高考数学理科(一)函数与方程思想、数形结合思想.pdf
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1、1 数学教学的最终目标,是要让学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界.数学素 养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力,数学核心素养高于具体的数学知识技能,具有综 合性、整体性和持久性,反映数学本质与数学思想,数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二 轮复习中如果能自觉渗透数学思想,加强个人数学素养的培养,就会在复习中高屋建瓴,对整体复习起到引领 和导向作用 . 函数与方程思想、数形结合思想 一、函数与方程思想在不等式中的应用 函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题,常涉及不等式恒 成立问题、比较大小问题.一般
2、利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解. 1.若 0ln x2 ln x1 B. 21 ee xx -e xx xx D. 12 21 eg(x2), 12 21 ee xx xx,故选 C. 2.已知定义在R 上的函数g(x)的导函数为g(x),满足 g(x)g(x)1 的解集为 _. 答案(, 0) 解析函数 g(x)的图象关于直线x2 对称, g(0)g(4)1. 设 f(x) g x e x, 则 f(x) g x e xg x ex e x 2 g x g x e x. 又 g (x)g(x)f(0),x2m4x 恒成立,则 x 的取值 范围是 _. 答案(, 1)(2, ) 解析
3、t 2,8, f(t) 1 2 ,3 . 问题转化为m(x2)(x2) 20 恒成立, 当 x 2 时,不等式不成立,x 2. 令 g(m)m(x2)(x2)2,m 1 2,3 . 问题转化为g(m)在 1 2,3 上恒大于 0, 则 g 1 2 0, g 3 0, 即 1 2 x2 x 2 20, 3 x2 x 2 20, 解得 x2 或 x0, 设 Snf(n),则 f(n)为二次函数, 4 又由 f(7)f(17)知, f(n)的图象开口向上,关于直线n12 对称, 故 Sn取最小值时n 的值为 12. 8.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn,若 S4 2,S63,则 nSn的最小值
4、为 _. 答案9 解析由 4a16d 2, 6a115d3 解得 a1 2,d 1, 所以 Sn n 25n 2 ,故 nSnn 35n2 2 . 令 f(x) x 35x2 2 ,则 f(x) 3 2x 25x, 令 f(x)0,得 x 0或 x 10 3 , f(x)在 0,10 3 上单调递减,在 10 3 , 上单调递增 . 又 n 是正整数,故当n3 时, nSn取得最小值 9. 三、函数与方程思想在解析几何中的应用 解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想;直线与圆锥曲线的 位置关系问题,可以通过转化为一元二次方程,利用判别式进行解决;求变量
5、的取值范围和最值问题常转化为 求函数的值域、最值,用函数的思想分析解答. 9.(2016全国 )以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于 A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点 .已知 |AB|42, |DE|25,则 C 的焦点到准线的距离为() A.2 B.4 C.6 D.8 答案B 解析不妨设抛物线C:y22px(p0),圆的方程设为x2 y2r2(r0),如图, 又可设 A(x0,22),D p 2, 5 , 点 A(x0,2 2)在抛物线y22px 上, 82px0, 点 A(x0,2 2)在圆 x 2y2r2 上, x 2 0 8r 2, 点 D p 2, 5 在圆 x 2y2r2
6、上, 5 p 2 2r2, 联立 ,解得 p 4(负值舍去 ),即 C 的焦点到准线的距离为p4,故选 B. 10.如图,已知双曲线C: x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0,b0)的右顶点为A,O 为坐标原点,以A 为圆心的圆与双曲线C 的 5 一条渐近线交于P, Q 两点,若 PAQ60 ,且 OQ 3OP ,则双曲线C 的离心率为 () A. 2 3 3 B. 7 2 C. 39 6 D.3 答案B 解析因为 PAQ60 ,|AP|AQ|, 所以 |AP|AQ|PQ|,设 |AQ|2R, 又 OQ 3OP ,则 |OP| 1 2|PQ|R. 双曲线 C 的渐近线方程是y b ax,A
