《高中数学3.3基本不等式教案北师大版必修5.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学3.3基本不等式教案北师大版必修5.pdf(3页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、基本不等式 (1)教学目标 (a) 知识与技能:理解两个实数的平方和不小于它们之积的2 倍的不等式的证明;理解两个正 数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释 (b) 过程与方法:本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面 深入地探究不等式的证明,从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解, 并为以后实际问题的研究奠定基础。基本不等式的证明要注重严密性,老师要帮助学生分析 每一步的理论依据,培养学生良好的数学品质 (c) 情感与价值:培养学生举一反三的逻辑推理能力,并通过不等式的几何解释,丰富学生数 形结合的想象力 (2)教学重点、难点
2、教学重点:基本不等式的证明和几何解释 教学难点: 理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 (3)学法与教学用具 先让学生观察常见的图形,通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原 出数学本质,可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间,让他 们自主探究,通过类比得到答案 投影仪(多媒体教室) (4)教学设想 1、设置情境 ( 投影出图3.4-1)同学们 , 这是北京召开的第24 届国际数学家大会的会标,大家想一想, 你能 通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗? 提问 1: 我们把“风车”造型抽象成图3.4-2. 在正方形ABCD中有 4 个全等
3、的直角三角形. 设直 角三角形的长为x、y,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢? 生答: y x 2 2 , yx 2 2 提问 2:那 4 个直角三角形的面积和呢? 生答: 2xy 提问 3: 好,根据观察4 个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等式, y x 2 2 2xy。什么时候这两部分面积相等呢? 生答:当直角三角形变成等腰直角三角形,即x=y 时,正方形EFGH变成一个点,这时有 y x 2 2 =2xy 2、新课讲授 (1)一般地,对于任意实数 x 、y,我们有xy y x 2 2 2 ,当且仅当x=y 时,等号成立。 提问 4:你能给出它的证明吗? ( 学
4、生尝试证明后口答, 老师板书 ) 证明 : y x 2 2 -xy2= )( 2 yx , 当yx时 )( 2 yx 0 , 当 x=y 时,等号成立。 所以xy y x 2 2 2 即xy y x 2 2 2 ,当且仅当x=y 时,等号成立。 (2)设 x=a,y=b, 则由这个不等式可以得出下列结论: 如果 a,b 都是非负数,那么ab ba 2 ,当且仅当a=b 时,等号成立。 我们称上述不等式为基本不等式, 其中 2 ab 称为 a,b 的算术平均数,ab为 a,b 的几何平均数。因此,基本不等式 又被称为均值不等式。 (3)基本不等式的一种几何解释。 如图 1 所示 ,AB 是圆 O
5、的直径, AC=a, CB=b, 过点 C作ABCD交圆 O上半圆于D, 连接 AD ,BD ,由射影定理可知: D CD=ab,而 OD= 2 ab , 因为 OD CD 所以ab ba 2 A O C B 当且仅当C于 O重合,即a=b 时,等号成立。 (4) 应用 例 1 设 a,b 均为正数,证明不等式ab ba 11 2 . 证明因为 a,b 均为正数,由基本不等式,可知 ab ba 1 2 11 也即ab ba 11 2 ,当且仅当a=b 时,等号成立。 下面 给出这个不等式的几何解释。 D D A O C B 如上图, AB是圆 O的直径, AC=a, CB=b, 过点 C作ABCD交圆 O上半圆于D, 过点 C 作ODCE于 E, 在中,由射影定理可知: 即DE= OD DC = 2 ba ab = ba 11 2 由 DC DE ,可得 ab ba 11 2 当且仅当a=b时,等号成立。 3. 学生思考交流 基本不等式的的几种叙述。(学生交流完成) 4. 课堂练习 课本 90 页练习题 5. 课时小结 1. 两个重要的不等式 2. 基本不等式的联系和理解 3. 对基本不等式和例1 及练习题的总结 ba ab ba b 11 2 22 22 a 当且仅当a=b 时,等号成立。 6. 课后作业
链接地址:https://www.31doc.com/p-5157601.html