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1、1 专题 4.4 圆 一、单选题 1如图, AB为 O的直径, CD是 O的弦, ADC=35 ,则CAB的度数为() A. 35 B. 45 C. 55 D. 65 【来源】江苏省盐城市2018 年中考数学试题 【答案】 C 点睛:本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识. 2 如图,一把直尺,的直角三角板和光盘如图摆放,为角与直尺交点,,则光盘的直径是( ) A. 3 B. C. D. 【来源】广东省深圳市2018 年中考数学试题 【答案】 D 【解析】【分析】设光盘圆心为O,连接 OC ,OA ,OB ,由 AC 、AB都与圆 O相切,利用切线长定理得到AO平 2
2、分 BAC ,且 OC垂直于 AC,OB垂直于 AB ,可得出 CAO= BAO=60 ,得到 AOB=30 ,利用30所对的 直角边等于斜边的一半求出OA的长,再利用勾股定理求出OB的长,即可确定出光盘的直径 【详解】如图,设光盘圆心为O ,连接 OC ,OA ,OB , AC、AB都与圆 O相切, AO平分 BAC ,OC AC ,OB AB , CAO= BAO=60 , AOB=30 , 在 RtAOB中, AB=3cm ,AOB=30 , OA=6cm , 根据勾股定理得:OB=3, 则光盘的直径为6, 故选 D. 【点睛】本题考查了切线的性质,切线长定理,含30角的直角三角形的性质
3、,以及勾股定理,熟练掌握 切线的性质是解本题的关键 3如图,在中,的半径为3,则图中阴影部分的面积是() A. B. C. D. 【来源】四川省成都市2018 年中考数学试题 【答案】 C 【解析】分析:根据平行四边形的性质可以求得C的度数,然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面 积 3 详解:在 ?ABCD 中, B=60, C的半径为3, C=120 , 图中阴影部分的面积是:=3, 故选 C 点睛:本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用扇形面积的计算 公式解答 4在 ABC中,若 O为 BC边的中点,则必有:AB 2+AC2 =2AO 2+2BO2 成
4、立依据以上结论,解决如下问题:如 图,在矩形DEFG中,已知DE=4 ,EF=3,点 P在以 DE为直径的半圆上运动,则PF 2+PG2 的最小值为() A. B. C. 34 D. 10 【来源】四川省宜宾市2018 年中考数学试题 【答案】 D 【解析】分析:设点M为 DE的中点,点N为 FG的中点,连接MN ,则 MN 、PM的长度是定值,利用三角形的 三边关系可得出NP的最小值,再利用PF 2+PG2=2PN2 +2FN 2 即可求出结论 详解:设点M为 DE的中点,点N为 FG的中点,连接MN 交半圆于点P,此时 PN取最小值 DE=4,四边形DEFG 为矩形, GF=DE ,MN=
5、EF , MP=FN=DE=2 , NP=MN-MP=EF-MP=1, PF 2+PG2=2PN2 +2FN 2=212+222=10 故选 D 4 点睛:本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系,利用三角形三边关系找出PN的 最小值是解题的关键 5已知半径为5 的 O是 ABC的外接圆,若 ABC=25 ,则劣弧的长为() A. B. C. D. 【来源】山东省滨州市2018 年中考数学试题 【答案】 C 点睛:此题考查三角形的外接圆与外心,关键是根据圆周角定理和弧长公式解答 6如图,过点,点是 轴下方上的一点,连接,则的度数 是() A. B. C. D. 【来源】 20
6、18 年甘肃省武威市(凉州区)中考数学试题 【答案】 B 【解析】【分析】连接CD,根据圆周角定理可知OBD=OCD,根据锐角三角形函数即可求出OCD的度数 . 5 【解答】连接CD, OBD与OCD是同弧所对的圆周角, OBD=OCD. 故选 B. 【点评】考查圆周角定理,解直角三角形,熟练掌握在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等是解题的关 键. 7用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是() A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内 【来源】 2018 年浙江省舟山市中考数学试题 【答案】 D 【解析】【分析】在假设结论不成立时要
