高中数学备课精选第二章《数列求和》例题解析新人教B版必修5.pdf
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1、- 1 - 专题研究:数列的求和例题解析 【例 1】求下列数列的前n 项和 Sn: (1) (2) 1 3 (3)1111 1 1 2 2 1 4 3 1 8 1 2 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 23456212 1 , ,, ,; , ,, ,; , ,, ,, , ()n n nn n 解 (1)S= 1 1 2 = (123n) n 2 1 4 3 1 8 1 2 1 2 1 4 1 8 1 2 , , () () n n n = n(n + 1) 2 = 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ()
2、 () n n n n (2)S= 1 3 = ( 1 3 + 1 3 + 1 3 ) + ( 2 3 + 2 3 + 2 3 ) n 32n -1242n 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 234212 , , nn = 1 3 ()() () 1 1 3 1 1 3 2 3 1 1 3 1 1 3 5 8 1 1 3 2 2 22 2 2 nn n (3) 先对通项求和 a= 1 S= (222)(1+ 1 4 + 1 2 ) n nn-1 1 2 1 4 1 2 2 1 2 1 2 11 , , nn = 2n(1+ 1 4 + 1 2 ) = 2n2 n -1 , 1 2 1 2
3、 1n - 2 - 【例 2】求和: (1) 1 1 + 1 23 + 1 34 + (2) 1 1 (3) 1 2 , , , 2 1 1 5 1 37 1 59 1 2123 5 1 58 1 811 1 3132 n n nn nn () ()() ()() 解 (1) 1 n(n + 1) 11 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 11 1 nn S nn n ,()()()() 1 1 1 1 n n n (2) 1 (2n1)(2n+ 3) S= n 1 4 1 21 1 23 1 4 1 1 5 1 3 1 7 1 5 1 9 1 23 1 21 1 21 1 2
4、3 () nn n nnn , = 1 4 1 1 3 1 21 1 23 45 3 2123 () ()() nn nn nn (3) 1 (3n1)(3n + 2) S= 1 3 n 1 3 1 31 1 32 1 2 1 5 1 5 1 8 1 8 1 11 1 31 1 32 () ()()()() nn nn , = 1 3 () 1 2 1 32 64 n n n 【例 3】求下面数列的前n项和: 1147(3n2), ,, , 111 21 aaa n - 3 - 分 析将 数 列 中 的 每 一 项 拆 成 两 个 数 , 一 个 数 组 成 以为 公 比 的 等 1 a 比数
5、列 ,另一个数组成以3n2 为通项的等差数列,分别求和后再合并 解设数列的通项为an,前 n 项和为 Sn 则 , , a= 1 a (3n2) S=147(3n2) nn1 n ()1 111 21 aaa n 当时 , 当时 , a = 1S= n a1S= 1 1 a 1 1 a n n n () ()() 132 2 3 2 132 2 131 2 2 1 nnnn nna aa nn n nn 说明等比数列的求和问题,分q=1 与 q1 两种情况讨论 【 例 4】a =k (kN *) aaa k 设 ,, 则 数 列,12 357 222 123 , 的前n 项之和是 ABCD 6
6、 1 3 1 6161 2 n n n n n n n n ()() 解b b= n n 设 数 列, ,, 的 通 项 为 则 357 21 123aaa n a n 又 , a= 12n=n(n1)(2n1) b= 6 n(n + 1) = 6( 1 n 1 n + 1) n 222 n 1 6 数列 b n的前 n 项和 Sn=b1b2, bn = 6 = 6 = 6n n + 1 (A) ()() () 1 1 2 1 3 11 2 1 3 11 1 1 1 1 , 选 nnn n - 4 - 【例 5】求在区间 a ,b(b a,a,b N)上分母是3 的不可约分数之和 解 法 一a
7、b3 a1a2b1 区 间,上 分 母 为的 所 有 分 数 是, , ,,它 是 以 为 首 项 , 以为 公 差 的 等 差 数 列 3 3 31 3 32 3 34 3 35 3 32 3 31 3 3 3 3 3 1 3 aaa aabbb a 项 数 为, 其 和3b3a1S = 1 2 (3b3a1)(ab) 其中,可约分数是a,a1,a2,, , b 其 和S= 1 2 (ba1)(ab) 故不可约分数之和为 SS= 1 2 (ab)(3b3a1)(ba1) =b2 a2 解法二 , S = 3a + 1 3 + 3a + 2 3 + 3a + 4 3 + 3a + 5 3 +
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