重庆育才中学高三(2014级)二轮(理数)复习专题6第3讲圆锥曲线的综合问题教师版.pdf
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1、重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题6 第 3 讲圆锥曲线的综合问题教师版 二轮专题 5:解析几何1 第 3 讲圆锥曲线的综合问题 考点整合 1、直线与圆锥曲线的位置关系 (1)、直线与椭圆的位置关系的判定方法:将直线方程与椭圆方程联立,消去一个未知数,得到一 个一元二次方程若 0,则直线与椭圆相交;若 0,则直线与椭圆相切;若 0 时,直线与双曲线相交;当 0 时,直线与双曲线相切; 当 b0)的右焦点为F(3,0),过点 F 的直线交E 于 A、 B 两点若AB 的中点坐标为 (1, 1),则 E 的方程为() A. x 2 45 y 2 36 1 B. x 2 36
2、y 2 27 1 C. x 2 27 y 2 181 D. x 2 18 y 2 9 1 答案D 解析设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 所以 x 2 1 a 2 y 2 1 b 21 x 2 2 a 2 y 2 2 b 21 运用点差法, 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题6 第 3 讲圆锥曲线的综合问题教师版 二轮专题 5:解析几何3 所以直线AB 的斜率为k b 2 a 2, 设直线方程为y b 2 a 2(x3), 联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x 9b2a40, 所以 x1 x2 6b 2 a 2b22; 又因为 a2b29,解得 b29,a
3、218. 2 (2013 江西 )过点 (2,0)引直线 l 与曲线 y1x 2相交于 A、B 两点, O 为坐标原点,当 AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于() A. 3 3 B 3 3 C 3 3 D3 答案B 解析 SAOB1 2|OA|OB|sinAOB 1 2sinAOB 1 2. 当AOB 2时, S AOB面积最大 此时 O 到 AB 的距离 d 2 2 . 设 AB 方程为 yk(x2)(kAB2, 由椭圆定义,得点R 的轨迹方程为 x 2 4 y 2 3 1. (2)设 M(x0,y0),则 N(x0, y0),QM,QN 的斜率分别为kQM,kQN, 则 kQM
4、y0 x02,k NQ y0 x02 , 所以直线QM 的方程为y y0 x02(x2),直线 QN 的方程为 y y0 x02(x2) 令 xt(t2),则 y1 y0 x02(t2),y 2 y0 x02(t2), 又点 M(x0,y0)在椭圆 x 2 4 y 2 3 1 上,所以 y2 03 3 4x 2 0. 所以 y1 y2 y 2 0 x 2 04 (t2) 2 3 3 4x 2 0t2 2 x 2 04 3 4(t2) 2,其中 t 为常数且 t2. 反思归纳 (1)求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为圆锥曲线,则可考虑用定义 法或待定系数法求解 (2)当曲线
5、上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时,可以用相关点法,利用相关点法求解曲 线方程需要注意两个方面:一是准确定位,即确定联动点,动点的轨迹可能与多个动点相关, 但要抓住与其一起联动的点;二是找准关系,即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间 的关系,然后代入联动点所在曲线方程求解 变式训练1设 F(1,0),点 M 在 x 轴上,点 P 在 y 轴上,且 MN 2MP ,PM PF . 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题6 第 3 讲圆锥曲线的综合问题教师版 二轮专题 5:解析几何6 (1)当点 P 在 y 轴上运动时,求点N 的轨迹 C 的方程; (2)设 A(x1,
6、y1),B(x2, y2),D(x3,y3)是曲线C 上的点,且 |AF |,|BF |,|DF |成等差数列,当AD 的垂直平分线与x 轴交于点E(3,0)时,求 B 点坐标 解(1)设 N(x,y),则由 MN 2MP ,得 P 为 MN 的中点,所以M(x,0),P(0, y 2) 又PM PF 得PM PF 0,PM (x, y 2), PF (1, y 2),所以 y 24x(x 0) (2)由(1)知 F(1,0)为曲线 C 的焦点,由抛物线定义知,抛物线上任一点P0(x0,y0)到 F 的距离等 于其到准线的距离,即P0F x0 p 2, 所以 |AF |x1 p 2,|BF |
