高中数学《用构造法求数列的通项公式》教案1北师大版必修5.pdf
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1、- 1 - 用构造法求数列的通项公式 求数列的通项公式是高考重点考查的内容,作为两类特殊数列-等差数列等比数列 可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列, 之后再应用各自的通项公式求解,体现化归思想在数列中的具体应用 例1:(06年福建高考题)数列 nnnn aaaaa则中12,1, 11 ( ) A n 2 B12 n C12 n D 1 2 n 解法 1:12 1nn aa )1(2221 1nnn aaa 又21 1 a 2 1 1 1 n n a a 1 n a是首项为2 公比为 2 的等比数列 12,2221 1n n nn n aa, 所以选
2、C 解法 2 归纳总结: 若数列 n a满足qpqpaa nn , 1( 1 为常数),则令)( 1nn apa来构 造等比数列,并利用对应项相等求的值,求通项公式。 例 2:数列 n a中, nnn aaaaa23,3, 1 1221 ,则 n a。 解:)(2 112nnnn aaaa 2 12 aa 1nn aa为首项为2 公比也为2 的等比数列。 1 1 2 n nn aa , (n1) n1 时 12 21 21 1222 )()()( 21 112211 n n nn nnnnn aaaaaaaa - 2 - 显然 n=1 时满足上式 n a12 n 小结:先构造 nn aa 1
3、等比数列,再用叠加法, 等比数列求和求出通项公式, 例 3:已知数列 n a中)3( ,32,2,5 2121 naaaaa nnn 求这个数列的通项公式。 解: 21 32 nnn aaa )(3 211nnnn aaaa 又 121 ,7 nn aaaa形成首项为7,公比为 3 的等比数列, 则 2 1 37 n nn aa 又)3(3 211nnnn aaaa, 133 12 aa, 1 3 nn aa形成了一个首项为13,公比为 1 的等比数列 则 2 1 )1()13(3 n nn aa 3 11 )1(13374 nn n a 11 )1( 4 13 3 4 7 nn n a 小结
4、:本题是两次构造等比数列,属于构造方面比较级,最终用加减消元的方法确定出数列 的通项公式。 例 4: 设数列 n a的前项和为 n n nn SaS22, 若成立, (1) 求证: 1 2 n n na是等比数列。 (2) 求这个数列的通项公式 证明: (1) 当2,)1(2, 1 111 aababn 又 n n n Sbab)1(2 1 1 1 )1(2 n n n Sbab 11 )1(2 n n nn ababab n nn aba2 1 当2b时,有 n nn aa22 1 )2(22)1(222)1( 1 1 n n nn n n n nanana - 3 - 又 12 11 1
5、a 1 2 n n na为首项为1,公比为2 的等比数列, (2) 111 2)1(,22 n n nn n nana 小结:本题构造非常特殊, 要注意恰当的化简和提取公因式,本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力,同时也彰显 构造思想在高考中的地位和作用。 例 5:数列 n a满足 1 11 232,3 n nn aaa,则 n a A n n2) 13( B 1 2)36( n n C 1 2)12(3 n n D 1 2)23( n n 解:3 22 ,232 1 11 1 n n n nn nn aa aa 2 3 2 ,3 22 1 1 1 aaa n n n n 又 n n a 2
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