7、注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一 种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定 【解答】用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立, 那么点应该在圆内或者圆上. 故选 D. 【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系,解题的关键是掌握点和圆的位置关系. 8如图 , 从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90的扇形 . 则此扇形的面积为() A. B. C. D. 6 【来源】山东省德州市2018 年中考数学试题 【答案】 A 【解析】分析:连接AC,根据圆周角定理得出AC为圆的直径,解直角三角形求出AB,根据扇形面积公式 求出即可 详解:连接AC 从一块直径为2m的圆形铁
8、皮上剪出一个同心角为90的扇形,即ABC=90,AC为直径,即AC=2m, AB=BC AB 2+BC2=22, AB=BC=m,阴影部分的面积是=(m 2) 故选 A 点睛:本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算,能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键 9如图,的半径为2,圆心的坐标为,点是上的任意一点,且、与 轴分 别交于、两点,若点、点关于原点对称,则的最小值为() A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【来源】山东省泰安市2018 年中考数学试题 【答案】 C 7 点睛:本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式解题的关键是利用直角三角形斜 边上中线等于斜边的一半把AB的长
9、转化为2OP 10如图,与相切于点,若,则的度数为() A. B. C. D. 【来源】山东省泰安市2018 年中考数学试题 【答案】 A 【解析】分析:连接OA、OB,由切线的性质知OBM=90,从而得ABO=BAO=50,由三角形内角和定 理知AOB=80,根据圆周角定理可得答案 详解:如图,连接OA、OB 8 BM是O的切线,OBM=90 MBA=140,ABO=50 OA=OB,ABO=BAO=50,AOB=80,ACB= AOB=40 故选 A 点睛:本题主要考查切线的性质,解题的关键是掌握切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于
10、切线的直线必经过圆心 11如图,已知AB是的直径,点P在BA的延长线上,PD与相切于点D,过点B作PD的垂线交PD 的延长线于点C,若的半径为4,则PA的长为() A. 4 B. C. 3 D. 2.5 【来源】【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷(A卷) 【答案】 A 【解析】【分析】连接OD ,由已知易得POD PBC ,根据相似三角形对应边成比例可求得PO 的长,由 PA=PO-AO 即可得 . 【详解】连接OD , PD与 O相切于点D, OD PD , PDO=90 , BCP=90 , 9 PDO= PCB , P=P , POD PBC , PO :PB=OD :BC
11、, 即 PO : (PO+4 )=4:6, PO=8 , PA=PO-OA=8-4=4 , 故选 A. 【点睛】本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质,连接OD构造相似三角形是解题的关键. 12如图,点A,B,C在 O上, ACB=35 ,则AOB的度数是() A. 75 B. 70 C. 65 D. 35 【来源】浙江省衢州市2018 年中考数学试卷 【答案】 B 【解析】分析:直接根据圆周角定理求解 详解: ACB=35 , AOB=2 ACB=70 故选 B 点睛:本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆 心角的一半 13如图, AC是
12、 O的直径,弦BD AO于 E,连接 BC ,过点 O作 OFBC于 F,若 BD=8cm ,AE=2cm ,则 OF 的长度是() A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 10 【来源】浙江省衢州市2018 年中考数学试卷 【答案】 D 【解析】分析:根据垂径定理得出OE的长,进而利用勾股定理得出BC的长,再利用相似三角形的判定和 性质解答即可 详解:连接OB , 点睛:本题考查了垂径定理,关键是根据垂径定理得出OE的长 二、填空题 14如图,AB是O的弦,点C在过点B的切线上,且OCOA,OC交AB于点P,已知OAB=22,则 OCB=_ 11 【来源】江苏省连云港市201