7、x2 p 2,|DF |x3 p 2 , 根据 |AF |,|BF |,|DF |成等差数列,得x1 x3 2x2, 直线 AD 的斜率为 y3y1 x3x1 y 3y1 y 2 3 4 y 2 1 4 4 y1y3, 所以 AD 中垂线方程为y y1y3 4 (x3), 又 AD 中点 (x 1x3 2 , y1y3 2 )在直线上,代入上式得 x1x3 2 1, 即 x21,所以点B(1, 2) 题型 2、圆锥曲线中的范围、最值问题 例 2、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为 (2,0),实半轴长为3. (1)求双曲线C 的方程; (2)若直线 l:ykx2与双曲线C 的左支交于A,B
8、两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段AB 的垂直平分线l0与 y 轴交于 M(0,b),求 b 的取值范围 审题破题(2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k 的范围; (3)寻找 b 和 k 的关系,利用 (2) 中 k 的范围求解 解(1)设双曲线方程为 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0,b0), 由已知,得a3,c2, b2c2a21, 故双曲线方程为 x 2 3 y21. (2)设 A(xA,yA),B(xB,yB),将 ykx2代入 x 2 3 y21, 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题6 第 3 讲圆锥曲线的综合问题教师版 二轮专
9、题 5:解析几何7 得(13k2)x26 2kx90. 由题意,知 13k 20, 36 1k 2 0, xAxB 6 2k 13k 20, 解得 3 3 0 得 4m28(m26)0, 即 230, 又 F(2,0),即 FC FD (x1 2,y1) (x22,y2) x1x22(x1x2)y1y240. 整理得 m(m3)0, 即 m0. 由 可得 m 的取值范围是 (23, 3) (0,23) 题型 3、圆锥曲线中的定点、定值问题 例 3、已知椭圆C: x 2 a 2 y 2 b 21 经过点 (0, 3),离心率为 1 2,直线 l 经过椭圆 C 的右焦点F 交椭圆于 A、B 两点,
10、点A、 F、B 在直线 x4 上的射影依次为D、K、E. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且MA AF ,MB BF ,当直线 l 的倾斜角变化时,探求 的值 是否为定值?若是,求出 的值;否则,说明理由; (3)连结 AE、BD,试探索当直线l 的倾斜角变化时,直线AE 与 BD 是否相交于定点?若是,请 求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题6 第 3 讲圆锥曲线的综合问题教师版 二轮专题 5:解析几何9 (1)待定系数法; (2)用直线的斜率为参数建立直线方程,代入椭圆方程消y 后可得点A,
11、B 的横坐标的关系式,然后根据向量关系式MA AF ,MB BF 把 , 用点 A,B 的横坐标表 示出来, 只要证明 的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值,否则就不是定值;(3)先根 据直线 l 的斜率不存在时的特殊情况,看两条直线AE,BD 的交点坐标,如果直线AE,BD 相 交于定点的话,这个特殊位置时的交点就是这个定点,这样只要证明直线AE,BD 都经过这个 定点即证明了两直线相交于定点,否则两直线就不相交于定点 解(1)依题意得 b3,e c a 1 2,a 2b2c2, a2, c1,椭圆 C 的方程为 x 2 4 y 2 3 1. (2)因直线 l 与 y 轴相交,故斜率存在
12、,设直线l 方程为 y k(x1),求得 l 与 y 轴交于 M(0, k), 又 F 坐标为 (1,0),设 l 交椭圆于A(x1,y1), B(x2,y2), 由 yk x1 , x 2 4 y 2 3 1, 消去 y得(3 4k 2)x2 8k2x4k212 0, x1x2 8k 2 34k 2,x1x2 4k 212 34k 2, 又由 MA AF ,(x1,y1k) (1x1, y1), x1 1x1,同理 x2 1 x2, x1 1x1 x2 1x2 x1x22x1x2 1 x1x2x1x2 8k 2 34k 2 2 4k 212 34k 2 1 8k 2 34k 2 4k 212
13、 34k 2 8 3. 所以当直线l 的倾斜角变化时,直线 的值为定值 8 3. (3)当直线 l 斜率不存在时,直线lx 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相交于 FK 的中点 N 5 2,0 , 猜想,当直线l 的倾斜角变化时, AE 与 BD 相交于定点N 5 2,0 , 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题6 第 3 讲圆锥曲线的综合问题教师版 二轮专题 5:解析几何10 证明:由 (2)知 A(x1,y1),B(x2,y2), D(4,y1),E(4,y2),当直线 l 的倾斜角变化时,首先证直线 AE 过定点 5 2,0 , lAE: yy2
