重庆市育才中学高2014级一轮复习学案(理科数学)71空间向量及运算(教师版).pdf
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1、重庆市育才中学高2014 级一轮复习案71 空间向量及运算第 157 页 71 空间向量及运算 一、学习内容:选修2-1 P102113 二、课标要求: 1了解空间向量的概念了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐 标表示 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,能判断向量的共线 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的垂直 三、基础知识 1把空间中具有和的量叫向量 2 (1) 共 线 向 量 定 理 : 对 于 空 间 任 意 两 个 向 量a , b(b0) , a b 的 充 要 条 件 是. (2)共面向量定理:如果两个向量a、b 不共线,则
2、向量p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实 数对 x、y,使 _ _. 3空间向量基本定理 如果三个向量a、b、 c 不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组x, y, z, 使. 推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x、y、 z,使 OP . 4两个向量的数量积非零向量a、b 的数量积: a b 向量的数量积的性质: a e(e 为单位向量) ; ab?; |a|2. 向量的数量积满足如下运算律: ( a) b; a b(交换律 ); a (bc)(分配律 ) 5空间向量的直角坐标运算 设 a(a1, a2,a3),b(b1,b2
3、,b3)则 ab; ab; a b,特殊地a a; ab?; ab?; A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),AB OB OA _. 6向量 a 与 b的夹角 设 a(a1, a2,a3),b(b1,b2,b3),则 Cos . 7两点距离公式 设 A(x1, y1, z1),B(x2,y2,z2)为空间两点,则 |AB |AB AB . 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案71 空间向量及运算第 158 页 四、典型例题分析 1在平行六面体ABCDA BCD中,设 AC xAB 2yBC 3zCC ,xyz() A. 11 6 B.5 6 C.2 3 D.7 6 答案A 解析A
4、C AB BC CC ,故 x1,y1 2,z 1 3,从而 xyz 11 6 . 2、.如上图所示,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,设 AA1 a,AB b,AD c,M,N,P 分别是 AA1, BC,C1D1的中点,试用 a, b,c 表示以下各向量: (1)AP (2)A1N (3)MP NC1 【思路】根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可 【答案】(1)ac1 2b (2)ab 1 2c (3)3 2a 1 2b 3 2c 【解析】(1)P 是 C1D1的中点, AP AA1 A1D1 D1P aAD 1 2D 1C1 ac 1 2AB ac 1 2b. (2)N
5、 是 BC 的中点, A1N A1A AB BN ab1 2BC ab 1 2AD ab 1 2c. (3)M 是 AA1的中点, MP MA AP 1 2A 1A AP 1 2a(a c 1 2b) 1 2a 1 2b c, 又NC1 NC CC1 1 2BC AA1 1 2AD AA1 1 2ca, MP NC1 (1 2a 1 2bc)(a 1 2c) 3 2a 1 2b 3 2c. 3、 【2012 上海理 19 改编】 (6+6=12 分)如图,在四棱锥ABCDP中,底面ABCD是矩形,PA 底面ABCD,E是PC的中点,已知 2AB ,22AD, 2PA ,求: (2)异面直线BC
6、与AE所成的角的大小。 重庆市育才中学高2014 级一轮复习案71 空间向量及运算第 159 页 【答案】 【解析】(1) PA底面 ABCD , PACD, 又 CDAD, CD平面 PAD, CD PD, 又32)22(2 22 PD ,CD=2 , PCD 的面积为32322 2 1 。 (2)解法一:取PB 的中点 F,连接 EF,AF, 则 EF BC, AEF(或其补角 )是异面直线 BC 与 AE 所成的角。 在 ADF 中, EF=2、AF=2,AE=2 , AEF 是等腰直角三角形, AEF= 4 , 异面直线BC 与 AE 所成的角大小为 4 。 解法二:如图所示,建立空间
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