高中数学2.1.3余弦定理(一)教案北师大版必修5.pdf
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1、- 1 - 2.1.3余弦定理(一) 知识梳理 余弦定理: (1) 形式一:Acosbc2cba 222 ,Bcosac2cab 222 ,Ccosab2bac 222 形式二: bc2 acb Acos 222 , ac2 bca Bcos 222 , ab2 cba Ccos 222 , (角到边的转换) (2) 解决以下两类问题: 1) 、已知三边,求三个角;(唯一解) 2) 、已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(唯一解) 题型一根据三角形的三边关系求角 例 1已知ABC中, sinAsinBsinC(3 1) (3 1) 10 ,求最大角 . 解: a sinA b sinB
2、 c sinC k sinA sinBsinCabc(3 +1) (3 1) 10 设a(3 1)k,b (3 1)k,c10 k (k 0) 则最大角为C.cosCa 2 b 2 c 2 2ab ( 3 1) 2 ( 3 1) 2 10 2 2(3 1) (3 1) 1 2 C120. 评析:在将已知条件中角的关系转化为边的关系时,运用了正弦定理的变形式:a2RsinA, b2RsinB,c2RsinC,这一转化技巧,应熟练掌握. 在三角形中,大边对大角,所以角C最 大。 题型二已知三角形的两边及夹角解三角形 例2. 在 ABC 中 ,BC=a,AC=b, 且a,b是 方 程0232 2 x
3、x的 两 根 , 1cos2BA。 (1) 求角 C的度数; (2) 求AB的长; (3)求 ABC的面积。 解: (1) coscosCABcos AB 01 120 2 C ( 2)因为a,b是方程0232 2 xx的两根,所以 2 32 ab ba 2220 2cos120ABbaab 2 1010ababAB ( 3) 2 3 sin 2 1 CabS ABC - 2 - 评析:在余弦定理的应用中,注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必直 接求出,要充分利用两根之和与两根之差的特点。 备选题正、余弦定理的综合应用 例3. 在ABC中,内角A、 B、 C 的对边长分别为a、
4、b、c,已知 22 2acb,且 sincos3 cossin,ACAC求 b 解 法 一 : 在ABC中sincos3cossin,ACAC则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 有 : 222222 3, 22 abcbca ac abbc 化 简 并 整 理 得 : 222 2()acb. 又 由 已 知 22 2acb 2 4bb. 解得40(bb或舍). 解法二 : 由余弦定理得: 222 2cosacbbcA. 又 22 2acb,0b。 所以2 cos2bcA 又sincos3cossinACAC,sincoscossin4cossinACACAC sin()4cossinA
5、CAC,即sin4cossinBAC 由正弦定理得sinsin b BC c ,故4 cosbcA 由,解得4b。 评析 : 从近年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查. 在备考中应注意总结、 提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力. 此题事实上比较简单, 但考生反 应不知从何入手. 对已知条件 (1) 22 2acb左侧是二次的右侧是一次的, 学生总感觉用余弦 定理不好处理, 而对已知条件(2) sincos3cossin,ACAC过多的关注两角和与差的正弦 公式 , 甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差, 导致找不到突破口而失分. 例 3在 ABC中,角 A、B
6、、C所对的边分别为a,b,c,证明: C BA c ba sin sin 2 22 。 证明:由余弦定理知: Abccbacos2 222 ,Baccabcos2 222 则 22 ab 22 2cos2cosbabcAacB, - 3 - 整理得 : c AbBa c bacoscos 2 22 , 又由正弦定理得: C A c a sin sin , C B c b sin sin , 22 2 sincoscossin sin abABAB cC sin sin AB C 评析:三角形中的证明,应充分利用正、余弦定理,三角函数的公式,在边、角关系中,明 确证明思路,都化为边的关系或都化为
7、角的关系。 .点击双基 1在 ABC中,若 a=2, b=22 , c=6 +2 , 则 A的度数是 ( ) (A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 75 解: bc2 acb Acos 222 = 2 3 ,A=30 答案: A 2在 ABC中,若,3)(bcacbcba则A ( ) A 0 90 B 0 60 C 0 135 D 0 150 解: 22 ()()3,()3,abc bcabc bcabc 222 22201 3,cos,60 22 bca bcabcAA bc 答案: B 3. 在ABC中,若 2cosBsinA=sinC,则ABC的形状一定是() A.等腰直角三
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