2018年中考数学真题分类汇编滚动小专题(十一)与圆的有关计算与证明(答案不全).pdf
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1、1 (分类)滚动小专题(十一)与圆有关的计算与证明 类型 1 与圆的基本性质有关的计算与证明 (2018安徽) 20. 如图 , O为锐角 ABC的外接圆 , 半径为 5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E( 保留作图痕迹, 不写作法 ) ; (2)若( 1)中的点E到弦BC的距离为3, 求弦CE的长 . 解: ( 1)画图略 (2) AE平分 BAC 弧 BE=弧 EC,连接 OE 则 OE BC于点 F,EF=3 连接 OC 、 EC 在 RtOFC中,由勾股定理可得FC=21 在 RtEFC中,由勾股定理可得CE=30 (2018 湖州) 21 ( 8 分)
2、 (2018?湖州)如图,已知AB是 O的直径, C ,D是 O上的点, OC BD ,交 AD于点 E ,连结 BC (1)求证: AE=ED ; (2)若 AB=10 ,CBD=36 ,求的长 2 (2018 无锡) 24、 (本题满分8 分)如图, 四边形 ABCD 内接于圆心O,AB=17 ,CD=10 ,A=90, cos B= 5 3 ,求 AD的长。 D B C A 【解答】 DA AB DAB=90 在圆 O中 DCB=90 延长 AD 、 BC交于点 E,易证 B=EDC 5 3 ED DC 3 50 ED 5 3 cosB 3 4 tan B 在 EAB中, EA= 3 6
3、8 3 4 17 DA=EA-ED= 3 50 3 68 =6 3 25 ( 10 分)如图, AB是以 O为圆心的半圆的直径,半径CO AO ,点 M是上的动点,且不与 点 A、C、 B重合,直线AM交直线 OC于点 D,连结 OM 与 CM (1)若半圆的半径为10 当 AOM=60 时,求DM的长; 当 AM=12时,求 DM的长 (2)探究:在点M运动的过程中,DMC 的大小是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说 明理由 【解答】 解: (1)当 AOM=60 时, OM=OA , AMO 是等边三角形, A=MOA=60 , MOD=30, D=30 , DM=OM=10 过点
4、M作 MF OA于点 F, 设 AF=x, OF=10 x, AM=12 ,OA=OM=10, 由勾股定理可知:12 2x2=102( 10x)2 4 x=, AF=, MF OD , AMF ADO , , , AD= MD=AD AM= (2)当点 M位于之间时, 连接 BC , C是的重点, B=45 , 四边形AMCB 是圆内接四边形, 此时 CMD= B=45 , 当点 M位于之间时, 连接 BC , 由圆周角定理可知:CMD= B=45 综上所述, CMD=45 5 (2018 温州) 22. (本题 10 分)如图, D是 ABC的 BC边上一点,连接AD ,作 ABD的外接圆,
5、 将 ADC沿直线 AD折叠,点C的对应点E落在上 . (1)求证: AE=AB. (2)若 CAB=90 , cosADB= 1 3 ,BE=2 ,求 BC的长 . 6 (2018 台州) 24. 如图,ABC是O的内接三角形,点D在BC上,点E在弦AB上(E不 与A重合),且四边形BDCE为菱形 . (1)求证:ACCE; (2)求证: 22 BCACAB AC; (3)已知O的半径为3. 若 5 3 AB AC ,求BC的长; 当 AB AC 为何值时,AB AC的值最大? (2018 南通)28. 如图,O 的直径26AB,P是AB上 (不与点AB、重合)的任一点 ,点 CD、 为O
6、上的两点 . 若APDBPC ,则称CPD 为直径AB的“回旋角” . (1)若60BPCDPC,则CPD 是直径AB的 “回旋角”吗?并说明理由; (2)若 CD 的长为 13 4 ,求“回旋角”CPD 的度数; (3)若直径AB的“回旋角”为120 ,且PCD 的周长为 2413 3 ,直接写出AP的长 . 解: 28 (1)是; ( 2)45; ( 3)3 或 23 (2018 湘潭) 7 (2018 南京) 26. 如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE. 过点A作AFDE, 垂足为F.O经过点C、D、F,与AD相交于点G. (1)求证AFGDFC; (2)若正方形ABCD
7、的边长为4,1AE,求O的半径 8 (2018 黄冈) 18. 如图,AD是O的直径,AB为O的弦,OPAD,OP与AB的延长 线交于点P,过B点的切线交OP于点C. (1)求证:CBPADB. (2)若2OA,1AB,求线段BP的长 . 9 (2018 宜昌) 21. 如图,在ABC中,ABAC. 以AB为直径的半圆交AC于点D,交BC 于点E. 延长AE至点F,使EFAE, 连接FBFC,. (1) 求证 : 四边形ABFC是菱形; (2) 若AD7BE2,求半圆和菱形ABFC的面积 . 21.(1) 证明:AB为半圆的直径, 90AEB, ABAC, CEBE, 又EFAE, 四边形AB