13、8 年中考数学试题 【答案】 44 【解析】分析: 首先连接OB , 由点 C在过点 B的切线上,且 OC OA , 根据等角的余角相等, 易证得 CBP= CPB , 利用等腰三角形的性质解答即可 详解:连接OB , BC是 O的切线, OB BC , OBA+ CBP=90 , OC OA , A+APO=90 , OA=OB , OAB=22 , OAB= OBA=22 , APO= CBP=68 , APO= CPB , CPB= ABP=68 , OCB=180 -68 -68 =44, 故答案为: 44 点睛:此题考查了切线的性质此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合
14、思想与方程思 想的应用 15如图,将含有30角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系,顶点A,B分别落在x、y 轴的正半轴上, 12 OAB 60,点A 的坐标为( 1,0) ,将三角板ABC沿 x 轴向右作无滑动的滚动(先绕点A按顺时针方向 旋转 60,再绕点C按顺时针方向旋转90,, )当点B第一次落在x 轴上时,则点B运动的路径与坐标 轴围成的图形面积是_. 【来源】江苏省宿迁市2018 年中考数学试卷 【答案】+ 【解析】【分析】在Rt AOB中,由 A点坐标得OA=1 ,根据锐角三角形函数可得AB=2,OB=,在旋转过程 中,三角板的角度和边的长度不变,所以点B运动的路径与坐标轴围成的
15、图形面积: S=,计算即可得出答案. 【详解】在Rt AOB中, A(1, 0) , OA=1 , 又 OAB 60, cos60=, AB=2,OB=, 在旋转过程中,三角板的角度和边的长度不变, 点 B运动的路径与坐标轴围成的图形面积: S=, 故答案为:. 【点睛】本题考查了扇形面积的计算,锐角三角函数的定义,旋转的性质等,根据题意正确画出图形是解 题的关键 . 16一个扇形的圆心角是120它的半径是3cm则扇形的弧长为_cm 13 【来源】江苏省连云港市2018 年中考数学试题 【答案】 2 【解析】分析:根据弧长公式可得结论 详解:根据题意,扇形的弧长为=2, 故答案为: 2 点睛:
16、本题主要考查弧长的计算,熟练掌握弧长公式是解题的关键 17已知圆锥的底面圆半径为3cm ,高为 4cm,则圆锥的侧面积是_cm 2. 【来源】江苏省宿迁市2018 年中考数学试卷 【答案】 15 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积,熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解 题的关键 . 18如图,左图是由若干个相同的图形(右图)组成的美丽图案的一部分. 右图中,图形的相关数据:半径 OA=2cm ,AOB=120 . 则右图的周长为_cm(结果保留) 【来源】江苏省盐城市2018 年中考数学试题 【答案】 【解析】分析:先根据图1 确定:图2 的周长 =2 个的长,根据弧长公式
17、可得结论 详解:由图1 得:的长 +的长 =的长, 半径 OA=2cm ,AOB=120 则图 2 的周长为:. 14 故答案为: 点睛:本题考查了弧长公式的计算,根据图形特点确定各弧之间的关系是本题的关键 19小明发现相机快门打开过程中,光圈大小变化如图1 所示,于是他绘制了如图2 所示的图形图2 中 留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形,若PQ 所在的直线经过点M , PB=5cm ,小正六边形的面积为cm 2,则该圆的半径为 _cm 【来源】浙江省温州市2018 年中考数学试卷 【答案】 8. 【解析】分析: 设两个正六边形的中心为O,连接 OP,OB,过点
18、O作 OG PM于点 G,OH AB于点 H,如图所 示:很容易证出三角形PMN是一个等边三角形,边长PM的长, ,而且面积等于小正六边形的面积的, 故 三角形 PMN 的面积很容易被求出,根据正六边形的性质及等腰三角形的三线和一可以得出PG的长,进而得 出 OG的长, , 在 RtOPG 中,根据勾股定理得 OP 的长,设OB为 x, ,根据正六边形的性质及等腰三角形的 三线和一可以得出BH ,OH的长,进而得出PH的长,在Rt PHO中,根据勾股定理得关于x 的方程,求解 得出 x 的值,从而得出答案. 详解 : 设两个正六边形的中心为O ,连接 OP,OB,过点 O作 OG PM于点 G
19、 ,OH AB于点 H,如图所示: 很容易证出三角形PMN 是一个等边三角形,边长PM=, 而且面积等于小正六边形的面积的, 故三角形PMN 的面积为cm 2, OG PM ,且 O是正六边形的中心, 15 PG= PM= OG=, 在 RtOPG 中,根据勾股定理得:OP 2 =OG 2+PG2, 即 =OP 2, OP=7cm , 设 OB为 x, OH AB ,且 O是正六边形的中心, BH= X,OH=, PH=5- x, 在 RtPHO 中,根据勾股定理得OP 2=PH2+OH2, 即 ; 解得: x1=8,x2=-3 (舍) 故该圆的半径为8cm. 故答案为 :8. 点睛 : 本题
