重庆育才中学高三(2014级)二轮(理数)复习专题5第1讲空间几何体教师版.pdf
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1、重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题5 第 1 讲空间几何体教师版 专题 4:空间向量与立体几何1 第 1 讲空间几何体 考点整合 1 棱柱、棱锥、棱台 (1) 棱柱的性质 侧棱都相等,侧面是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的 两条侧棱的截面是平行四边形;直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形 (2) 正棱锥的性质 侧棱相等,侧面是全等的等腰三角形,斜高相等;棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成 一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形;某侧面的斜 高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形;侧棱在底面内的
2、射影、斜高在底面内的射 影及底面边长的一半也构成一个直角三角形 (3) 正棱台的性质 侧面是全等的等腰梯形;斜高相等;棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个直角梯形;棱 台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个直角梯形;棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一 半也组成一个直角梯形 (4) 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、 平行六面体、直平行六面体、长方体之 间的关系 2 圆柱、圆锥、圆台 (1) 圆柱、圆锥、圆台的概念 分别以矩形的一边、直角三角形的一直 角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的 直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的 曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台 (2) 圆柱、圆锥、圆台的
3、性质 轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形;平行于底面的截面都是圆 3三视图 (1) 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画 出的轮廓线画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高; (2) 三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面, 高度和正视图一样,宽度与俯视图一样 4几何体的切接问题 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题5 第 1 讲空间几何体教师版 专题 4:空间向量与立体几何2 (1) 解决球的内接长方体、正方体、 正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长 (
4、2) 柱、锥的内切球找准切点位置,化归为平面几何问题 5 空间几何体的两组常用公式( 不要求记忆 ) (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式: S柱侧ch(c 为底面周长, h 为高 );S锥侧 1 2ch(c 为底面周长, h为斜高 ); S台侧 1 2(cc )h(c, c 分别为上下底面的周长, h为斜高 ); S球表4 R 2 (R 为球的半径 ) (2)柱体、锥体和球的体积公式: V柱体Sh(S为底面面积,h 为高 );V锥体 1 3Sh(S为底面面积, h 为高 ); V台1 3(S SS S )h;V 球 4 3 R 3 . 真题感悟 1 (2013 广东 )某四棱台的三视图如图所示
5、,则该四棱台的体积是() A4 B.14 3 C.16 3 D6 答案B 解析由三视图知四棱台的直观图为 由棱台的体积公式得:V 1 3(2211 2211)2 14 3 . 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题5 第 1 讲空间几何体教师版 专题 4:空间向量与立体几何3 2 (2013 四川 )一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是() 答案D 解析由三视图可知上部是一个圆台,下部是一个圆柱,选D. 3 (2013 江西 )如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且 ABCD,正方 体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为m,n
6、,那么 m n () A8 B9 C10 D11 答案A 解析取 CD 的中点 H,连接 EH ,HF.在四面体CDEF 中, CDEH,CDFH ,所以 CD平 面 EFH ,所以 AB平面 EFH,所以正方体的左、右两个侧面与EF 平行,其余4 个平面与EF 相交,即n4.又因为 CE 与 AB 在同一平面内,所以CE 与正方体下底面共面,与上底面平行, 与其余四个面相交,即m4,所以 mn448. 4 (2013 新课全国 )一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1), (1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平
