2017秋九年级数学上册小专题六线段等积式比例式的证明测试题湘教版.pdf

《2017秋九年级数学上册小专题六线段等积式比例式的证明测试题湘教版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017秋九年级数学上册小专题六线段等积式比例式的证明测试题湘教版.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、小专题 ( 六) 线段等积式、比例式的证明 方法 1 三点定型法 要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用“三点定型法”找相似三角形 1已知：如图， ABC ADE. 求证： AB AE AC AD. 证明： ABC ADE ，AA， ABC ADE ， AB AD AC AE ， 即 AB AE AC AD. 2如图，已知 ABC 中，点 D在 AC上，且 ABD C，求证：AB 2AD AC. 证明： ABD C，A是公共角， ABD ACB. AB AC AD AB . AB 2AD AC. 3已知：如图，在RtABC中， ACB 90， AB的垂直平分线交AB于 D

2、，交 AC于 E，交 BC延长 线于 F. 求证： CD 2DE DF. 证明：在Rt ABC中， ACB 90， D为 AB中点， AB90， CD AD. ADCE. 又DF 垂直平分AB ， BDF 90. BF90. DCE F. 又 CDE FDC ， CDE FDC. CD FD DE DC ，即 CD 2DE DF. 4如图，在ABC中，AB AC， 点 D、E、F 分别在 BC 、AB 、AC上，EDF B.求证： BD CD BE CF. 证明： ABC 中， AB AC ， BC. BBDE DEB 180， BDE EDF FDC 180， EDF B， FDC DEB.

3、 BDE CFD. BD CF BE CD ， 即 BD CD BE CF. 方法 2 等线段代换法 从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用“三点 定型法”找相似三角形 5已知：如图，在?ABCD 中， E是 CB延长线上一点，DE交 AB于 F. 求证： AD AB AF CE. 证明：四边形ABCD 是平行四边形， AC， AB CD ，AD BC. ADF E. ADF CED. AD CE AF CD . AD CE AF AB ，即 AD AB AF CE. 6 如图，在ABC中，点 D， E在边 BC上，且ADE是等边三角形， BAC 12

4、0， 求证：DE 2 BD CE. 证明： ADE 是等边三角形， DE AD AE ，ADE AED 60. ADB AEC 120， BBAD 60. 又 BAC 120， BC60. BAD C. ABD CAE. BD AE AD CE . BD DE DE CE ， 即 DE 2BD CE. 7如图，已知在 ABC中，ABAC ，AD是 BC边上的中线， CF BA ，BF交 AD于 P点，交 AC于 E点求 证： BP 2PE PF. 证明：连接PC. 在ABC中， AB AC ， D为 BC的中点， AD垂直平分BC. PB PC. PBC PCB. AB AC ， ABC AC

5、B ， ABC PBC ACB PCB ， 即ABP ACP. CF AB ， ABP F. ACP F. 又 EPC CPF ， PCE PFC. PC PE PF PC . PC PB ， PB PE PF PB ，即 PB 2PE PF. 方法 3 等比代换法 ( 找中间比 ) 要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡 8如图， 在ABC中，点 D、E 、Q分别在 AB 、AC 、BC上，且 DE BC ，AQ交 DE于点 P.求证： DP BQ PE QC . 证明：在 ABQ中， DP BQ ， ADP ABQ. DP BQ AP AQ. 同理 AEP AC

6、Q ， PE QC AP AQ. DP BQ PE QC ，即 DP BQ PE QC . 9如图，在 ?ABCD 的对角线 BD上任取一点P ，过 P点引一直线分别与BA 、DC两边的延长线交于E 、 G，又与 BC 、AD两边交于F、H，求证： PE PG PF PH . 证明：在 ?ABCD 中， AB CD ，AD BC ， PE PG PB PD ， PF PH PB PD . PE PG PF PH . 10如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，ABC 与DCE都是等边三角形其中线段BD交 AC 于点 G ，线段 AE交 CD于点 F. 求证： (1) ACE BCD ； (2)

7、 AG CG AF EF . 证明： (1) ABC 与DCE都是等边三角形， AC BC ，CE CD ，ACB DCE 60. DCE ACD ACB ACD ， 即ACE BCD. ACE BCD(SAS) (2) ABC与DCE都是等边三角形， AB AC ，CD ED ，ABC DCE 60. AB CD AC ED ，AB DC. ABG CDG ，BAG DCG. ABG CDG. AG CG AB CD . 同理 AF EF AC ED ， AG CG AF EF . 方法 4 等积代换法 ( 找中间积 ) 常用到基本图形的结论找中间积 11如图，在 ABC 中，AD BC 于

8、 D，DE AB 于 E ，DF AC 于 F，求证： AE AB AF AC. 证明： AD BC ，DE AB ， ADB AED 90. 又 DAE BAD ， ADE ABD. AD AB AE AD ，即 AE AB AD 2. 同理， ADF ACD ， AF AC AD 2. AE AB AF AC. 12 ( 崇明中考 ) 如图，ABC中，点 D、 E分别在 BC和 AC边上，点 G是 BE边上一点， 且BAD BGD C，连接AG.求证： BG AB AB BE . 证明： BGD C，DBG EBC ， BGD BCE. BG BC BD BE ， 即 BG BE BC B

9、D. 又 BAD C，ABD CBA ， ABD CBA. AB CB BD BA ，即 BC BD AB 2. BG BE AB 2，即BG AB AB BE . 13如图，在 ABC 中， AD 、BF分别是 BC 、AC边上的高，过D作 AB的垂线交 AB于 E，交 BF于 G ， 交 AC的延长线于H，求证： DE 2EG EH. 证明： AD 、 BF分别是 BC 、 AC边上高， DE AB ， ADB BED 90. EBD EDB EDB ADE. EBD EDA. AED DEB. DE 2AE BE. 又 HFG 90， BGE HGF ， EBG H. BEG HEA 90， BEG HEA. EG AE BE HE ，即 EG EH AE BE. DE 2EG EH.