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1、试卷第 1 页,总 5 页 高中数学必修1、必修 2 解答题练习 1 (满分 12 分) 设直线l的方程为120axyaaR。 若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; 若l不经过第二象限,求a的取值范围。 2已知三角形三个顶点是( 5,0)A,(4,4)B,(0,2)C, ( 1)求BC边上的中线所在直线方程; ( 2)求BC边上的高 AE所在直线方程 3已知函数5 ,5,22 2 xaxxxf ( 1)当 a=-1 时,求函数xf的最大值和最小值. ( 2)求实数a 的取值范围,使)(xfy在区间5, 5上是单调函数 . 来源 : 4已知直线: 230mxy与直线:30n xy的交点为P
2、( 1)直线l过点P,且点(1,3)A和点(3,2)B到直线l的距离相等,求直线l的方程; ( 2)直线 1 l过点P且与, x y正半轴交于AB、两点,ABO的面积为4,求直线 1 l的 方程 5已知直线)(1)1(: 1 Rkxkyl. ()证明:直线 1 l过定点; () 若直线 1 l与直线02)2(3: 2 ykxl平行, 求k的值并求此时两直线间的距 离 . 6如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,点 ,M N分别为线段,PB PC上的点,MNPB ( 1)求证:平面PBC平面PAB; 试卷第 2 页,总 5 页 ( 2)求证:当点M不与点,P B重
3、合时,/ /MN平面ABCD; ( 3)当3,4ABPA时,求点A到直线MN距离的最小值 7 (本小题满分14 分) 如图 6, 在四棱锥P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD底面 ABCD , PD=DC,E 是 PC 的中点, EF PB 交 PB 于点 F. () 若 PD=DC=2 求三棱锥A-BDE 的体积; () 证明 PA平面 EDB ; () 证明 PB平面 EFD. 8 ( 10 分)如图所示,在直三棱柱 111 ABCA B C中,22,2 1 AABCAC, ACB=90 , 是 1 AA的中点,是 1 BC的中点 ()求证:MN 平面 111 A B
4、C; ()求点 1 C到平面 BMC 的距离; 9如图, 在三棱锥PABC中,平面PAC平面ABC,PAAC,ABBC设 ,D E分别为,PA AC中点 试卷第 3 页,总 5 页 ( 1)求证:/ /DE平面PBC; ( 2)求证:BC平面PAB; ( 3)试问在线段AB上是否存在点F,使得过三点D,,E F的平面内的任一条直线 都与平面PBC平行? 若存在,指出点F的位置并证明;若不存在,请说明理由 10已知四棱锥PABCD,底面ABCD是 0 60A、边长为a的菱形,又 PD 底 ABCD,且PDCD,点MN、分别是棱ADPC、的中点 ( 1)证明:/ /DN平面PMB; ( 2)证明:
5、平面PMB平面PAD; ( 3)求点A到平面PMB的距离 11已知四棱锥PABCD,底面ABCD是 0 60A、边长为a的菱形,又PD底 ABCD,且PDCD,点MN、分别是棱ADPC、的中点 ( 1)证明:/ /DN平面PMB; ( 2)证明:平面PMB平面PAD; ( 3)求点A到平面PMB的距离 12如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD 平面 ABCD ,AB AD , BAD 60, E,F 分别是 AP ,AD的中点 求证:(1)直线 EF 平面 PCD ; ( 2)平面 BEF 平面 PAD 13如图所示,在四棱锥PABCD 中,底面是边长为a 的正方形,侧棱PD a,PA PC
