高中数学论文:圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用沪教版.pdf
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1、用心爱心专心 圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用 2003 年北京高考数学卷第18(III)题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一 般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质. 定理 1:在圆锥曲线中,过弦AB中点 M任作两条弦CD和 EF ,直线 CE与 DF交直线 AB于 P,Q,则有 MQMP . 证明 :如图 1,以 M为原点, AB所在的直线为y 轴,建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为0 22 FEyDxCyBxyAx(*) ,设 A (0,t ) ,B (0,-t ) , 知 t ,-t 是0 2 FEyCy的两个根,所以0E. 若 CD ,EF有一条斜率不存
2、在,则P,Q与 A,B 重合,结 论成立 . 若 CD ,EF斜率都存在,设C(x1,k1x1), D (x2,k1x2) , E( x3, k2x3) , F( x4,k2x4) , P( 0 , p ) , Q( 0 , q) , 111 13 1132 )(:xkxx xx xkxk yCE, 13 2131 111 13 1132 )( )0( xx kkxx xkx xx xkxk p ,同理 24 2142 )( xx kkxx q, 所以 )()( )()()( 1324 4321214321 xxxx xxxxxxxxkk qp 将xky 1 代 入 (*)得0)()( 1 2
3、 2 11 FxEkDxCkBkA, 又0E得 2 11 21 CkBkA D xx, 2 11 21 CkBkA F xx , 同 理 2 22 43 CkBkA D xx, 2 22 43 CkBkA F xx,所以 0qp ,即MQMP. 注 :2003 年高考数学北京卷第18(III)题,就是定理1 中取圆锥曲线为椭圆,AB为平行 长轴的弦的特殊情形. 定理 2:在圆锥曲线中,过弦AB端点的切线交于点M ,过 M的直线 l AB ,过 M任作两条 弦 CD和 EF ,直线 CE与 DF交直线 l 于 P,Q,则有MQMP. 证明 :如图 2,以 M为原点, AB所在的直线为y 轴,建立
4、直角坐标系. F E M P Q D C B A y x 图 1 用心爱心专心 设圆锥曲线的方程为 0 22 FEyDxCyBxyAx(*) , 设 A( 11, y x ) , B( 21, y x ) ,则切线MA的方 程是0 22 11 Fy E x D ,切线 MB的方程 是0 22 21 Fy E x D ,得 0)( 21 yyE,所以0E. (下面与定理1 的证明相同,略) 特别的,当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时,点M在圆锥曲线的该对称轴上. 性质1:过点M (m ,0)做椭圆、双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的弦 CD ,EF 是其焦点轴,则直线 CE 、DF 的连线
5、交点G在直线 l : m a x 2 上. 特别的,当M为焦点时, l 就是准线 .当 M为准线 与焦点轴所在直线的交点时,l 就是过焦点的直线. 证明 :如图 3,过 M做直线 AB垂直焦点轴所在的直线,直线CE与 DF交直线 AB于 P,Q, 则根据定理1,定理 2 得MQMP. 过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H,得 FH FM HG MQ HG MP HE EM ,设M (m ,0) ,H (n,0) ,焦点轴长为2a,则有 na ma na ma , 得 2 amn. 注 : 性质 1 就是文 1 中的性质 1,文 2 中的推论2. 若圆锥曲线为抛物线,把无穷远点作为其虚拟顶点,把
6、图3 中的 DF 看作与焦点轴平行的 直线,于是得到性质2. 性质 2:过点 M (m ,0)做抛物线pxy2 2 的弦 CD ,E是抛物线的顶点,直线DF与抛物 线的对称轴平行,则直线CE 、DF的连线交点在直线l :mx上. 特别的,当M为焦点时, l 就是准线 . 当 M为准线与焦点轴的交点时,l 就是过焦点的直线. 注 :2001 年全国高考数学卷第18 题,就是性质2 中 M为焦点的情形. 性质 2 就是文 1 中 的性质 2,文 2 中的推论1. F E M P Q D C B A y x 图 2 y H G OF E M P Q D C B A x 图 3 用心爱心专心 性质 3
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