高中数学§1正弦定理与余弦定理(1.2)教案北师大版必修5.pdf
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1、1 1 正弦定理、余弦定理 教学目的: 使学生掌握正弦定理 能应用解斜三角形,解决实际问题 教学重点: 正弦定理 教学难点: 正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型: 新授课 课时安排: 1 课时 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程 : 一、引言: 在直角三角形中,由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数, 可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办? 提出课题:正弦定理、余弦定理 二、讲解新课: 正弦定理 :在任一个三角形中,各边和它所对角的正弦比相等, 即 A a sin = B b sin = C c sin =2R(R为 ABC外接圆半径) 1直角三角形中:sinA= c
2、a ,sinB= c b , sinC=1 即c= A a sin , c= B b sin , c= C c sin A a sin = B b sin = C c sin 2斜三角形中 证明一:(等积法)在任意斜ABC当中 SABC=AbcBacCabsin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 两边同除以abc 2 1 即得: A a sin = B b sin = C c sin 证明二:(外接圆法) 如图所示,RCD D a A a 2 sinsin 同理 B b sin =2R, C c sin 2R 证明三:(向量法) 过 A作单位向量j垂直于AC由AC+CB=AB 两边同乘以
3、单位向量j得j?(AC+CB)=j?AB a b c O B C A D 2 则j?AC+j?CB=j?AB |j| ?|AC|cos90+|j| ?|CB|cos(90C)=| j| ?|AB|cos(90A) AcCasinsin A a sin = C c sin 同理,若过C作j垂直于CB得: C c sin = B b sin A a sin = B b sin = C c sin 正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题: 1两角和任意一边,求其它两边和一角; 2两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角(见图示) 已知 a, b 和 A, 用正弦定理求B时的各种
4、情况 : 若 A为锐角时 : )(ba ),(babsinA )(bsinA a sin 锐角一解 一钝一锐二解 直角一解 无解Aba b a b a b a b a a 已知边 a,b和A 仅有一个解 有两个解 仅有一个解 无解 a b CH=bsinAab a=CH=bsinA aCH=bsinA A C B A C B1 A B A C B2 C H HH 若 A为直角或钝角时: )(ba 锐角一解 无解ba 三、讲解范例: 例 1 已知在BbaCAcABC和求中,,30,45,10 00 解: 00 30,45,10CAc 00 105)(180CAB 3 由 C c A a sins
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