6、 试卷第 4 页,总 5 页 2a ( 1)求证: PD 平面 ABCD ; ( 2)求证:平面PAC 平面 PBD ; 14如图, PA垂直于矩形ABCD所在的平面, E、F分别是 AB 、PD的中点, ADP 45. ( 1)求证: AF 平面PCE. ( 2)求证:平面PCD 平面 PCE. ( 3)若 AD 2,CD 3,求点 F 到平面 PCE的距离 15如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC=3 ,BC=4 ,AB=5,AA1=4, 点 D是 AB的中点 ( 1)求证: ACBC 1 ; ( 2)求证: AC 1 / 平面 CDB 1; ( 3)求二面角B-DC-B1的余弦
7、值 16长方体 1111 ABCDA BC D中, 1 2AA,2ABBC,O是底面对角线的交 点 . ( 1)求证: 11/ / B D平面 1 BC D; ( 2)求证: 1 AO平面 1 BC D; ( 3)求三棱锥 11 ADBC的体积 . 试卷第 5 页,总 5 页 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 答案第 1 页,总 11 页 参考答案 1 (1)12yaxa (2)a的取值范围是, 1 【解析】(1)由题意,10a,即1a。 1 分 当直线过原点时,该直线在两条坐标轴上的截距都0,当然相等,此时 2a ,直线l的方程 为30xy; 3 分 当直线l不过原点时,
8、2a,由截距相等,得 2 2 1 a a a ,即0a,直线l的方程为 20xy,综上所述,所求直线l和方程为30xy或20xy。 6 分 (2)将直线l的方程化为12yaxa。 为使直线l不经过 第二象限,当且仅当 10 20 a a 或 10 20 a a 。 10 分 解得1a,所以a的取值范围是, 1。 12 分 2 ( 1)750xy(2)23100xy 【解析】 试题分析:本题第(1)问,由中点公式得到中点(2,1)D,再求出BC边上的中线所在直 线的斜率 1 7 AD k,然后由直线的点斜式方程求出 BC边上的中线所在直线方程;第(2) 问,先由(4,4)B和(0,2)C两点求出
9、直线BC的斜率, 由于BC边与高 AE垂直,则由两直 线垂直的结论1 BCAE kk求出高AE所在直线的斜率,再结合点( 5,0)A,由直线的点 斜式方程求出高 AE所在直线方程。 解:(1)(4,4),(0,2)BCBC的中点(2, 1)D 1 7 AD k BC边上的中线所在的直线方程为 1 (5) 7 yx,即750xy (2) 32 , 23 BCAE kk, BC边上的高所在的直线的方程为 2 (5) 3 yx 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 答案第 2 页,总 11 页 即23100xy 考点:直线的方程 点评:本题考查直线方程的求法,是基础题解题时要认真审题
10、,注意两点式方程和点斜式 方程的灵活运用 3 ( 1)最大值37,最小值1(2)5a或5a 【解析】 试题分析:( 1)将1a代入函数式可求得函数的对称轴,从而得到函数在定义域下的单 调性, 由此可求得函数的最值; ( 2)由函数在区间5 ,5上是单调函数可知此区间在对称轴 的一侧,由此可得到关于a 的不等式,从而求得其取值范围 试题解析:( 1)55-1 2a b -,.(1 分) 当1)1 (,1fx最小值为时 (2 分) 当5x时,最大值为375f.(2 分) (2)a a b 2 -.(1 分) 当55-aa时,即,为增函数)(xf(2 分) 当55-aa时,即,为减函数)(xf.(2
11、 分) 考点:二次函数单调性与最值 4 ( 1)240xy或2x(2) 1 2 2 yx 【解析】 试题分析:首先解方程组得到交点P的坐标,由点(1,3)A和点(3,2)B到直线l的距离相等 可知直线AB与直线l平行或l过 AB中点, 由此可求得直线l方程; (2)设出直线的截距式方 程,由点的坐标和三角形面积可求得关于截距的方程组,解方程组求得截距值,从而得到直 线方程 试题解析:(1)直线: 230mxy与直线:30n xy联立方程可得交点2,1P; 点(1,3)A和点(3,2)B到直线l的距离相等,所以 321 132 ABl kk 或直线l过 AB中点 5 2, 2 ,所以直线l方程为
