高中数学《数列》教案3苏教版必修5.pdf
《高中数学《数列》教案3苏教版必修5.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学《数列》教案3苏教版必修5.pdf(52页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、1 数列 教学目标 1使学生理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一 种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项 (1)理解数列是按一定顺序排成的一列数,其每一项是由其项数唯一确定的 (2)了解数列的各种表示方法,理解通项公式是数列第项与项数的关系式, 能根据通项公式写出数列的前几项,并能根据给出的一个数列的前几项写出该数列的一个通 项公式 (3)已知一个数列的递推公式及前若干项,便确定了数列,能用代入法写出数列的前 几项 2通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力 和抽象概括能力 3通过由求的过程,培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯
2、 教学建议 (1)为激发学生学习数列的兴趣,体会数列知识在实际生活中的作用,可由实际问题 引入, 从中抽象出数列要研究的问题,使学生对所要研究的内容心中有数,如书中所给的例 子,还有物品堆放个数的计算等 (2)数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想,应及早引导学生发现数列与函数 的关系在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的,“次序”便是函数的自变量,相同的 数组成的数列,次序不同则就是不同的数列函数表示法有列表法、图象法、解析式法,类 似地,数列就有列举法、图示法、通项公式法由于数列的自变量为正整数,于是就有可能 相邻的两项(或几项)有关系,从而数列就有其特殊的表示法递推公式法 (3)由数列
3、的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法,教师应精心设计例题,使 这一例题为写通项公式作一些准备,尤其是对程度差的学生,应多举几个例子,让学生观察 归纳通项公式与各项的结构关系,尽量为写通项公式提供帮助 (4)由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点,要帮助学生 分析各项中的结构特征(整式,分式,递增,递减,摆动等),由学生归纳一些规律性的结 论,如正负相间用来调整等 如果学生一时不能写出通项公式,可让学生依据前几项 的规律,猜想该数列的下一项或下几项的值,以便寻求项与项数的关系 (5)对每个数列都有求和问题,所以在本节课应补充数列前项和的概念,用表 示的问题是重点问题,可先
4、提出一个具体问题让学生分析与的关系, 再由特殊到 一般,研究其一般规律,并给出严格的推理证明(强调的表达式是分段的);之后再到 特殊问题的解决,举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况 2 (6)给出一些简单数列的通项公式,可以求其最大项或最小项,又是函数思想与方法 的体现,对程度好的学生应提出这一问题,学生运用函数知识是可以解决的 教学设计示例 数列的概念 教学目标 1通过教学使学生理解数列的概念,了解数列的表示法,能够根据通项公式写出数列 的项 2通过数列定义的归纳概括,初步培养学生的观察、抽象概括能力;渗透函数思想 3通过有关数列实际应用的介绍,激发学生学习研究数列的积极性 教学重点,难点
5、 教学重点是数列的定义的归纳与认识;教学难点是数列与函数的联系与区别 教学用具: 电脑,课件(媒体资料),投影仪,幻灯片 教学方法: 讲授法为主 教学过程 一揭示课题 今天开始我们研究一个新课题 先举一个生活中的例子:场地上堆放了一些圆钢,最底下的一层有100 根,在其上一层 (称作第二层)码放了99 根,第三层码放了98 根,依此类推,问:最多可放多少层?第 57 层有多少根?从第1 层到第 57 层一共有多少根?我们不能满足于一层层的去数,而是要 但求如何去研究,找出一般规律实际上我们要研究的是这样的一列数 (板书)象这样排好队的数就是我们的研究对象数列 (板书)第三章数列 (一)数列的概
6、念 二讲解新课 要研究数列先要知道何为数列,即先要给数列下定义,为帮助同学概括出数列的定义, 再给出几列数: (幻灯片) 自然数排成一列数: 3 3 个 1 排成一列: 无数个 1 排成一列: 的不足近似值,分别近似到排列起来: 正整数的倒数排成一列数: 函数当依次取时得到一列数: 函数当依次取时得到一列数: 请学生观察8 列数, 说明每列数就是一个数列,数列中的每个数都有自己的特定的位置, 这样数列就是按一定顺序排成的一列数 (板书) 1数列的定义:按一定次序排成的一列数叫做数列 为表述方便给出几个名称:项,项数,首项(以幻灯片的形式给出)以上述八个数列 为例, 让学生练习指出某一个数列的首