8、FC是平行四边形. 又ABAC, (或90AEB, ) 平行四边形ABFC是菱形 . (2) 解:7,2ADBECE, 设CDx,则7ABACx, 解法一:连接BD, (如图) 图 1 AB为半圆的直径, 10 90ADB, 2222 ABADCBCD 2222 (7)74xx 1 1x或 2 8x(舍去) 解法二:连接DE.(如图) 图 2 四边形ABED是圆内接四边形 180ADEABC 180ADECDE CDEABE DCEBCA CDECBA CDCB CECA 4 27 x x 2 780xx 1 1x或 2 8x(舍去) 解法三:如图1,连接BD, AB为半径的直径, 90ADB
9、 可证CDBCEA CDCB CECA 4 27 x x 1 1x或 2 8x(舍去) 2 1 =4 =8 2 S半圆 15BD, 11 =8 15S菱形 (2018 福建) (2018 张家界) 20、 (本小题满分6 分) 如图,点P是O的直径AB延长线上一点, 且AB=4, 点M为上一个动点 ( 不与BA、 12 重合 ), 射线PM与O交于点N( 不与M重合 ) (1) 当M在什么位置时 ,MAB的面积最大 , 并求岀这个最大值; (2) 求证 :PANPMB. 20. 解: (1)当点 M在 AB 弧的中点处时,最大 1 分 (其它表述合理均给分) 因为此时: 24 2 1 2 1
10、ABOM 2 分 424 2 1 2 1 OMABS ABM 3 分 (2) PANPMB 4 分 PP 5 分 PMBPAM 6 分 (2018 贵阳) 23. (本题满分10分)如图,AB 为O 的直径, , ,且AB 4 ,点 C在半圆上,OC AB , 垂足为点O ,P 为半圆上任意一点,过P 点作PE OC 于点 E,设OPE 的内心 为M ,连接O M、PM . (1)求OMP 的度数; (2)当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时,求内心M 所经过的路径长. ABM S 13 【解】 (1)PE OCPEO 90 EPO EOP 90 M 是OPE 的内心EOM POM,EPM
11、OPM POM OPM 1 (EPO EOP) 45 2 在POM 中,OMP 180 (POM OPM ) 180 45135 (2) 连接CM , 作过O、M、C 三点的外接圆, 即N , 连接NC、NO , 在N 的优弧上任取一点H ,连接HC、HO .如图所示: 14 由题意知:O P OC,POM COM,OM OM POM COM OMP OMC 135 在N 的内接四边形CMOH 中,H 180OMC 180135 45 N 245 90 由题意知:O C 1 AB 1 4 2 2 2 在等腰直角三角形C NO 中,NC NO 由勾股定理得:NC2 NO 2 OC2 即 2NC2
12、 2 2 NC 2 当点P 在上运动时,点M 在上运动 90 的长为: 180 与关于OC 对称 2 2 2 当点P 在上运动时, 点M 所在弧上的运动路径长与当点P 在上运动时, 点M 在 上运动的路径长相等 当点P 在半圆上从点B 运动到点A 时,求内心M 所经过的路径长为: 2 2 2 2 15 (2018 遵义) 2 5 .(12 分)如图, AB 是半圆 O 的直径,C 是 AB 延长线上的点, AC 的垂直平分线交半圆于点 D,交 AC 于点 E,连接 DA,DC.已知半圆 0 的半径为 3 ,BC=2. (1 )求AD 的长. (2 )点P 是线段AC 上一动点,连接 DP ,作
13、 DPF= DAC , PF 交线段 CD 于 点F. 当?DPF 为等腰三角形时,求 AP 的长. 16 (2018 哈尔滨) 17 18 19 类型 2 与切线有关的计算与证明 (2018 十堰) 23. 如图,ABC中,ABAC,以AB为直径的O交BC于点D,交AC于点E,过点D作 FGAC于点F,交AB的延长线于点G. (1)求证:FG是O的切线; (2)若tan2C,求 GB GA 的值 . (2018 德州)22. 如图 ,AB是O的直径 , 直线CD与O相切于点C, 且与AB的延长线交于点E. 点C是BF的 中点 . (1) 求证 :ADCD (2) 若30CAD.O的半径为3,
14、一只蚂蚁从点B出发,沿着 BECECB爬回至点B, 求蚂蚁爬过的路程 3.1431.73,结果保留一位小数. 20 (2018绵阳)如图,AB是O的直径,点D在O上(点 D不与 A,B重合) ,直线 AD交过点 B的切线于点C, 过点 D作O的切线 DE交 BC于点 E。 (1)求证: BE=CE ; (2)若 DE平行 AB ,求ACOsin的值。 21 (2018滨州) 22. 如图,AB为O的直径 , 点C在O上,ADCD于点D, 且AC平分DAB. 求证 ;(1) 直线 DC是O的切线 ;(2) 2 2ACAD AO. (2018 内江)26. 如图,以Rt ABC的直角边AB为直径作
15、O交斜边AC于点D, 过圆心O作/ /OEAC, 交BC 于点E,连接DE. (1)判断DE与O的位置关系并说明理由; (2)求证: 2 2DECD OE; (3)若 4 tan 3 C, 5 2 DE,求AD的长 . (2018?内江)如图,以RtABC的直角边AB为直径作 O交斜边 AC于点 D,过圆心 O作 OE AC ,交 BC于点 E, 连接 DE (1)判断 DE与 O的位置关系并说明理由; (2)求证: 2DE 2=CD?OE ; (3)若 tanC=,DE=,求 AD的长 22 【解答】 解: (1) DE是 O的切线,理由:如图, 连接 OD ,BD , AB是 O的直径,