12、240xy或2x (2)由题可知,直线 1 l的横、纵截距ab、存在,且00ab、,则 1: 1 xy l ab ,又 1 l 过点(2,1),ABO的面积为 4, 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 答案第 3 页,总 11 页 21 1 1 4 2 ab ab ,解得 4 2 a b ,故 1 l方程为1 42 xy ,即 1 2 2 yx (酌情给分) 考点:直线方程 5 ( 1))1, 1(; (2) 3 22 【解析】 试题分析:( 1) 由题为直线过定点问题,题给出了直线方程,可对它进行必要的变形,化 为点斜式,易看出所过的定点为)1, 1(。 (2)由题知两直线
13、平行,求k的值,可利用直线平行则: 12 kk(注意重合的情况) ,求 平行线的距离,可利用平行线的距离公式解出。 试题解析:( 1)由)(1)1(: 1 Rkxkyl , 可化为点斜式:1(1)yk x 可知过定点为:)1, 1( (2)由两直线平行,则: 12 kk ,即: k k2 3 ,可得1k或3k(两直线重合) , 经检验1k,此时两直线为: 1 :20lyx, 2 2 :0 3 lxy 的距离为: 2 2 2 2 3 32 d 考点:(1)直线过定点问题。 (2)直线平行与斜率关系及平行线的距离问题。 6 ( 1) 证明见解析;(2)证明见解析; ( 3) 12 5 . 【解析】
14、 试题分析:(1)运用线面垂直和面面垂直的判定定理推证;(2)借助线面平行的判定定理推 证; (3)运用点到线的距离的计算, 借助转化与化归的数学思想来求解. 试题解析 : (1)证明:在正方形ABCD中,ABBC, 因为PA平面ABCD,BC平面ABCD,所以PABC 又,ABPAA AB PA平面PAB, 所以BC平面PAB 因为BC平面PBC,所以平面PBC平面PAB (2)证明:由(1)知,BC平面,PAB PB平面,PAB BCPB, 在PBC中,,BCPB MNPB,所以/ /MNBC, 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 答案第 4 页,总 11 页 又BC平面
15、ABCDMN,平面ABCD, 所以/ /MN平面ABCD (3)解:因为/ /MNBC, 所以MN平面PAB,而AM平面PAB, 所以MNAM, 所以AM的长就是点A到MN的距离,而点M在线段PB上,所以A到直线MN距离的 最小值就是A到线段PB的距离,在Rt PAB中,3,4ABPA,所以A到直线MN的 最小值为 12 5 考点:空间直线与平面的平行于垂直的判定定理及运用 【易错点晴】 立体几何是高中数学的重要内容之一, 也理解高考必考的题型之一. 本题考查是 空间的直线与平面的平行和垂直问题, 解答时充分借助已知条件与判定定理进行合理分析推 证, 从而使本题获解. 值得提出的是在证明直线与
16、平面平行时, 一定要注意判定定理中的面外 的线和面内的线的表达, 这是解答这类问题最容易出错的地方, 许多同学都是因为少写了二 者之一而被扣分. 7解: ()设 CD 的中点为 H,连结 EH, 依题意得EH/PD ,且 EH= 1 2 PD=1,因为PD底面 ABCD ,所以 EH底面 ABCD ,故三 棱锥 E-ABD 的高是 EH,其体积为 2 1112 21 3323 EABDABD VSEH 因为 EABDA BDE VV,所以三棱锥A-BDE 的体积为 2 3 . ()证明: 连结 AC ,AC 交 BD 于 O,连 EO,底面ABCD 是正方形, 点 O 是 AC 中点, 在 P
17、AC 中, EO 是中位线,PA EO,而 EO平面 EDB ,且 PA平面 EDB , PA平 面 EDB. () 证明: PD底面 ABCD 且 DC底面 ABCD , PDDC. PD=DC 可知 PDC 是等腰直角三角形,而DE 是斜边 PC 的中线, DEPC. 同样由 PD底面 ABCD ,得 PD BC, 底面 ABCD 是正方形有DCBC, BC平面 PDC,而 DE平面 PDC, BCDE. 由得DE平面 PBC,而 PB面 PBC, DEPB 又 EFPB 且 DE EF=E , 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 答案第 5 页,总 11 页 PB平面