14、y 2y1 4x1 (x4), 当 x5 2时, y y2 y2y1 4 x1 3 2 2 4x1 y23 y2y1 2 4x1 2 4x1 k x21 3k x2x1 2 4x1 8k2kx1x25k x1x2 2 4x1 8k 34k22k 4k2 12 5k 8k2 2 4x1 34k 2 0. 点 N 5 2,0 在直线 l AE上 同理可证,点N 5 2,0 也在直线 lBD上 当直线 l 的倾斜角变化时,直线AE 与 BD 相交于定点 5 2,0 . 反思归纳定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问 题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程
15、、数量积、比例关系不受变化的量所影响 的一个点、一个值,就是要求的定点、定值化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线 方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量 变式训练3已知直线l:yx6,圆 O:x2y25,椭圆 E: y 2 a 2 x 2 b 21(ab0)的离心率 e 3 3 , 直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等 (1)求椭圆 E 的方程; (2)过圆 O 上任意一点P 作椭圆 E 的两条切线, 若切线都存在斜率,求证: 两切线的斜率之积为 定值 (1)解设椭圆的半焦距为c, 圆心 O 到直线 l 的距离 d 6 11 3, 重庆育才
16、中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题6 第 3 讲圆锥曲线的综合问题教师版 二轮专题 5:解析几何11 b532. 由题意得 c a 3 3 a 2 b2c2 b2 , a23,b2 2. 椭圆 E 的方程为 y 2 3 x 2 2 1. (2)证明设点 P(x0,y0),过点 P 的椭圆 E 的切线 l0的方程为 yy0k(xx0), 联立直线l0与椭圆 E 的方程得 yk xx0y0 y 2 3 x 2 2 1 , 消去 y得(3 2k2)x2 4k(y0kx0)x2(kx0y0)260, 4k(y0kx0) 2 4(32k2)2(kx 0y0) 260, 整理得, (2 x2
17、 0)k 22kx 0y0(y 2 03) 0, 设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k1,k2, 则 k1 k2 y 2 03 2x 2 0, 点 P 在圆 O 上, x2 0y 2 05, k1 k2 5x 2 03 2x 2 0 1. 两条切线的斜率之积为常数1. 题型 4、圆锥曲线中的存在性问题 例 4、如图,椭圆的中心为原点O,离心率 e 2 2 ,且 a 2 c 2 2. (1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点 P 满足 OP OM 2ON ,其中 M、N 是椭圆上的点, 直线 OM 与 ON 的斜率之积为 1 2. 问:是否存在两个定点F1,F2,使得 |PF1|PF2|
18、为定值?若存在, 求 F1,F2的坐标; 若不存在, 说明理由 审题破题(1)列方程组求出a、c 即可; (2)由 kOM kON 1 2先确定点 M、N 坐标满足条件,再根 据OP OM 2ON 寻找点 P 满足条件:点P 在 F1、F2为焦点的椭圆上 重庆育才中学高三 (2014 级) 二轮(理数)复习专题6 第 3 讲圆锥曲线的综合问题教师版 二轮专题 5:解析几何12 解(1)由 e c a 2 2 , a 2 c 2 2, 解得 a2,c2,b 2a2c22, 故椭圆的标准方程为 x 2 4 y 2 2 1. (2)设 P(x,y), M(x1,y1),N(x2,y2), 则由 OP
19、 OM 2ON , 得(x,y)(x1, y1)2(x2,y2)(x12x2,y1 2y2), 即 xx12x2,yy12y2. 因为点 M、N 在椭圆 x2 2y24 上, 所以 x 2 1 2y 2 14,x 2 22y 2 2 4, 故 x22y2(x2 14x 2 24x1x2)2(y 2 14y 2 2 4y1y2) (x 2 1 2y 2 1)4(x 2 22y 2 2)4(x1x22y1y2) 204(x1x22y1y2) 设 kOM,kON分别为直线OM,ON 的斜率, 由题设条件知kOM kON y1y2 x1x2 1 2, 因此 x1x22y1y20,所以 x22y220.
20、 所以 P 点是椭圆 x 2 25 2 y 2 10 21 上的点,设该椭圆的左、右焦点为 F1、F2,则由椭圆的定义 |PF1|PF2|为定值,又因 c25 2 10 2 10, 因此两焦点的坐标为F1( 10, 0), F2(10, 0) 反思归纳探究是否存在的问题,一般均是先假设存在,然后寻找理由去确定结论,如果真的 存在,则能得出相应结论,如果不存在,则会由条件得出相互矛盾的结论 变式训练4已知点 P 是圆 O:x2y29 上的任意一点, 过 P 作 PD 垂直 x 轴于 D,动点 Q 满足 DQ 2 3DP . (1)求动点 Q 的轨迹方程; (2)已知点 E(1,1),在动点 Q
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