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1、1 本章复习与小结( 2) 一、递推关系通项公式的求法: 对于给定递推关系求数列的通项公式成为近年高考考查热点之一。常见的出题形式为先给定数列的初 始值及数列的递推关系,要求求出通项公式。本文结合对历年高考考查的模式,总结出常见的主要有以下 几种类型: 模式一: 形如)( 1 nfaa nn 递推式。由累加法可求得通项公式为:)(1 1 faan )1()2(nff。 例 1 (2007 北京高考题) 数列 n a中, 1 2a, 1nn aacn( c 是常数,1 2 3n,) , 且 123 aaa, 成公比不为1的等比数列(I)求 c 的值;( II )求 n a的通项公式 模 式 二
2、: 形 如)( 1 nfaa nn 递 推 式 。 由)( 1 nfaa nn 得)( 1 nf a a n n , 使 用 累 乘 法 可 得 )1()1( 1 fnfaan。 例 2已知数列 n a满足,1 1 a, n n a a n n11 ,求通项公式 n a。 模式三: 形如 nn aa 1 (其中、为常数)递推式,通常解法是设 1n a )( n a,求出,因 1 n n a a 是等比数列则可求出通项公式。 例 3( 2007 全国高考卷)已知数列 n a中 1 2a, 1 (21)(2) nn aa,,2,1n ,3( I)求n a 的通项公式;(II)略。 模式四: 形如)
3、( 1 nfaa nn (其中为常数)递推式, n nn aa 1 (、为常数)是其特殊 情形。后者的等式两边同除以 n ,得1 1 1 n n n n aa ,令 1n n n a b ,则可化归为 nn aa 1 (、 为常数)型。 例 4( 2007 天津高考题)在数列 n a中,naaa nn nn (2)2(,2 1 11 )N,其中 0( I)求数列 n a的通项公式;(II )略; 模式五: 形如)()( 1 nganfa nn (其中为常数)递推式,设数列)(nh,使 )1( )( )( nh nh nf,则 2 )( )1( )( 1 nga nh nh a nn ,即 )
4、nhngnhanha nn 1()()()1( 1 ,令)(nhab nn ,则 )1()( 1 nhngbb nn ,即已化为模式一。 例 5已知数列 n a满足nanna nn )2( 1 ,且1 1 a,求数列 n a的通项公式。 模式六: 形如 nn aa 1 (,0,0,0 n a且)1递推式, 它的推广形式为 )( 1 nf nn aa 。通过对 等式两边取对数,得lglglg 1nn aa,再令 nn ablg,即转化为类型一 例 6已知数列 n a满足 2 11 ,2 nn aaa,求 n a。 模式七: 形如 11nnn aaa (其中、是不为零的常数)递推式,可变形为 2n
5、 a )( 11nnn aaa ,则 1nn aa 是公比为的等比数列,这就转化为了模式三。 例 7( 2006 福建文科高考题)已知数列 n a满足,3, 1 21 aa nnn aaa23 12 , n( )N。( I)略;( II )求数列 n a的通项公式; 模式八: 形如 nnnn aaaa 11 及其变形形式 n n n a a a 1 和 nnnn aaaa 11 (其中、是不为零的常数)递推式。对 nnnn aaaa 11 两边同除以 1nna a,再令 1 1 1 n n a b, n n a b 1 ,即化为等差数列形式。 例8 ( 2005重 庆 高 考 题 ) 数 列
6、n a满 足1 1 a且).1(052168 11 naaaa nnnn 记 ).1( 2 1 1 n a b n n (I)略;()求数列 n b的通项公式及数列 nnb a的前 n 项和. n S 模式九: 形如)()()( 11 nhaanganfa nnnn (其中0)(nf)递推式,它是模式八的推广。通常两边 同 除以 1naa a,得)( )()( 1 nh a ng a nf nn ,有 )( )( )( )(11 1 nf nh nf ng aa nn ,再令 n n a b 1 ,得 )( )( )( )( 1 nf nh nf ng bb nn ,这就化为了模式五。 3 例
7、 9( 2006 江西高考题)已知数列an满足: 2 3 1 a,且),2( 12 3 1 1 Nnn na na a n n n ,( I) 求数列 an的通项公式;(2)略。 解:( I)将条件变为:) 1 1( 3 1 1 1nn a n a n ,因此1 n a n 为一个等比数列,其首项为1 1 1 a 1 3 , 公比 1 3 ,从而 n n a n 3 1 1,据此可得)1( 13 3 n n a n n n . 模 式 十 : 形 如 nnn aaa 2 1 ( 其 中、是 不 为 零 的 常 数 ) 递 推 式 , 将 原 式 转 化 为 2 1 )( nn aa,然后再通过