18、EFD. 【解析】略 8 ()证明见解析, () 3 34 【解析】 试题分析:欲证线面平行,首选线线平行,本题可用平行四边形去证,取 11C B的中点D, 证明四边形 MNDA1 为平行四边形即可;第二步由于BCCCBCCABC 1 ,平面 1 CA,可得 平面BCM平 面 1 CA,而平面BCM平面 1 CACM,过 1 C作过 1 C作CMHC1,垂足为H,CH 的长为点 1 C到 平面 BMC 的距离,借助题目中的数据计算出CH的长即可 .当然第二步也可用体积相等去做. 试题解析: ( 1)如图所示,取 11C B中点D,连结、DAND 1 11 /AABBDN又 DN 1 2 1 B
19、B 1 2 1 AA= MA 1 四边形MNDA 1 为平行四边形。DAMN 1 /又MN 111 CBA, 1 AD平面 111 CBA/MN平面 111 CBA, (2)因三棱柱 111 CBAABC为直三棱柱,BCCC1 ,又 0 90ACB,BC平 面 11NC A,在平面 11A ACC中,过 1 C作CMHC1,又HCBC 1 ,故HC1 为 1 C点到 平面BMC的距离。在等腰三角形 1 CNC中,22 1C C,6 1M CCM, 3 34 6 222 1 CM ACCC CH. 考点: 1. 直线与平面平行的判定定理;2. 线面垂直和面面垂直;3. 点到平面的距离; 9 (
20、1)证明见解析; (2)证明见解析; (3)存在点F是线段AB中点 . 【解析】 试题分析:( 1)先由三角形中位线定理得 / /DEPC,再根据直线与平面垂直的判定定理可 的结论;(2)平面PAC平面ABC可得,PABC,又ABBC,再根据直线与平面 垂直的判定定理可得结论;( 3)当点F是线段AB中点时,证明平面/ /DEF平面PBC即 可. 试题解析: (1) 证明:因为点E是AC中点,点D为PA的中点,所以/ /DEPC 又因为DE平面,PBC PC平面PBC,所以/ /DE平面PBC 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 答案第 6 页,总 11 页 ( 2)证明:因
21、为平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABCAC,又 PA 平面 ,PAC PAAC, 所 以PA平 面ABC 所 以PABC 又 因 为A BB C且 PAABA,所以BC平面PAB (3)解:当点F是线段AB中点时,过点,E,FD的平面内的任一条直线都与平面PBC平 行 取AB中点F,连EF,连DF 由( 1)可知/ /DE平面PBC 因为点E是AC中点,点F为AB的 中点, 所以 / / BCEF 又因为EF平面PBC,BC平面PBC, 所以/ /EFPBC 又因为DEEFE, 所以平面/ /DEF平面PBC, 所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行 考点: 1、直线与平面垂直的
22、判定、直线与平面平行的判定;2、平面与平面平行的判定、平 面与平面垂直的性质. 10 (1)详见解析( 2)详见解析(3) 5 5 a 【解析】 试题分析:( 1)要证 DN 平面 PMB ,只要证 DN MQ ; (2)要证平面PMB 平面 PAD ,只要证 MB 平面 PAD ; (3)利用 PD是三棱锥P-AMB的高 PD=2 ,棱锥 A-PMB的体积 =棱锥 P-AMB的体积,利用棱锥 的体积公式解之 试题解析:(1)证明:取PB中点Q,连接MQNQ、,因为MN、分别是棱ADPC、中 点, 所以/ / /QNBCMD,且QNMD,于是/ /DNMQ, / / / / DNMQ MQPM
23、BDNPMB DNPMB 平面平面 平面 (2) PDABCD PDMB MBABCD 平面 平面 , 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 答案第 7 页,总 11 页 又因为底面ABCD是 0 60A、边长为a的菱形,且M为AD中点,所以MBAD, 又ADPDD, 所以MBPAD平面 MBPAD PMBPAD MBPMB 平面 平面平面 平面 (3) 因为M是AD中点,所以点A与D到平面PMB等距离过点D作DHPM于H, 由( 2)由平面PMB平面PAD,所以DH平面PMB 故DH是点D到平面PMB的距离 5 2 55 2 a a DHa a 点A到平面PMB的距离为 5
