高中数学2.2.2《等差数列前n项和》例题解析新人教B版必修51.pdf
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1、用心爱心专心 等差数列的前 n 项和例题解析 【例 1】等差数列前10 项的和为 140,其中,项数为奇数的各项的和为125,求其第 6 项 解依题意,得 10ad = 140 aaaaa = 5a20d = 125 1 135791 10 101 2 () 解得 a1=113,d=22 其通项公式为 an=113(n 1) ( 22)= 22n135 a6=2261353 说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a1、d,再求其他的这种先求出基本元素, 再用它们去构成其他元素的方法,是经常用到的一种方法在本课中如果注意到a6=a15d,也可 以不必求出an而 直接去求,所列方程组化简后可得 相
2、减即得,a 2a9d = 28 a4d = 25 a5d = 3 6 1 1 1 即 a63可见,在做题的时候,要注意运算的合理性当然要做到这一点,必须以对知识 的熟练掌握为前提 【例 4】在 1 和 2 之间插入 2n 个数,组成首项为1、末项为 2 的等差数列,若这个数列的 前半部分的和同后半部分的和之比为913,求插入的数的个数 解依题意 21(2n21)d 前半部分的和 后半部分的和 S(n1)d S(n1)2(d) n+1 n+1 () () nn nn 1 2 1 2 由已知,有 化简,得 解之,得 S S n nd n nd nd nd n n 1 1 1 1 2 1 2 2 9
3、 13 1 2 2 2 9 13 ()() ()() nd = 5 11 由,有 (2n 1)d=1 由,解得,d = 1 11 n = 5 共插入 10 个数 【例 5】在等差数列 a n 中,设前 m项和为 Sm ,前 n 项和为 Sn,且 S m S n,m n,求 Sm+n 用心爱心专心 解S(mn)a(mn)(mn1)d (mn)a(mn1)d m+n1 1 1 2 1 2 且 SmSn,m n 整理得 mam(m1)dnan(n1)d (mn)a(mn)(mn1) = 0 11 1 1 2 1 2 2 d 即 由 ,知 (mn)a(mn1)d = 0 mna(mn1)d0 1 1
4、1 2 1 2 Sm+n0 【例 6】已知等差数列 an 中, S3=21,S6=64,求数列 |a n| 的前 n 项和 Tn 分析nS= nada n11 等差数列前项和,含有两个未知数, n n()1 2 d,已知 S3和 S6的值,解方程组可得a1与 d,再对数列的前若干项的正负性进行判断,则 可求出 Tn来 解dSnad 3a3d = 21 ba15d = 24 n1 1 1 设公差为,由公式 得 n n() 1 2 解方程组得: d 2,a19 an9(n 1)(n 2) 2n11 由得 ,故数列的前项为正,a2n110 n= 5.5a 5 nn 11 2 其余各项为负数列a n
5、的前 n 项和为: S9n(2) =n10n n 2 n n()1 2 当 n5 时,Tn n210n 当 n6 时, TnS5|SnS5| S5(SnS5) 2S5Sn Tn2(2550)( n2 10n)n210n50 即 T=n10n n5 n10n50 n6 n* n 2 2 N 说明根据数列 an 中项的符号,运用分类讨论思想可求|a n| 的前 n 项和 【例 7】在等差数列 a n中,已知 a6a9a12a1534,求前 20 项之和 解法一由 a6a9a12a1534 得 4a138d34 又 S20ad 201 2019 2 用心爱心专心 20a1190d5(4a 138d)
6、=5 34=170 解法二 S= (a + a)20 2 = 10(aa) 20 120 120 由等差数列的性质可得:a6 a15=a9a12a1a20a1a20=17 S20170 【例 8】已知等差数列 an 的公差是正数,且a3a7=12,a4a6=4,求它的前20 项 的和 S20的值 解法一设等差数列 a n 的公差为 d,则 d0,由已知可得 (a2d)(abd)12 a3da5d =4 11 11 由,有 a1 24d,代入,有d2=4 再由 d0,得 d2 a1= 10 最后由等差数列的前n 项和公式,可求得S20180 解法二由等差数列的性质可得:a4a6a3a7即 a3a
7、7 4 又 a3a7=12,由韦达定理可知:a3,a7是方程 x24x12 0 的二根 解方程可得x1=6,x22 d 0 a n 是递增数列 a3 6,a7=2 d = a = 2a10S180 7 120 a3 73 , 【例 9】等差数列 a n 、bn 的前 n 项和分别为 Sn和 Tn,若 S T n n a b n n 2 31 100 100 ,则等于 A1B CD 2 3 199 299 200 301 分析n S = n(a + a ) n n 1n 该题是将与发生联系,可用等差数列的前项 和公式把前 项和的值与项的值进行联系 a b S T n n n n 100 100
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