20、以相机快门为背景,从中抽象出数学模型,综合考查了多边形、圆、三角形及解三角形等相关 知识,突出考查数学的应用意识和解决问题的能力。试题通过将快门的光圈变化这个动态的实际问题化为 静态的数学问题,让每个学生都能参与到实际问题数学化的过程中,鼓励学生用数学的眼光观察世界;在 运用数学知识解决问题的过程中,关注思想方法,侧重对问题的分析,将复杂的图形转化为三角形或四边 形解决,引导学生用数学的语言表达世界,用数学的思维解决问题. 20已知的半径为,是的两条弦,则弦和之 间的距离是 _ 【来源】湖北省孝感市2018 年中考数学试题 【答案】 2 或 14 【解析】分析:分两种情况进行讨论:弦AB和 C
21、D在圆心同侧;弦AB和 CD在圆心异侧;作出半径和 弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可 详解:当弦AB和 CD在圆心同侧时,如图, AB=16cm , CD=12cm , 16 AE=8cm ,CF=6cm , OA=OC=10cm, EO=6cm ,OF=8cm , EF=OF-OE=2cm ; 点睛:本题考查了勾股定理和垂径定理的应用此题难度适中,解题的关键是注意掌握数形结合思想与分 类讨论思想的应用,小心别漏解 21已知扇形的弧长为2 ,圆心角为60,则它的半径为_ 【来源】浙江省温州市2018 年中考数学试卷 【答案】 6. 【解析】分析: 设扇形的半径为r ,根据扇形的面积公式及
22、扇形的面积列出方程,求解即可. 详解 : 设扇形的半径为r , 根据题意得:, 解得:r=6 故答案为: 6. 点睛 : 此题考查弧长公式,关键是根据弧长公式解答. 22将绕点逆时针旋转到使、 、在同一直线上,若, 则图中阴影部分面积为_. 17 【来源】四川省凉山州2018 年中考数学试题 【答案】 【解析】分析:易得整理后阴影部分面积为圆心角为120,两个半径分别为4 和 2 的圆环的面积 详解: BCA=90 , BAC=30 , AB=4cm , BC=2,AC=2, A BA=120 , CBC =120, 阴影部分面积=(SABC +S扇形 BAA) -S扇形 BCC -SABC=
23、( 4 2-22)=4cm2 故答案为: 4 点睛:本题利用了直角三角形的性质,扇形的面积公式求解 23如图 1 是小明制作的一副弓箭,点A,D分别是弓臂BAC与弓弦 BC的中点,弓弦BC=60cm 沿 AD方向 拉弓的过程中,假设弓臂BAC始终保持圆弧形,弓弦不伸长如图2,当弓箭从自然状态的点D 拉到点D1 时,有 AD1=30cm , B1D1C1=120 (1)图 2中,弓臂两端B1,C1的距离为 _cm (2)如图 3,将弓箭继续拉到点D2,使弓臂B2AC2为半圆,则D1D2的长为 _cm 【来源】浙江省金华市2018 年中考数学试题 【答案】 30 1010, 【解析】 分析: (
24、1)如图 1 中,连接 B1C1交 DD1于 H解直角三角形求出B1H,再根据垂径定理即可解决问题; (2)如图 3 中,连接B1C1交 DD1于 H,连接 B2C2交 DD2于 G 利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题; 详解:(1)如图 2 中,连接 B1C1交 DD1于 H 18 D1A=D1B1=30 D1是的圆心, AD1B1C1, B1H=C1H=30 sin60 =15, B1C1=30 弓臂两端B1,C1的距离为30 (2)如图 3 中,连接B1C1交 DD1于 H,连接 B2C2交 DD2于 G 设半圆的半径为r ,则 r=, r=20 , AG=GB2=20, GD1=30
25、-20=10 , 在 RtGB2D2中, GD2= D1D2=10-10 故答案为30,10-10 , 点睛:本题考查垂径定理的应用、勾股定理、弧长公式等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造 直角三角形解决问题,属于中考填空题中的压轴题 24如图,为半圆内一点,为圆心,直径长为,将绕圆心逆时 针旋转至,点在上,则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为_ (结果保留) 【来源】贵州省安顺市2018 年中考数学试题 19 【答案】 【解析】分析:根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数,再根据扇形的面积公式进行计 算即可得出答案 点睛:此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式,掌握直角三角