7、(a,0), 所以点 A 到直线 y b ax 的距离 d b a a0 b a 2 12 ab a 2b2, 所以 ab a 2b2 2(2R)2R23R2, 即 a2b23R2(a2b2), 在 OQA 中,由余弦定理得, |OA| 2|OQ|2 |QA|22|OQ|QA|cos 60 (3R) 2(2R)2 23R2R1 27R 2a2 . 由 a 2b23R2 a 2b2 , a 27R2, 得 a 2 7R2, b 221 4 R 2, 所以双曲线C 的离心率为e c a c 2 a 2 a 2b2 a 2 1 b 2 a 2 1 21 4 R 2 7R 2 7 2 . 11.设椭圆
8、中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线ykx(k0)与 AB 相交于点D,与椭圆相 交于 E,F 两点 .若 ED 6DF ,则 k 的值为 _. 答案 2 3或 3 8 解析依题意得椭圆的方程为 x 2 4 y 2 1,直线 AB, EF 的方程分别为 x2y2,ykx(k0).如图,设 D(x0, kx0), E(x1,kx1), F(x2,kx2),其中 x10, x1x2 2 2k 2 k 2, x1x2 1. 由以 AB 为直径的圆过F,得 AFBF, 即 kAF kBF 1, 所以 y1 x11 y2 x21 1,即 x 1x2y1y2(x1x2) 10,
9、所以 x1x2k2(x11)(x21)(x1x2)10, 所以 (1k2)x1x2(k2 1)(x1x2)1k20, 把 x1x2 2 2k 2 k 2,x1x21 代入 得 2k 210,解得 k2 2 , 经检验 k 2 2 适合 式 . 7 综上所述, k 2 2 . 一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用 讨论方程的解(或函数零点 )的问题一般可以构造两个函数,将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函 数时,要先对方程进行变形,尽量构造两个比较熟悉的函数. 1.(2018咸阳模拟 )函数 f(x)2 x1 x的零点个数为 ( ) A.0 B.1C.2 D.3 答案B 解析
10、在同一平面直角坐标系下,作出函数y1 2x和 y2 1 x 的图象,如图所示. 函数 f(x)2 x1 x的零点个数等价于 2 x1 x的根的个数, 等价于函数y12x和 y2 1 x 图象的交点个数. 由图可知只有一个交点,所以有一个零点.故选 B. 2.若关于 x 的方程 | |x x4kx 2 有四个不同的实数解,则k 的取值范围为_. 答案 1 4, 解析x0 是方程的一个实数解; 当 x 0 时,方程 | |x x4 kx2 可化为 1 k (x4)|x|,x 4,k0, 设 f(x)(x4)|x|(x 4 且 x0),y 1 k, 则两函数图象有三个非零交点. f(x)(x4)|x
11、| x 24x,x0, x24x,x 1 4. 所以 k 的取值范围为 1 4, . 3.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x1)f(x1),当 x1,0时, f(x) x 3,则关于 x 的方 程 f(x)|cos x|在 5 2, 1 2 上的所有实数解之和为_. 答案7 解析因为函数f(x)为偶函数,所以f( x1)f(x 1)f(x1),所以函数f(x)的周期为2. 又当 x1,0时,f(x) x3,由此在同一平面直角坐标系内作出函数y1f(x)与 y2|cos x|的图象如图所示. 由图象知关于x 的方程 f(x)|cos x|在 5 2, 1 2 上的实数解有7 个.
12、不妨设 x11, 则方程 f(x)ax 恰有两个不同的实根时,实数 a 的取值范围 是 _. 答案 1 4, 1 e 解析画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,要使直线yax 与函数 f(x)有两个交点,当yax 与 y x 4 1 平行时,显然有两个交点,此时a 1 4.当 a 1 4时,只需求出当直线 y ax 和曲线 yln x 相切时的斜率即可.由于 相切时交点只有1 个,故结合图象知,实数a 的取值范围是 1 4, 1 e . 9 二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用 构建函数模型, 分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等 式
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- 高考 数学 理科 函数 方程 思想 结合
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