7、面为投影面,则得到正视 图可以为() 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题5 第 1 讲空间几何体教师版 专题 4:空间向量与立体几何4 答案A 解析根据已知条件作出图形:四面体 C1A1DB,标出各个点的坐标如图 (1)所示, 可以看出正 视图为正方形,如图(2)所示故选A. 5 (2013 福建 )已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组 合体的正视图、 侧视图、 俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2 的正 方形,则该球的表面积是_ 答案12 解析由三视图知,该几何体为正方体和球组成的组合体,正方体的对角线为球的直径所以 2R23,即 R3,球的表面积为
8、S4 R 2 12. 题型与方法 题型 1、空间几何体的三视图 例 1(1) 【陕西宝鸡市金台区2014 届高三会考试题】已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视 图中圆的直径为4,该几何体的体积为 1 V直径为4 的球的体积为 2 V,则 12 :V V A.1: 4B.1: 2C.1:1D.2:1 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题5 第 1 讲空间几何体教师版 专题 4:空间向量与立体几何5 (2) 、 【2013 合肥二模(理) 】某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的 表面积为() A 92+14B 82+14C92+24D 82+24 考
9、点: 由三视图求面积、体积 反思归纳将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键,其解题技巧是对常见简单几何体及 其组合体的三视图,特别是正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几何体的三视图 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题5 第 1 讲空间几何体教师版 专题 4:空间向量与立体几何6 分别是什么图形,数量关系有什么特点等都应该熟练掌握,会画出其直观图,然后由三视图验 证 变式训练1若某几何体的三视图(单位: cm)如图所示,则此几何体的体积是_ cm 3. 答案18 解析由几何体的三视图可知,该几何体由两个直四棱柱构成,其直观图如图所 示上底面直四棱柱的长是3 cm
10、,宽是 3 cm,高是 1 cm,故其体积为9 cm 3,下底面直四棱柱 的高是 3 cm,长是 1 cm,宽是 3 cm,其体积为9 cm 3 .故该几何体的体积为V18 cm 3. 题型 2、空间几何体的表面积 例 2、如图,斜三棱柱ABCABC中,底面是边长为a 的正三角 形,侧棱长为b,侧棱 AA与底面相邻两边AB 与 AC 都成 45 角, 求此斜三棱柱的表面积 由题意,可知A在平面 ABC 内的射影D 在BAC 的角 平分线上,从而可证得四边形BCCB是矩形 解如图,过 A作 AD平面 ABC 于 D,过 D 作 DEAB 于 E, DF AC 于 F, 连结 AE,AF,AD.
11、则由 AAEAAF, AA AA, 得 RtAAERtAAF, AEA F, DEDF ,AD 平分 BAC, 又ABAC, BCAD,BCAA, (三垂线定理) 而 AA BB,BC BB, 四边形 BCCB是矩形, 斜三棱柱的侧面积为2absin 45 ab(21)ab. 又斜三棱柱的底面积为2 3 4 a 2 3 2 a 2, 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题5 第 1 讲空间几何体教师版 专题 4:空间向量与立体几何7 斜三棱柱的表面积为(21)ab 3 2 a 2. 此题构作辅助线的方法具有典型意义,记住这种作法, 对解这一类问题有较大的帮助 变式训练2 一个
12、正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和 6 cm,高是 3 2 cm. (1)求三棱台的斜高;(2)求三棱台的侧面积和表面积 解(1)设 O1、O 分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三 角形的中心,如图所示,则O1O 3 2,过 O 1作 O1D1B1C1,ODBC, 则 D1D 为三棱台的斜高; 过 D1作 D1EAD 于 E,则 D1EO1O 3 2, 因 O1D1 3 6 3 3 2 ,OD 3 6 63, 则 DEODO1D13 3 2 3 2 . 在 RtD1DE 中, D1DD1E 2 ED2 3 2 23 2 2 3(cm) (2)设 c、c分别为上、下底的周长,
13、h为斜高, S 侧 1 2(cc)h 1 2(3336) 3 273 2 (cm 2), S 表 S侧S上S下27 3 2 3 4 3 23 4 6 2993 4 (cm 2) 故三棱台斜高为3 cm,侧面积为 273 2 cm 2, 表面积为 993 4 cm 2. 题型 3、空间几何体的体积 例 3、如图所示,已知E、F 分别是棱长为a 的正方体ABCDA1B1C1D1的棱 A1A、CC1的中点,求 四棱锥 C1B1EDF 的体积 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题5 第 1 讲空间几何体教师版 专题 4:空间向量与立体几何8 审题破题本题可从两个思路解题: 思路一:
14、先求出四棱锥C1B1EDF 的高及其底面积,再利用棱锥的体积公式求出其体积; 思路二:先将四棱锥C1B1EDF 化为两个三棱锥 B1C1EF 与 DC1EF, 再求四棱锥C1B1EDF 的体积 解方法一连接 A1C1,B1D1交于点 O1,连接 B1D,过 O1作 O1HB1D 于 H.EF A1C1,EF? 平面 B1EDF 且 A1C1?平面 B1EDF , A1C1平面 B1EDF . C1到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1到平面 B1EDF 的距离 平面 B1D1D平面 B1EDF , O1H平面 B1EDF ,即 O1H 为棱锥的高 B1O1H B1DD1,O1H B1O1 D
15、D1 B1D 6 6 a. VC1B1EDF 1 3S四边形 B1EDF O1H 1 3 1 2 EF B1D O 1H 1 3 1 22a3a 6 6 a 1 6a 3. 方法二连接 EF,B1D. 设 B1到平面 C1EF 的距离为 h1,D 到平面 C1EF 的距离为h2,则 h1h2B1D1 2a. 由题意得, VC1B1EDFVB1C1EFVDC1EF 1 3 SC 1EF (h1h2)1 6a 3. 反思归纳(1)求规则几何体的体积,关键是确定底面和高,要注意多角度、多方位地观察,选 择恰当的底面和高,使计算简便 (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化
16、为几个规则几何体, 再进一步求解 变式训练3 如图所示,直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长和底面边长都是a, 截面 AB1C 和截面 A1BC1相交于 DE,求四面体BB1DE 的体积 解方法一取 BB1中点 F,连结 DF ,EF, 则 V 四面体 BB1EDV 锥 B1DEF V锥BDEF 1 3B1F S DEF 1 3BF S DEF 1 3BB1 S DEF 1 3a 3 4 a 2 23 48a 3. 方法二取 BB1中点 F,连结 DF, EF, 则 V 四面体 BB1DE2V 锥 B1DEF 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题5 第 1 讲空间几何体教师
17、版 专题 4:空间向量与立体几何9 2 1 8 V 锥 B1ABC 21 8 1 3 3 4 a 33 48a 3. 方法三设 A、D 两点到平面BCC1B1的距离分别为h、h,则 h 1 2h 3 4 a. V 锥 DBB1E 1 3h SBB 1E1 3h 1 4S正方形 BB1C 1C 1 3 3 4 a1 4a 2 3 48a 3. 计算体积要注意几何体的割补,棱锥的性质以及选择适当的底面求出对应的高 题型 4、多面体与球的有关问题 例 4、(1)已知球的直径SC4,A,B 是该球球面上的两点,AB3, ASC BSC30 ,则棱 锥 SABC 的体积为() A3 3 B23 C.3
18、D1 (2)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 () A a 2 B.7 3 a 2 C.11 3 a 2 D5 a 2 审题破题(1)SC 是直径,是本题突破点,由此可得SAC,SBC 为直角 (2)确定球的位 置,寻找图中的直角三角形,通过直角三角形求球的直径 答案(1)C(2)B 解析(1)如图,过A 作 AD 垂直 SC 于 D,连接 BD. 由于 SC是球的直径, 所以 SACSBC90 , 又ASCBSC30 , 又 SC 为公共边, 所以 SAC SBC. 由于 AD SC,所以 BDSC. 由此得 SC平面 ABD. 所以 VSAB
19、CVS ABDVCABD 1 3S ABD SC. 由于在 RtSAC 中, ASC30 , SC4, 所以 AC2,SA23,由于 ADSA CA SC 3. 同理在 RtBSC 中也有 BD SB CB SC 3. 又 AB3,所以 ABD 为正三角形, 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题5 第 1 讲空间几何体教师版 专题 4:空间向量与立体几何10 所以 VSABC 1 3S ABD SC 1 3 1 2( 3)2 sin 60 43,所以选C. (2)由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a. 如图,设 O、O1分别为下、上底面中心,且球心O2
20、为 O1O 的中点,又 AD 3 2 a,AO 3 3 a,OO2a 2,设球的半径为 R, 则 R2AO2 2 1 3a 21 4a 27 12a 2. S球4 R24 7 12a 27 3 a 2. 反思归纳(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或线作截 面,把空间问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系 (2)若球面上四点P、A、B、C 构成的线段PA、PB、PC 两两垂直,且P Aa,PB b,PCc, 则 4R2a2b2c2,把有关元素“补形 ”成为一个球内接长方体(或其他图形 ),从而显示出球 的数量特征,这种方法是一种常用的好方
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