26、形的性质和扇形的面积公式是本题的关键 25刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在九章算术中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边 形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆 O的半径为1,若用圆 O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的 面积,则S=_ (结果保留根号) 【来源】四川省宜宾市2018 年中考数学试题 【答案】 【解析】分析:根据正多边形的定义可得出ABO为等边三角形,根据等边三角形的性质结合OM的长度可 求出 AB的长度,再利用三角形的面积公式即可求出S的值 详解:依照题意画出图象,如图所示 20 六边形ABCDEF 为正六边形, ABO为等边三角形, O的半径为 1, OM=1 , B
27、M=AM= , AB=, S=6SABO=61=2 故答案为: 2. 点睛:本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识,根据等边三角形的性质求出正六边形的边 长是解题的关键 26如图, AB是半圆的直径,AC是一条弦, D是 AC的中点, DE AB于点 E且 DE交 AC于点 F,DB交 AC于 点 G ,若,则=_ 【来源】四川省宜宾市2018 年中考数学试题 【答案】 【解析】分析:由AB是直径,推出ADG= GCB=90 ,因为 AGD= CGB ,推出 cosCGB=cos AGD ,可得 ,设 EF=3k,AE=4k,则 AF=DF=FG=5k ,DE=8k,想办法求出DG
28、、AG即可解决问题; 详解:连接AD,BC 21 AB是半圆的直径, ADB=90 ,又 DE AB , ADE= ABD , D是的中点, DAC= ABD , ADE= DAC , FA=FD ; ADE= DBC , ADE+ EDB=90 , DBC+ CGB=90 , EDB= CGB ,又 DGF= CGB , EDB= DGF , FA=FG , ,设 EF=3k,AE=4k,则 AF=DF=FG=5k ,DE=8k , 在 RtADE中, AD=, AB是直径, ADG= GCB=90 , AGD= CGB , cosCGB=cos AGD , , 在 RtADG 中, DG=
29、k, , 故答案为: 点睛:本题考查的是圆的有关性质、勾股定理、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线, 学会利用参数解决问题,属于中考常考题型 27如图,已知的半径为2,内接于,则_ 22 【来源】江苏省扬州市2018 年中考数学试题 【答案】 点睛:本题考查三角形的外接圆和外心,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数 形结合的思想解答 28 用半径为,圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径为 _ 【来源】江苏省扬州市2018 年中考数学试题 【答案】 【解析】分析:圆锥的底面圆半径为r ,根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长,列方程求解 详解
30、:设圆锥的底面圆半径为r ,依题意,得 2r=, 23 解得 r=cm 故答案为: 点睛:本题考查了圆锥的计算圆锥的侧面展开图为扇形,计算要体现两个转化:1、圆锥的母线长为扇形 的半径, 2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长 29如图,分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧 围成的曲边三角形称为勒洛三角形. 若等边三角形的边长为,则勒洛三角形的周长为_ 【来源】 2018 年甘肃省武威市(凉州区)中考数学试题 【答案】 【解析】【分析】勒洛三角形的周长为3 段相等的弧,计算弧长即可. 【解答】勒洛三角形的周长为3 段相等的弧,每段弧的长度为: 则勒洛三角
31、形的周长为: 故答案为: 【点评】考查弧长公式,熟记弧长公式是解题的关键. 30如图,已知半圆与四边形的边都相切,切点分别为,半径,则 _. 【来源】湖南省娄底市2018 年中考数学试题 【答案】 1 【解析】【分析】连接 OE,由切线长定理可得AOE=DOE , BOE= EOC ,再根据 DOE+ EOC=180 , 可得 AOB=90 ,继而可证AEO OEB ,根据相似三角形对应边成比例即可得. 24 【详解】如图,连接 OE, AD、AB与半圆 O 相切, OEAB , OA平分 DOE , AOE=DOE , 同理 BOE=EOC , DOE+ EOC=180 , AOE+ BOE
32、=90 , 即AOB=90 , ABO+ BAO=90 , BAO+ AOE=90 , ABO= AOE , OEA= BEO=90 , AEO OEB , AE:OE=OE :BE , AE?BE=OE2=1, 故答案为: 1. 【点睛】本题考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质等,证得AEO OEB是解题的关键 . 31 如图,是的内心,连接,的面积分别为,则 _.( 填“”) 【来源】湖南省娄底市2018 年中考数学试题 【答案】 25 【点睛】本题考查了三角形内心的性质,三角形三边关系,熟知三角形的内心到三角形三边距离相等是解 本题的关键 . 32 如图,在矩形中, 点在上, 点在边