16、ADB= BDC=90 , OE AC ,OA=OB , BE=CE , DE=BE=CE, DBE= BDE , OB=OD , OBD= ODB , ODE= OBE=90 , 点 D在 O上, DE是 O的切线; (2) BCD= ABC=90 , C=C, BCD ACB , , BC 2=CD?AC , 由( 1)知 DE=BE=CE= BC , 4DE 2=CD?AC , 由( 1)知, OE是 ABC是中位线, AC=2OE , 4DE 2=CD?2OE , 2DE 2=CD?OE ; (3) DE= , BC=5 , 23 在 RtBCD中, tanC=, 设 CD=3x ,B
17、D=4x,根据勾股定理得, (3x) 2+(4x)2=25, x=1(舍)或x=1, BD=4 ,CD=3 , 由( 2)知, BC 2=CD?AC , AC=, AD=AC CD=3= (2018甘肃) (2018南充) 22. 如图,C是O上一点,点P在直径AB的延长线上,O的半径为3,2PB,4PC. (1)求证:PC是O的切线 . (2)求tanCAB的值 . 22. 解: (1)证明:连接OC. O的半径为3,3OCOB. 24 又2BP,5OP. 在OCP中, 222222 345OCPCOP, OCP为直角三角形,90OCP. OCPC,故PC为O的切线 . (2)过C作CDOP
18、于点D,90ODCOCP. CODPOC,OCDOPC. OCOPPC ODOCCD , 2 OCOD OP, 2 9 5 OC OD OP , 45 3DC , 12 5 CD. 又 24 5 ADOAOD, 在Rt CAD中, 1 tan 2 CD CAB AD . (2018金华 / 丽水)如图,在RtABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于 点D,E,连结AD. 已知CAD=B. (1)求证:AD是O的切线 . (2)若BC=8,tanB= 1 2 , 求O的半径 . 25 (2018 宁波) (2018 衢州)如图,已知AB为 O直径, AC是
19、O的切线,连接BC交 O于点 F,取弧 BF的中点 D,连接 AD交 BC于点 E,过点 E作 EFAB于 H。 (1)求证: HBE ABC ; (2)若 CF 4,BF 5,求 AC和 EH的长。 26 (2018枣庄) 23如图,在RtACB中, 0 90C,cmBCcmAC4,3,以BC为直径作O交AB于 点D. (1)求线段AD的长度; (2)点F是线段AC上的一点,试问:当点E在什么位置时,直线ED与O相切?请说明理由. 解: (1)在 Rt ACB中, AC=3cm ,BC=4cm ,ACB=90 , AB=5cm ; 连接 CD , BC为直径, ADC= BDC=90 ; A
20、=A, ADC= ACB , RtADC RtACB ; ,; (2)当点 E是 AC的中点时, ED与 O相切; 证明:连接OD , DE是 RtADC的中线; ED=EC , EDC= ECD ; OC=OD , ODC= OCD ; 27 EDO= EDC+ ODC= ECD+ OCD= ACB=90 ; ED OD , ED与 O相切 (2018 成都)20. 如图,在Rt ABC中,90C,AD平分BAC交BC于点D,O为AB上一点, 经过点A, D的O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G. (1)求证:BC是O的切线; (2)设ABx,AFy,试用含,x y的代数式表示
21、线段AD的长; (3)若8BE, 5 sin 13 B,求DG的长 . 28 23 (10 分) (2018?自贡)如图,在ABC中, ACB=90 (1)作出经过点B,圆心 O在斜边 AB上且与边AC相切于点E的 O(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作 法和证明) (2)设( 1)中所作的O与边 AB交于异于点B的另外一点D,若 O的直径为5, BC=4 ;求 DE的长 (如果用尺 规作图画不出图形,可画出草图完成(2)问) 解: (1) O如图所示; (2)作 OH BC于 H 29 AC是 O的切线, OE AC , C=CEO= OHC=90 , 四边形ECHO 是矩形, OE=C
22、H= ,BH=BC CH= , 在 RtOBH 中, OH=2, EC=OH=2 ,BE=2, EBC= EBD , BED= C=90 , BCE BED , =, =, DE= (2018 泸州) 24. 如图 10,已知 AB ,CD是O的直径,过点C作O的切线交AB的延长线于点P ,O的弦 DE交 AB于点 F,且 DF=EF. (1)求证: 2 COOF OP; (2)连接 EB交 CD于点 G,过点 G作 GHAB于点 H,若 PC=4 2,PB=4 ,求 GH的长 . 【解答】( 1)证明: PC是 O的切线, OC PC , O P H G F E D C B A 30 PCO
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