8、迭代进行求解。 例 10( 2005 江西高考题)已知数列:,且满足的各项都是正数 n a1 0 a, nn aa 2 1 1 ).4( n a,.Nn(1)略;( 2)求数列 n a的通项公式an. 模式十一 : 形如 n n n a a a 1 (、为常数) 递推式, 解常解法为: 先设函数 x x xf)(, 视 1n a、 n a为x得到特征方程 x x x,再以此方程的解的情况来求解。若此方程无解,则此数列为循 环 数 列 ; 若 特 征 方 程 x x x有 两 个 不 等 的 实 根 1 x、 2 x, 则 n n n a a a 1 可 变 形 为 2 1 21 11 xa x
9、a k xa xa n n n n (其中 2 1 x x k) ; 若特征方程 x x x有两个相等的实根 0 x, 则 n n n a a a 1 可变形为k xaxa nn001 11 (其中k为常数)。 例 11已知数列an,满足 12 43 ,1 11 n n n a a aa,求 an. 模式十二 :形如 n n n a a a 2 1 (其中、为非零常数)递推式。 例 12( 2007 四川高考题)已知函数4)( 2 xxf,设曲线)( xfy在点)(,( nn xfx处的切线与x轴 的交点为)(0,( 1 Nnxn,其中 1 x为正实数。()、()略;()若4 1 x,记 2
10、2 lg n n n x x a,证 明数列 n a成等比数列,并求数列 n x的通项公式。 4 二、例析数列求和的常用方法 数列求和是数列教学内容的中心问题之一,也是近年高考命题的一个热点问题。掌握一些求和的方法 和技巧可以提高解决此问题的能力。本文例析了一些求和的方法,仅供参考。 (一)倒序相加法:将一个数列倒过来排序(倒序),当它与原数列相加时,若有因式可提,并且剩 余的项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式 2 )( 1n n aan S的推导。 例1 已知)( xf满足Rxx 21, ,当1 21 xx时, 2 1 )()( 21 xfxf,若 Nnf
11、n n f n f n ffSn),1() 1 () 2 () 1 ()0(,求 n S (二)错位相减法:这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 nn ba 的前n项和,其中 n a、 n b分别是等差数列和等比数列。 例 2求数列2 n n的前n项和 n S。 (三)分组求和法所谓分组求和法,即将一个数列中的项拆成几项,转化成特殊数列求和。 例 3已知数列 n a满足 1 ) 2 1 ( n n na,求其前n项和 n S。 (四)公式法(恒等式法):利用已知的求和公式来求和,如等差数列与等比数列求和公式,再如 n321 2 )1( nn 、)12)(1( 6
12、1 321 2222 nnnn等公式。 例 4求数列n1,)1(2 n,)2(3 n,1n的和。 (五)拆项(裂项)相消法:若数列 n a能裂项成)()1(nfnfa n ,即所裂两项具有传递性(即 关于 n 的相邻项,使展开后中间项能全部消去)。 例 5已知数列 n a满足 )1( 1 nn an,求数列 n a的前n项和 n S (六)通项化归法:即把数列的通项公式先求出来,再利用数列的特点求和。 例求数列 n321 1 , 321 1 , 21 1 ,1的前n项和 n S (七)并项法求和:在数列求和中,若出现相邻两项(或有一定规律的两项)和为常数时,可用并项 法,但要注意n的奇偶性。
13、例 7已知数列)12()1(na n n ,求数列 n a的前n项和 100 S (八)奇偶分析项:当数列中的项有符号限制时,应分n为奇数、偶数进行讨论。 5 例 8若)34()1( 1 na n n ,求数列 n a 的前 n项和 (九)利用周期性求和:若数列 n a,都有 nTn aa (其中 0 Nn , 0 N 为给定的自然数,0T), 则称数列 n a为周期数列,其中T为其周期。 例 9已知数列 n a 中, n n a aa 1 1,2 11 ,求其前n3项的和 n S3. (十)导数法:利用函数的求导来计算数列的和。 例 10求数列 n a前n项和 n S,其中nxnansin. (十一)待定系数法:若数列的和是一个多项式,可以考虑用待定系数法。 例 11求31,53,75,97,)12)(12(nn的和 n S (十二)组合数法 例 12求数列1,21,321,n321的和 (十三)极限法求和 例 13已知在数列 n a中, n n a 2 1 ,求数列 n a的所有项和S。 (十四)归纳、猜想、证明法. 例 14已知数列, )12()12( 8 , 53 28 , 31 18 222222 nn n ,求其前n项和 n S
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