33、上一动点,以为斜边作. 若点在矩形的边上,且这样的直角三角形恰好有两个,则的值是 _ 【来源】 2018 年浙江省舟山市中考数学试题 【答案】 0 或或 4 【解析】【分析】在点F的运动过程中分别以EF为直径作圆,观察圆和矩形矩形边的交点个数即可得 到结论 . 【解答】当点F与点A重合时,以为斜边恰好有两个,符合题意. 当点F从点A向点B运动时, 当时,共有4 个点 P使是以为斜边. 当时,有 1 个点 P使是以为斜边. 当时,有 2 个点 P使是以为斜边. 26 当时,有 3 个点 P使是以为斜边. 当时,有 4 个点 P使是以为斜边. 当点F与点B重合时,以为斜边恰好有两个,符合题意. 故
34、答案为: 0 或或 4 【点评】 考查圆周角定理, 熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键. 注意分类讨论思想在数学中的应用. 33如图,量角器的0 度刻度线为,将一矩形直尺与量角器部分重叠,使直尺一边与量角器相切于点, 直尺另一边交量角器于点,量得,点在量角器上的读数为,则该直尺的宽度为 _ 【来源】 2018 年浙江省舟山市中考数学试题 【答案】 【解析】【分析】连接OC,OD,OC与AD交于点E,根据圆周角定理有根据垂径定理有: 解直角即可 . 【解答】连接OC,OD,OC与AD交于点E, 27 直尺的宽度: 故答案为: 【点评】考查垂径定理,熟记垂径定理是解题的关键. 34如图,菱形A
35、BOC 的 AB ,AC分别与 O相切于点D、E,若点 D是 AB的中点,则 DOE=_. 【来源】安徽省2018 年中考数学试题 【答案】 60 【解析】【分析】由AB ,AC分别与 O相切于点D、E,可得 BDO= ADO= AEO=90 ,根据已知条件可得 到 BD= OB ,在 RtOBD中,求得 B=60 ,继而可得 A=120 ,再利用四边形的内角和即可求得DOE 的 度数 . 【详解】 AB ,AC分别与 O相切于点D、E, BDO= ADO= AEO=90 , 四边形ABOC 是菱形, AB=BO , A+B=180 , BD= AB , BD= OB , 在 RtOBD 中,
36、 ODB=90 , BD= OB , cosB=, B=60 , A=120 , DOE=360 - 120 - 90 - 90=60, 故答案为: 60. 【点睛】本题考查了切线的性质,菱形的性质,解直角三角形的应用等,熟练掌握相关的性质是解题的关 键. 28 35如图,是的外接圆,则的直径 为_ 【来源】山东省泰安市2018 年中考数学试题 【答案】 点睛:本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用,三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直 平分线的交点,叫做三角形的外心 36如图,在矩形ABCD中,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交AB于点E,图中阴影部 分的面积是 _(结果保留) 【
37、来源】【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷(A卷) 【答案】 【解析】【分析】由S阴影=S矩形 ABCD-S扇形 ADE,根据矩形面积公式、扇形面积公式进行计算即可得. 【详解】 S阴影=S矩形 ABCD-S扇形 ADE 29 =23- =6- , 故答案为: 6- . 【点睛】本题考查扇形、四边形面积的计算,结合图形确定出阴影部分面积的求法是解题的关键. 37如图,公园内有一个半径为20 米的圆形草坪,是圆上的点,为圆心,从到只 有路,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路. 通过计算可知,这些市民其实仅仅 少走了 _步(假设 1 步为 0.5 米,结果保留整数) (参
38、考数据:, 取 3.142 ) 【来源】 2018 年浙江省绍兴市中考数学试卷解析 【答案】 15 【解析】【分析】过O作OCAB于C,分别计算出弦AB的长和弧AB的长即可求解. 【解答】过O作OCAB于C,如图, AC=BC, 又弧AB的长 = 30 米步. 故答案为: 15. 【点评】考查了弧长的计算,垂径定理的应用,熟记弧长公式是解题的关键. 三、解答题 38如图,在以线段AB为直径的 O上取一点,连接AC 、 BC.将 ABC沿 AB翻折后得到ABD. (1)试说明点D在 O上; (2)在线段AD的延长线上取一点E,使 AB 2=AC AE.求证: BE为 O的切线; (3)在( 2)