7、项是多少,第二项是多少, 指出某一个数列的一些项 的项数 由此可以看出,给定一个数列,应能够指明第一项是多少,第二项是多少,, ,每一 项都是确定的, 即指明项数, 对应的项就确定 所以数列中的每一项与其项数有着对应关系, 这与我们学过的函数有密切关系 (板书) 2数列与函数的关系 4 数列可以看作特殊的函数,项数是其自变量,项是项数所对应的函数值,数列的定义域 是正整数集,或是正整数集的有限子集 于是我们研究数列就可借用函数的研究方法,用函数的观点看待数列 遇到数学概念不单要下定义,还要给其数学表示,以便研究与交流,下面探讨数列的表 示法 (板书) 3数列的表示法 数列可看作特殊的函数,其表
8、示也应与函数的表示法有联系,首先请学生回忆函数的表 示法:列表法,图象法,解析式法相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:用 表示第一项,用表示第一项, , ,用表示第项,依次写出成为 (板书)( 1)列举法 (如幻灯片上的例子)简记为 一个函数的直观形式是其图象,我们也可用图形表示一个数列,把它称作图示法 (板书)( 2)图示法 启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数为横坐标,相应的 项为纵坐标,即以为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列 为例,做出一个数列的图象),所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横 坐标为正整数,所以这些点都在轴的右侧,而点的个数取决于
9、数列的项数从图象中可 以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势 有些函数可以用解析式来表示,解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关 系,类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来,即,这个函数式叫 做数列的通项公式 (板书)( 3)通项公式法 如数列的通项公式为; 的通项公式为; 的通项公式为; 数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第项,又是这个数列中所有各项的 一般表示 通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列 便确定了,代入项数就可求出数列的每一项 5 例如,数列的通项公式,则 值得注意的是, 正如一个函数未必能用解析式表示一样,
10、不是所有的数列都有通项公式, 即便有通项公式,通项公式也未必唯一 除了以上三种表示法,某些数列相邻的两项(或几项)有关系,这个关系用一个公式来 表示,叫做递推公式 (板书)( 4)递推公式法 如前面所举的钢管的例子,第层钢管数与第层钢管数的关系是 ,再给定,便可依次求出各项再如数列中, ,这个数列就是 像这样,如果已知数列的第1 项(或前几项),且任一项与它的前一项(或前几项)间 的关系用一个公式来表示,这个公式叫做这个数列的递推公式递推公式是数列所特有的表 示法,它包含两个部分,一是递推关系,一是初始条件,二者缺一不可 可由学生举例,以检验学生是否理解 三小结 1数列的概念 2数列的四种表示
11、 四作业略 五板书设计 数列 (一)数列的概念涉及的数列及表示 1数列的定义 2数列与函数的关系 3数列的表示法 (1)列举法 (2)图示法 (3)通项公式法 6 (4)递推公式法 典型例题 例 1数列共有 _项 分析: 数一个数列的项数都是从1 开始的,找项与项数的关系关键是找首项与1 的关系 解:已知数列的项数与数列的项数相同, 又,所以又与数列的项数相同 因为共有个数,所以共有个数 因此有个数 说明: 数清项数是解决数列问题的首要问题,在有穷数列中, 数列的末项未必是数列的 第项,即有穷数列的项数未必是一定要区分有穷数列的末项与通项 例 2已知数列中,对任意,都有 则_ 分析:已知条件表
12、示了无数个等式:, ,再加上这一条件便确定了这个数列,即可递推求出数列的各项 解:令,得, 令,得, 令,得 令,得 7 说明:本题涉及了方程的思想,同时体现了特殊与一般的关系也可能有学生看出 就求出了数列的通项公式,用代入法便可求出数列的任 意一项,如果希望学生看出这一结果,可将所求换成求项数较大的项 例 3数列的通项公式为,表 示数列的前项和,求 分析:数列的每一项, 数列的前项 和便抵消了一些项 解: 说明:可以在此补充裂项求和法,当然裂项法不仅仅针对分式形式的通项公式,只要 的形式就行 例 4在数列中,那么这个数列中的最大项与最小项 的项数为 _ 分析:通过函数的取值情况来探求数列的最