24、5 a 考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;点面距离 11 (1)详见解析( 2)详见解析(3) 5 5 a 【解析】 试题分析:( 1)要证 DN 平面 PMB ,只要证 DN MQ ; (2)要证平面PMB 平面 PAD ,只要证 MB 平面 PAD ; (3)利用 PD是三棱锥P-AMB的高 PD=2 ,棱锥 A-PMB的体积 =棱锥 P-AMB的体积,利用棱锥 的体积公式解之 试题解析:(1)证明:取PB中点Q,连接MQNQ、,因为MN、分别是棱ADPC、中 点, 所以/ / /QNBCMD,且QNMD,于是/ /DNMQ, / / / / DNMQ MQPMBDNPMB
25、 DNPMB 平面平面 平面 (2) PDABCD PDMB MBABCD 平面 平面 , 又因为底面ABCD是 0 60A、边长为a的菱形,且M为AD中点,所以MBAD, 又ADPDD, 所以MBPAD平面 MBPAD PMBPAD MBPMB 平面 平面平面 平面 (3) 因为M是AD中点,所以点A与D到平面PMB等距离过点D作DHPM于H, 由( 2)由平面PMB平面PAD,所以DH平面PMB 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 答案第 8 页,总 11 页 故DH是点D到平面PMB的距离 5 2 5 5 2 a a DHa a 点A到平面PMB的距离为 5 5 a 考
26、点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;点面距离 12 (1)详见解析( 2)详见解析 【解析】 试题分析:( 1)要证直线EF平面 PCD ,只需证明EF PD , EF不在平面PCD中, PD?平面 PCD即可; (2)连接 BD ,证明 BFAD 说明平面PAD 平面 ABCD=AD,推出 BF平面 PAD ; 然后证明平面BEF 平面 PAD 试题解析:( 1)在 PAD中,因为E,F 分别为 AP ,AD的中点,所以EFPD 又因为 EF不在平面PCD中, PD? 平面 PCD 所以直线EF平面 PCD (2)连接 BD 因为 AB=AD , BAD=60 所以 ABD为正三
27、角形因为F 是 AD的中点,所以BFAD 因为平面PAD 平面 ABCD ,BF?平面 ABCD , 平面 PAD 平面 ABCD=AD,所以 BF平面 PAD 又因为 BF ? 平面 EBF ,所以平面BEF 平面 PAD 考点:线面平行的判定;线面垂直的判定和性质 13 (1)详见解析( 2)详见解析 【解析】 试题分析:(1)由题意及图形利用线面垂直的判定定理即可得证;(2)由( 1)可得 PD AC , 又四边形ABCD为正方形,所以AC BD ,由线面垂直的判定定理得到AC 平面 PBD ,进一步 利用面面垂直的判断证明; 试题解析:( 1) PD a,DC a, PC 2a, PC
28、 2PD2DC2, PDDC 同理可证PD AD,又 AD DC D, PD平面 ABCD (2)由( 1)知 PD 平面 ABCD , PDAC ,而四边形ABCD 是正方形, ACBD ,又 BDPD D, AC平面 PDB 同时, AC ? 平面 PAC , 平面 PAC 平面 PBD 考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面垂直的判定 14 (1)详见解析( 2)详见解析(3) 34 3 17 【解析】 试题分析:(1)关键是证明AF与平面 PEC内的一条直线平行,为此可取PC的中点 G ,论证 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 答案第 9 页,总 11 页 AF E
