高中数学2.1.7正、余弦定理的应用举例复习学案北师大版必修5.pdf
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1、用心爱心专心- 1 - 2.2.2 正、余弦定理的应用举例 知识梳理 1.实际问题数学模型 推演 理算 实际问题的解数学模型的解 抽象概括 还原说明 2. 解斜三角形的应用问题,通常需根据题意,从实际问题中抽象出一个或几个三角形,然 后通过解这些三角形,得出所要求的量,从而得到实际问题的解,其中建立数学模型的方法 是我们的归宿,用数学手段来解决实际问题,是学习数学的根本目的。 3. 解题应根据已知合理选择正余弦定理,要求算法简洁、算式工整、计算准确。 典例剖析 题型一正、余弦定理在几何中的应用 例 1 如图所示,已知半圆的直径AB2,点C在AB的延长线上,BC1,点P为半圆上的一个 动点,以D
2、C为边作等边PCD,且点D与圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的最 大值 解:设POB,四边形面积为,则在POC中,由余弦 定理得: PC 2 OP 2OC22OP OCcos 54cos OPCPCDsin21 2 1 4 3 (5 4cos ) 2sin( 3 ) 4 35 当 3 2 即 6 5 时,max2 4 35 评述:本题中余弦定理为表示PCD的面积,从而为表示四边形OPDC面积提供了可能, 可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据,一般地也是分析几何量之间关系的重要公式,要 认识到这两个定理的重要性另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式 sin ( ) sin c
3、oscossin 的构造及逆用,应予以重视 题型二正、余弦定理在函数中的应用 例 2 如图, 有两条相交成60角的直线XX、YY,交点是O,甲、乙分别在OX、OY 上, 起初甲离O点3千米,乙离O点1千米,后来两人同时用每小时4千米的速度, 甲沿XX 方向,乙沿YY方向步行, (1)起初,两人的距离是多少? (2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离; (3)什么时候两人的距离最短? 解: (1)设甲、乙两人起初的位置是A、B, 则 222 2cos60ABOAOBOA OB XX Y Y B Q P OA 用心爱心专心- 2 - 22 1 3123 17 2 , 起初,两人的距离是7 (2)
4、设甲、乙两人t小时后的位置分别是PQ、, 则4APt,4BQt, 当 3 0 4 t时, 2222 (34 )(14 )2(34 )(1 4 )cos 6048247PQtttttt ; 当 3 4 t时, 2222 (43)(1 4 )2(43)(1 4 )cos12048247PQtttttt , 所以, 2 48247PQtt (3) 222 1 4824748()4 4 PQttt, 当 1 4 t时,即在第15分钟末,PQ最短。 答:在第15分钟末,两人的距离最短。 评析: ( 2)中,分 0t 4 3 和 t 4 3 两种情况进行讨论,但对两种情形的结果进行比较后发现, 目标函数有
5、统一的表达式,从而(3)中求最值是对这个统一的表达式进行运算的。 备选题正、余弦定理的综合应用 例 3 如图,已知ABC是边长为1 的正三角形,M 、N 分别是边 AB、AC上的点,线段MN经过 ABC的中心 G ,设MGA ( 2 33 ) (1)试将 AGM 、 AGN的面积(分别记为S1与 S2) ;表示为的函数, (2)求 y 22 12 11 SS 的最大值与最小值。 解析:(1)因为 G是边长为1 的正三角形ABC的中心, 所以 AG 233 323 ,MAG 6 ,由正弦定理 GMGA sinsin 66 () 得 3 GM 6sin 6 () , 则 S1 1 2 GMGA s
6、in sin 12sin 6 () 。同理可求得S2 sin 12sin 6 () 。 (2) y 22 12 11 yy 22 2 144 sinsin sin66 ()()72(3cot 2 ) 因为 2 33 , 所以当 3 或 2 3 时, y 取得最大值ymax240,当 2 时, y 取得最小值ymin 216。 A B C M N D 用心爱心专心- 3 - 点评:三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的 语言转化为三角的符号语言,再通过局部的换元, 又将问题转化为我们熟知的函数 4 ( )f tt t , 这些解题思维的拐点。 点击双基 1在ABC
7、中,70,50sin2,10sin4Cba,则ABC的面积为() A. 8 1 B. 4 1 C. 2 1 D. 1 解: S ABC =Cabsin 2 1 =4sin10sin50sin70=4cos20cos40 cos80 = 20sin 20sin80cos40cos20cos4 = 20sin 80cos40cos40sin2 = 20sin2 160sin = 2 1 答案: C 2. 如图所示 : 在一幢 20m高的楼顶A测得对面一塔顶C 的仰角为 60, 塔基 D 的俯角为 45, 则这座塔的高是( ) A. 203m B. 103m C. (10+ 103)m D. (20
8、+203)m 解:可知BAD=45 ,AE=20,AB=20, BAC=60 , CB=ABtan60 =203所以这座塔的高CD=(20+203)m 答案: D 3在 ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是() Ab = 10 ,A = 45 ,B = 70 B a = 60 ,c = 48 ,B = 100 Ca = 7 ,b = 5 ,A = 80 D a = 14 ,b = 16 ,A = 45 解: A,B 可根据余弦定理求解,只有一解,选项C中, A为锐角,且ab, 只有一解 . 选项 D中bsin Aab所以有两个解。 答案: D 4. 一船向正北航行,看见正西方向有
9、相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续 航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60 0,另一灯塔在船的南偏西 75 0,则这艘船是每小 时航行 _。 解: 10 海里 5某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看 见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离 1 d与第二辆车与第三辆车 的距离 2 d之间的关系为() A. 21 dd B. 21 dd C. 21 dd D. 不能确定大小 解:依题意知BC= 2 d,CD= 1 d,BAC=CAD. ABC中 B AC BAC BC sinsin , C A E B D D C B A
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