13、大项及最小项 解:函数,其图象是由函数的图象向右 平移个单位,再向上平移1 个单位得到,根据图象可得最小, 最大,即第9 项最小,第10 项最大 说明:数列的项与项数构成特殊的函数关系,研究其最值的方法就是求函数最值的基本 方法,求函数最值的方法之一是数形结合,即利用函数图象来判断最值 例 5设数列各项均为正数的数列,且满足: ,则数列的通项公式为 _ 8 分析:解决此问题有两个思路,一是 求出数列的前几项,由此猜出数列的通项 公式(因为这是填空题);另一个思路是 化简已知递推式 (因式分解, 降次), 使 与明确,简洁,便于寻求解决方式 解:由已知得 , , , 于是有, 这个等式相乘得,由
14、于,所以 说明:这种方法叫做迭乘法,相类似的还有迭加法 扩展资料 扩展资料 兔子繁殖问题与斐波那契 裴波那契 (Fibonacci leonardo,约 1170-1250 )是意大利著名数学家他最重要的 研究成果是在不定分析和数论方面,他的“裴波那契数列”成为世人们热衷研究的问题 保存至今的裴波那契著作有5 部, 其中影响最大的是1202 年在意大利出版的 算盘书, 算盘书中许多有趣的问题中最富成功的问题是著名的“兔子繁殖问题”如果每对兔 子每月繁殖一对子兔,而子兔在出生后第二个月就有生殖能力,试问一对兔子一年能繁殖多 少对兔子?可以这样思考:第一个月后即第二个月时,1 对兔子变成了两对兔子
15、,其中一对 是它本身,另一对是它生下的幼兔第三个月时两对兔子变成了三对,其中一对是最初的 一对,另一对是它刚生下来的幼兔,第三对是幼兔长成的大兔子第四个月时,三对兔子 9 变成了五对,第五个月时,五对兔子变成了八对,这组数可以用图来表示,这组数从三个数 开始,每个数是两个数的和,按此方法推算,第六个月是13 对兔子,第七个月是21 对兔 子, ,裴波那契得到一个数列,人们将这个数列前面加上一项1, 成为“裴波那契数列”, 即: 1,1,2 ,3,5,8,13, 数列用表示有:出人意料的是,这 个数列在许多场合都会出现,在数学的许多不同分支中都能碰到它如果把普遍目前数列 邻项之比作为一个新数列的
16、项,我们得到:,可以证明这个数列的极限 是:,这是非常有名的黄金分割率,大自然中许多现象总是力求接近 黄金比,这个黄金比在科学中甚至艺术中也经常出现例如,宽比长的比等于黄金比 时最美:黄金比在古希腊建筑和陶瓷中可以经常见到埋在现代建筑设计等方面也越来越多地 显示出黄金比的独特魅力裴波那契数列的许多有趣的性质和重要应用,引起了近800 年 数学历史上许多学者的兴趣,世界上有关裴波那契数列的研究文献多得惊人,裴波那契数列 不仅是在初等数学中引人入胜,而且它的理论已广泛应用,特别是在数列、 运筹学及优化理 论方面为数学家们展开了一片施展才华的广阔空间 后人从裴波那契数列得到一系列的辉煌成果,但是我们
17、不能忘记,这些成果都是起因与 裴波那契的算盘书中提到的兔子问题 探究活动 将边长为厘米的正方形分成个边长为1 厘米的正方形, 数出其中所有正 方形的个数 解:当时,共有正方形个;当时,共有正方形个;当 时,共有正方形个;当时,共有正方形个; 当时,共有正方形个;归纳猜想边长为厘 米的正方形中的正方形共有个 习题精选 10 (1)在数列中,设,则通项可能是() (A)(B) ( C)(D) (2) 已知数列的通项公式是, 若则 的值为() ( A)12 (B)9 (C) 8 (D) 6 (3)点,, ,, 是函数 的图象上的一系列点,其中,试写出数列的前 5 项,并求出 的值 (4)已知数列的前
18、项和满足,求证这个数列各项都 等于同一个常数 参考答案: (1) D;(2) B ; (3),95 (4)提示:, 3.2 等差数列 教学目标 1. 理解等差数列的概念, 掌握等差数列的通项公式,并能运用通项公式解决简单的问题. (1)了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数 列是等差数列,了解等差中项的概念; (2)正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、 公差、项数、指定的项; (3)能通过通项公式与图像认识等差数列的性质,能用图像与通项公式的关系解决某 些问题 . 2. 通过等差数列的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想
19、; 通过等差数列通 项公式的运用,渗透方程思想. 3. 通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维, 追求 新知的创新意识;通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从 而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点. 11 关于等差数列的教学建议 (1)知识结构 (2)重点、难点分析 教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用,等差数列是特殊的数列,定 义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括,准确把握定义是正确认识等差数 列,解决相关问题的前提条件. 通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工 具,等差数列的通项公式的结构与一次函
