高考第二轮复习专题:函数与方程精品讲义.pdf
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1、卓越个性化教案 GFJW0901 1 03-函数与方程、函数的应用 1二次函数 (1)求二次函数在某段区间上的最值时,要利用好数形结合,特别是含参数的两种类型: “定轴动区间,定区间动轴”的问题,抓住“三点一轴”,三点指的是区间两个端点和 区间中点,一轴指的是对称轴 (2)注意三个“二次”的相互转化解题 (3)二次方程实根分布问题,抓住四点:“开口方向、判别式 、对称轴位置、区间端点 函数值正负” 2函数与方程 (1)函数的零点 对于函数f(x),我们把使f(x)0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点 (2)零点存在性定理 如果函数y f(x)在区间 a,b上的图象是一条连续不断的曲线,且有
2、f(a) f(b)ln e,x1.ylog52 1 4 1 2, 1 20,f(b) (b c)(ba)0.因此有 f(a) f(b)1 时, f(x) 2 xlog 0.5x12 xlog 2x1,令 f(x)0 得 log2x 1 2 x, 由 ylog2x,y 1 2 x 的图象知在 (1,)上有一个交点,即f(x)在(1, )上有一个零 点,故选 B. 5 (2013 辽宁 )已知函数f(x)x 22(a2)x a2,g(x) x22(a2)xa28.设 H 1(x) max f(x),g(x) ,H2(x)min f(x),g(x)(max p,q表示 p, q 中的较大值,min
3、p,q 表示 p,q 中的较小值 )记 H1(x)的最小值为 A,H2(x)的最大值为B,则 AB() A16 B 16 C a 22a16 Da2 2a16 答案B 解析f(x)x(a2) 24 4a, g(x) x (a 2)2124a, 在同一坐标系内作 f(x) 与 g(x)的图象 (如图 ) 依题意知,函数H1(x)的图象 (实线部分 ),函数 H2(x)的图象 (虚线部分 ) H1(x)的最小值 Af(a2) 44a, H2(x)的最大值Bg(a2) 124a,因此 A B(44a)(124a) 16. 卓越个性化教学讲义 3 题型一函数零点问题 例 1设函数 f(x) 1 3xl
4、n x (x0),则 yf(x) ( ) A在区间 1 e,1 ,(1,e)内均有零点 B在区间 1 e,1 ,(1,e)内均无零点 C在区间 1 e,1 内有零点,在区间 (1,e)内无零点 D在区间 1 e,1 内无零点,在区间 (1,e)内有零点 审题破题可以通过计算f 1 e , f(1),f(e)判断,也可利用函数图象 答案D 解析方法一因为 f 1 e 1 3 1 eln 1 e 1 3e10, f(1) 1 3ln 1 1 30, f(e) e 3ln e e 3 10 ,f(1) f(e)0,所以函数 f(x)2 xx32 在(0,1) 上递增, 且 f(0) 102 10,所
5、以有 1 个零点 (2)在下列区间中,函数f(x)e x4x 3 的零点所在的区间为 () A( 1 4,0) B(0, 1 4) C(1 4, 1 2) D(1 2, 3 4) 答案C 解析因为f(x)e x40,f 1 4 0,f 3 4 0,由零点存在 卓越个性化教学讲义 4 性定理知 f(x)在 1 4, 1 2 上存在一零点故选C. 题型二函数与方程的综合应用 例 2已知函数f(x) x22ex m1,g(x)xe 2 x (x0) (1)若 g(x)m 有实根,求m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得g(x)f(x)0 有两个相异实根 审题破题(1)g(x)m 有实根,
6、 可以分离参数转化为求函数最值(2)利用图象, 探究可 能的不等关系,从而构造关于m 的不等式求解 解(1)g(x)xe 2 x 2 e2 2e,等号成立的条件是xe.故 g(x)的值域是 2e, ), 因而只需 m2e,则 g(x)m 就有实根故m2e, ) (2)若 g(x)f(x)0 有两个相异的实根,即g(x)f(x)中函数g(x)与 f(x)的图象有两个不 同的交点, 作出 g(x)x e 2 x (x0)的大致图象 f(x) x2 2exm1 (xe)2m1e2. 其对称轴为xe,开口向下,最大值为m1e 2. 故当 m1 e 22e,即 me22e1 时, g(x)与 f(x)有
7、两个交点,即g(x)f(x) 0 有两个相异实根 m 的取值范围是(e22e1, ) 反思归纳解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方 程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解 变式训练2已知函数f(x) 2ax 22x3.如果函数 yf(x)在区间 1,1上有零点,则实数a 的取值范围为_ 答案 1 2 , 解析若 a0,则 f(x)2x3,f(x)0? x 3 2?1,1,不合题意,故 a0. 下面就 a0 分两种情况讨论: (1)当 f( 1) f(1)0 时, f(x)在1,1上至少有一个零点,即(2a5)(2a1)0,解得 1 2 a5 2. (
8、2)当 f(1) f(1)0 时, f(x)在 1,1上有零点的条件是 f 1 2a f 1 0, 10, 解得 a5 2.。综上,实数 a 的取值范围为 1 2, . 题型三函数模型及其应用 例 3为方便游客出行,某旅游点有50 辆自行车供租赁使用,管理这些自行车的费用是每 日 115 元根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6 元,则自行车可以全部租出;若 超过 6 元,则每超过1 元,租不出的自行车就增加3 辆为了便于结算, 每辆自行车的 日租金x(元 )只取整数,并且要求出租自行车一日的收入必须高于这一日的管理费用, 卓越个性化教学讲义 5 用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日出
9、租自行车的总收入减去管理费用后的所 得) (1)求函数 yf(x)的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多? 审题破题f(x)为分段函数, 要分 x6 和 x6 两种情况分别寻求函数关系,x 应为整数 解(1)当 x6 时, y50x115. 令 50x1150,解得 x2.3. xN * ,x 3,3x6, xN *. 当 x6 时, y50 3(x6)x115, 令503(x6)x1150,3x268x115185, 当每辆自行车的日租金定在11 元时,才能使一日的净收入最多 反思归纳解应用题首先要正确理解题意,将实际问题化为数学问题,再利用数
10、学知识 如函数、导数、不等式解决数学问题,最后回归到实际问题的解决上 变式训练3里氏震级M 的计算公式为:Mlg Alg A0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线 的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中,测震仪记录的最大振 幅是 1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为_级; 9 级地震 的最大振幅是5 级地震的最大振幅的_倍 答案610 000 解析由 M lg A lg A0知, Mlg 1 000 lg 0.0013( 3)6, 此次地震的震级 为 6 级 设 9 级地震的最大振幅为A1,5 级地震的最大振幅为 A2,则 lg A1 A2lg A1lg
11、 A2(lg A1 lg A0)(lg A2lg A0) 954. A1 A210 410 000, 9 级地震的最大振幅是5 级地震的最大振幅的10 000 倍 典例(12 分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天 卓越个性化教学讲义 6 中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时 )的关系为f(x) x x 21a 2a 2 3 , x0,24 ,其中a 是与气象有关的参数,且a 0,1 2 ,若用每天f(x)的最大值为当天 的综合放射性污染指数,并记作M(a) (1)令 t x x 21, x0,24 ,求 t 的取值范围; (2)省政府规定, 每天的综合
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