29、G ; (2)可转化为证明线面垂直;(3)可以充分运用(2)的结论,结合线段比例关系 求解点 F 到平面 PCE的距离 试题解析:( 1)证明:设M为 PC中点,连接ME 、MF. 则 MF 1 2 CD ,MF= 1 2 CD ,AE 1 2 CD ,AE=1 2 CD MF AE ,MF= AE 四边形AEMF 为平行四边形2 分 AF ME ,又 ME? 平面 PCE ,AF?平面 PCE AF 平面PCE. 4 分 (2)证明: PA 平面ABCD ,PDA 45, PAD为等腰直角三角形, PF FD ,AF PD ,又 PA 平面ABCD ,PA ? 平面 PAD , 平面 PAD
30、 平面ABCD. 6 分 平面 PAD 平面ABCD AD , CD AD , CD ? 平面 ABCD. CD 平面PAD ,AF CD , 又PD CD D,AF 平面PCD. EM AF , EM 平面PCD. EM ? 平面 PCE , 平面 PCE 平面PCD. 8 分 (3)过点 F 作 FG PC ,交 PC于 G,平面 PCE 平面PCD ,FG 平面PCE ,即 FG为点 F 到平面 PCE的距离10 分 在 RtPCD中, PD22,PC17. PFG PCD , PFFG PCCD , FG 34 3 17 . 12 分 考点:平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;
31、点、线、面间的距离计算 15 (1)详见解析( 2)详见解析(3) 3 34 34 【解析】 试题分析: (1) 由已知得 AC BC , 且 BC1在平面 ABC内的射影为BC, 由此能证明ACBC1( 2) 设 CB1与 C1B的交点为 E,连结 DE ,由已知得DE AC1,由此能证明AC1平面 CDB1 (3)以 C为原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B-CD-B1正切值 试题解析:( 1)因为 1 3,0,0 ,0,4,4ACBC ,所以 1 0ACBC ,即 1 ACBC (2)设 11 CBC BE , 则 0,2,2E , 故 1 3 ,0,2 ,3,0,4 2
32、DEAC 所以 1 1 2 DEAC , 即 1 / /DEAC 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 答案第 10 页,总 11 页 因为 DE 平面 1 CDB , 1 AC 平面 1 CDB , 所以 AC 1/ 平面 CDB1 (3)可求得平面 1 CDB 的一个法向量为 1 4,3,3n ,取平面CDB的一个法向量为 2 0,0,1n ,则 12 3 34 cos, 34 n n ,由图可知,二面角B-DC-B1的余弦值为 3 34 34 考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定 16 (1)详见解析( 2)详见解析(3) 4 2 3 【解析】 试题分析:(
33、1)直接根据 11 B DBD ,以及 11 B D在平面 1 BC D外,即可得到结论; (2)先根 据条件得到BD 平面 11 ACC A? 1 AOBD ;再通过求先线段的长度推出 1 AO 1 OC,即可 证明 1 AO平面 1 BC D; ( 3)结合上面的结论,直接代入体积计算公式即可 试题解析:()证明:依题意: 11/ / B DBD,且 11 B D在平面 1 BC D外. 11/ / B D平面 1 BC D ()证明:连结 1 OC BDAC 1 AABD BD平面 11 ACC A 又O在AC上, 1 AO在平面 11 ACC A上 1 AOBD2ABBC 11 2 2ACAC 2OA 1 Rt AAO中, 22 11 2AOAAOA 同理: 1 2OC 11 AOC中, 222 1111 AOOCAC 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 答案第 11 页,总 11 页 11 AOOC 1 AO平面 1 BC D ()解: 1 AO平面 1 BC D 11 11 32 VAOBD OC 114 2 22 2 2 323 考点:直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定
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