20、数的解析式密切相关,通过函数图象研究数列性质 成为可能 . 通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式,所以是教学中的一个难点;另外, 出现在一个等式中,运用方程的思想,已知三个量可以求出第四个量. 由于一个 公式中字母较多,学生应用时会有一定的困难,通项公式的灵活运用是教学的有一难点. (3)教法建议 本节内容分为两课时,一节为等差数列的定义与表示法,一节为等差数列通项公式的 应用 等差数列定义的引出可先给出几组等差数列,让学生观察、比较, 概括共同规律, 再 由学生尝试说出等差数列的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:“, 的数列叫做 等差数列” ,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列
21、的定义作准备如果学生给出的 定义不准确, 可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例,再由 学生修改其定义,逐步完善定义 等差数列的定义归纳出来后,由学生举一些等差数列的例子,以此让学生思考确定一 个等差数列的条件 由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列,前提条件是已知数列的首项与公 差明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项 公式,项可看作项数的一次型()函数,这与其图像的形状相对应 有穷等差数列的末项与通项是有区别的,数列的通项公式是数列 第项与项数之间的函数关系式,有穷等差数列的项数未必是,即其末项未必是 该数列的第项,在教学中
22、一定要强调这一点 12 等差数列前项和的公式推导离不开等差数列的性质,所以在本节课应补充一些重 要的性质;另外可让学生研究等差数列的子数列,有规律的子数列会引起学生的兴趣 等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型,如教材中的例题、习题等, 还可 让学生去搜集, 然后彼此交流, 提出相关问题, 自己尝试解决, 为学生提供相互学习的机会, 创设相互研讨的课堂环境 等差数列通项公式的教学设计示例 教学目标 1. 通过教与学的互动,使学生加深对等差数列通项公式的认识,能参与编拟一些简单的 问题,并解决这些问题; 2. 利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想; 3.
23、通过参与编题解题,激发学生学习的兴趣. 教学重点,难点 教学重点是通项公式的认识;教学难点是对公式的灵活运用 教学用具 实物投影仪,多媒体软件,电脑. 教学方法 研探式 . 教学过程 一. 复习提问 前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法, 请同学们回忆等差数列的定义,其表示 法都有哪些? 等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的,这个关系用递推公式来表示比较简 单,但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用. 二. 主体设计 通项公式反映了项与项数之间的函数关系,当等差数列的首 项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知求). 找学 生试举一例如:“已知等差数列中,首项,
24、公差,求. ”这是通项 公式的简单应用,由学生解答后, 要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目,包括 正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影 在屏幕上 . 13 1. 方程思想的运用 ( 1)已知等差数列中,首项,公差,则 397 是该数列的第 _ 项. (2)已知等差数列中,首项,则公差 (3)已知等差数列中,公差,则首项 这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量,在一个等式中,运用 方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量. 2. 基本量方法的使用 (1)已知等差数列中,求的值 . (2)已知等差数列中,求. 若学生的题目只有
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数列 高中数学 教案 苏教版 必修
链接地址:https://www.31doc.com/p-5157618.html