高中数学8《最小二乘估计》教案师大版必修3.pdf
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1、- 1 - 最小二乘估计 教学目标 : 1、掌握最小二乘法的思想 2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 教学重点 :最小二乘法的思想 教学难点 :线性回归方程系数公式的应用 教学过程 回顾 :上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系,用了很多种方法来刻画这 种线性关系,但是这些方法都缺少数学思想依据。 问题 1、用什么样的线性关系刻画会更好一些? 想法:保证这条直线与所有点都近(也就是距离最小)。 最小二乘法就是基于这种想法。 问题 2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效? 设直线方程为y=a+bx,样本点A (xi,yi) 方法一、点到直线的距离公式 1 2
2、 b aybx d ii 方法二、 2 ii bxay 显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离,而且比方法一更方便计算,所以我 们用它来表示二者之间的接近程度。 问题 3、怎样刻画多个点与直线的接近程度? 例如有 5 个样本点,其坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , (x3,y3) , (x4,y4) , (x5,y5)与 直线y=a+bx的接近程度: 2 55 2 44 2 33 2 22 2 11 bxaybxaybxaybxaybxay 从而我们可以推广到n 个样本点:(x1,y1) , (x2,y2) ,(xn,yn)与直线y=a+bx的接 近程度: 22 22
3、 2 11nn bxaybxaybxay 使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘法 问题 4、怎样使 22 22 2 11nn bxaybxaybxay达到最小 值? 先来讨论3 个样本点的情况 设有 3 个 点(x1,y1) , (x2,y2) ,(x3,y3) ,则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这 3 个 点的接近程度由下面表达式刻画: 2 33 2 22 2 11 bxaybxaybxay y 0 ii y,x ii bxa,x bxay x - 2 - 整理成为关于a的一元二次函数 )a(f ,如下所示: 2 33 2 22 2 113322
4、11 2 23bxybxybxybxybxybxyaa)a(f 2 33 2 22 2 112 23bxybxybxyxbyaa 利用配方法可得 2 2 33 2 22 2 11 2 33xbybxybxybxyxbya)a(f 从而当 xbya 时,使得函数 )a(f 达到最小值。 将 xbya 代入式,整理成为关于b的一元二次函数 bg , 2 2 3 2 2 2 1 bxxxxxx)b(g yyxxyyxxyyxxb 3321211 2 2 3 2 2 2 1 yyyyyy 同样使用配方法可以得到,当 2 3 2 2 2 1 332211 xxxxxx yyxxyyxxyyxx b 2
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