高三数学:第2章《数列》练习(新人教B版必修5).pdf
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1、用心爱心专心 专题研究:数列的求和例题解析 【例 1】求下列数列的前n 项和 Sn: (1) (2) 1 3 (3)1111 1 1 2 2 1 4 3 1 8 1 2 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 23456212 1 ,, ,, ; ,, ,, ; , , ,, ,, ,, ()n n nn n 解 (1)S =1 1 2 = (123n) n 2 1 4 3 1 8 1 2 1 2 1 4 1 8 1 2 , , , () () n n n = n(n+1) 2 =1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2
2、 () () n n n n (2)S = 1 3 = ( 1 3 + 1 3 + 1 3 ) +( 2 3 + 2 3 + 2 3 ) n 32n-1242n 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 234212 , , nn = 1 3 ()() () 1 1 3 1 1 3 2 3 1 1 3 1 1 3 5 8 1 1 3 2 2 22 2 2 nn n (3)先对通项求和 a = 1 S = (222)(1+ 1 4 + 1 2 ) n nn-1 1 2 1 4 1 2 2 1 2 1 2 11 , , , nn = 2n(1+ 1 4 + 1 2 ) = 2n2 n-1 , 1 2
3、 1 2 1n 用心爱心专心 【例 2】求和: (1) 1 1 + 1 23 + 1 34 + (2) 1 1 (3) 1 2 , , , 2 1 1 5 1 37 1 59 1 21 23 5 1 58 1 811 1 31 32 n n nn nn () ()() ()() 解 (1) 1 n(n +1) 11 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 11 1 nn S nn n ,()()()() 1 1 1 1 n n n (2) 1 (2n1)(2n +3) S = n 1 4 1 21 1 23 1 4 1 1 5 1 3 1 7 1 5 1 9 1 23 1 21 1
4、 21 1 23 () nn n nnn , = 1 4 1 1 3 1 21 1 23 45 3 21 23 () ()() nn nn nn (3) 1 (3n1)(3n + 2) S= 1 3 n 1 3 1 31 1 32 1 2 1 5 1 5 1 8 1 8 1 11 1 31 1 32 () ()()()() nn nn , = 1 3 () 1 2 1 32 64 n n n 【例 3】求下面数列的前n 项和: 1147(3n2) , ,, ,, 111 21 aaa n 用心爱心专心 分析将数列中的每一项拆成两个数,一个数组成以为公比的等 1 a 比数列,另一个数组成以3n2
5、 为通项的等差数列,分别求和后再合并 解设数列的通项为an,前 n 项和为 S n 则 , , a= 1 a (3n2) S =147(3n2) nn 1 n ()1 111 21 aaa n 当时, 当 时, a = 1S= n a1S= 1 1 a 1 1 a n n n () ()() 132 2 3 2 132 2 131 2 2 1 nnnn nna aa nn n nn 说明等比数列的求和问题,分q=1 与 q1 两种情况讨论 【例4】a =k (kN*) aaa k 设, ,则数列,12 357 222 123 , 的前n 项之和是 ABCD 6 1 3 1 6161 2 n n
6、 n n n n n n ()() 解b b= n n 设数列,, ,的通项为 则 357 21 123 aaa n an 又, a= 12n=n(n1)(2n1) b= 6 n(n +1) = 6( 1 n 1 n + 1) n 222 n 1 6 数列 bn的前 n 项和 S n=b1b2, bn = 6 = 6 = 6n n +1 (A) ()() () 1 1 2 1 3 11 2 1 3 11 1 1 1 1 , 选 nnn n 用心爱心专心 【例 5】求在区间 a,b(ba, a,bN)上分母是3 的不可约分数之和 解法一ab3 a1a2b1 区间,上分母为的所有分数是, , ,,
7、 , ,它是以 为首项,以为公差的等差数列 3 3 31 3 32 3 34 3 35 3 32 3 31 3 3 3 3 3 1 3 aaa aabbb a 项数为 ,其和3b3a1S = 1 2 (3b3a1)(ab) 其中,可约分数是a,a 1,a2,, , b 其和 S= 1 2 (ba1)(ab) 故不可约分数之和为 SS= 1 2 (ab)(3b3a1)(ba1) =b2 a2 解法二 , S = 3a +1 3 + 3a+ 2 3 + 3a + 4 3 + 3a+ 5 3 + 3b2 3 + 3b1 3 , 而又有, S=(a)(a)(a)(a)(b)(b) S=(b)(b)(b
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