. 证明 (1)证明分为直接证明与间接证明. 直接证明包括综合法、分析法等;间接证明主要是反证法. (2)综合法 : 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证, 最后 推导出所要证明的结论成立, 这种证明方法叫做综合法. (3)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明 的结论归结为判定一个
4、明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等). 这种证明的方法 叫做分析法 . (4)反证法:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理, 最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. 2. 直接证明 (1)综合法是“由因导果”,它是从已知条件出发,顺着推证,经过一系列的中间推理,最后导出 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案65 推理与证明第 128 页 所证结论的真实性. 用综合法证明题的逻辑关系: (A为已知条件或数学 定义、定理、公理,B为要证结论 ), 它的常见书面表达是“,. (2)分析法是“执果索因”,它是从
5、要证的结论出发,倒着分析,逐渐地靠近已知. 3. 间接证明 用反证法证明问题的一般步骤: 、反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论) 、归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾与已知条件、已知的 公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾) 、结论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误. 既然结论的反面不成立, 从而肯定了结论成立.( 结论成立 ) 3数学归纳法的适证对象 数学归纳法是用来证明关于命题的一种方法,若n0是起始值,则n0是 4数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时,其步骤如下: (1)当 n(n0N
6、*)时,验证命题成立: (2)假设 n时命题成立,推证n时命题也成立,从而推出对所 有的 nn0,nN 命题成立,其中第一步是 ,第二步是,二者缺一不可 四、典型例题分析 1、 (2013 湖北理 14) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1,3,6, 10, 第n个三角形数为 2(1)11 222 n n nn. 记第n个 k 边形数为 ( , ) (3)N n kk,以下列出 了部分 k 边形数中第n个数的表达式: 三角形数 211 ( ,3) 22 N nnn , 正方形数 2 ( ,4)N nn , 五边形数 231 ( ,5) 22 N nn n , 六边形
7、数 2 ( ,6)2N nn n , 可以推测( , )N n k 的表达式,由此计算(10,24)N_. 1000 2、 (2013 陕西理 14) . 观察下列等式: 2 11 22 123 222 1263 2222 124310 照此规律 , 第 n 个等式可为. ) 1( 2 )1- n1-32-1 1 21 -n222 nn n ( )( 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案65 推理与证明第 129 页 3、 (2013 四川理15) 设 12 , n P PP为平面内的n个点,在平面内的所有点中,若点P到 12 , n P PP点的距离之和最小,则称点P为 12 , n P
8、PP点的一个“中位点” 例如,线段AB上的 任意点都是端点,A B的中位点则有下列命题: 若,A B C三个点共线,C在线段上,则C是,A B C的中位点; 直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点; 若四个点,A B C D共线,则它们的中位点存在且唯一; 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点 其中的真命题是_ (写出所有真命题的序号) 4、 (2013 广东理 19) .(本小题满分14 分) 设数列 an的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,.*, 3 2 3 1 2 2 1 Nnnna n S n n (1)求 a2的值 (2)求数列 an的通项公式a1 (3)证明:
9、对一切正整数n,有. 4 7111 21n aaa 【解析】 () 依题意 , 12 12 21 33 Sa,又111Sa,所以24a; () 当2n时, 32 1 12 2 33 nn Snannn, 32 1 12 21111 33 nn Snannn 两式相减得 2 1 12 2133121 33 nnn ananannn 整理得 1 11 nn nanan n,即 1 1 1 nn aa nn ,又 21 1 21 aa 故数列 n a n 是首项为 1 1 1 a ,公差为1的等差数列 , 所以111 n a nn n ,所以 2 n an. () 当 1n 时, 1 17 1 4a
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