39、的条件下,分别延长线段AE 、CB相交于点F,若 BC=2 ,AC=4,求线段 EF的长 . 【来源】江苏省盐城市2018 年中考数学试题 【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析; (3) EF= 【解析】分析: (1)由翻折知 ABC ABD ,得 ADB= C=90 ,据此即可得; (2)由 AB=AD知 AB 2=AD?AE ,即 ,据此可得 ABD AEB ,即可得出 ABE= ADB=90 , 从而得证; (3) 由知 DE=1 、 BE=, 证 FBE FAB得, 据此知 FB=2FE , 在 RtACF中根据 AF 2=AC2+CF2 可得关于EF的一元二次方程,解之可得
40、详解:(1) AB为 O的直径, C=90 , 将 ABC沿 AB翻折后得到 ABD , ABC ABD , ADB= C=90 , 点 D在以 AB为直径的 O上; 31 (3) AD=AC=4 、 BD=BC=2 ,ADB=90 , AB=, , , 解得: DE=1 , BE=, 四边形ACBD内接于 O, FBD= FAC ,即 FBE+ DBE= BAE+ BAC , 又 DBE+ ABD= BAE+ ABD=90 , DBE= BAE , FBE= BAC , 又 BAC= BAD , FBE= BAD , FBE FAB , ,即, FB=2FE , 在 RtACF中, AF 2
41、=AC2+CF2, ( 5+EF) 2=42+( 2+2EF )2, 32 整理,得: 3EF 2-2EF-5=0 , 解得: EF=-1(舍)或EF= , EF= 点睛:本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握圆周角定理、翻折的性质、圆内接四边形的性质及 相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点 39如图,中,以为直径的交于点,交于点,过点作于点,交 的延长线于点. (1)求证:是的切线; (2)已知,求和的长 . 【来源】湖北省孝感市2018 年中考数学试题 【答案】(1)证明见解析; (2) 【解析】 分析: (1)连接 OD ,AD ,由圆周角定理可得AD BC ,结合等腰三角形的性
42、质知BD=CD ,再根据 OA=OB 知 OD AC ,从而由DG AC可得 OD FG ,即可得证; (2)连接 BE BE GF,推出 AEB AFG ,可得,由此构建方程即可解决问题; 详解:(1)连接 OD ,AD , AB为 O的直径, 33 ADB=90 ,即AD BC , AB=AC , BD=CD , 又 OA=OB , OD AC , DG AC , OD FG , 直线 FG与 O相切; (2)连接 BE BD=2, CDBD2, CF=2, DF=4, BE=2DF=8 , cosC=cosABC , , 点睛:本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性
43、质及中位线定理等知识点,熟 练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键 40如图, ABC 内接于 O ,点为上的动点,且. (1) 求的长度; 34 (2) 在点 D运动的过程中,弦AD的延长线交BC的延长线于点E,问 AD?AE的值是否变化?若不变,请求出 AD ?AE的值;若变化,请说明理由. (3) 在点 D的运动过程中,过A点作 AH BD ,求证:. 【来源】广东省深圳市2018 年中考数学试题 【答案】 (1) ;(2) ; (3)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1) 过 A作 AF BC,垂足为 F,交 O于 G,由垂径定理可得BF=1,再根据已知结合RtAFB
44、即可求得AB长; (2) 连接 DG , 则可得 AG为 O的直径,继而可证明 DAG FAE , 根据相似三角形的性质可得AD?AE=AF?AG, 连接 BG ,求得 AF=3 ,FG= ,继而即可求得AD?AE的值; (3)连接 CD ,延长 BD至点 N,使 DN=CD ,连接 AN ,通过证明 ADC ADN ,可得 AC=AN ,继而可得AB=AN , 再根据 AH BN,即可证得BH=HD+CD. 【详解】(1) 过 A作 AFBC ,垂足为F,交 O于 G, AB=AC ,AFBC , BF=CF= BC=1 , 在 RtAFB中, BF=1, AB=; (2)连接 DG , A
45、FBC ,BF=CF , AG为 O的直径,ADG= AFE=90 , 又 DAG= FAE , DAG FAE , AD:AF=AG :AE , AD?AE=AF?AG, 连接 BG ,则 ABG=90 , BFAG , BF 2=AF?FG , AF=3, FG= , 35 AD?AE=AF?AG=AF?( AF+FG )=3=10; (3)连接 CD ,延长 BD至点 N,使 DN=CD ,连接 AN, ADB= ACB= ABC , ADC+ ABC=180 , ADN+ ADB=180 , ADC= ADN , AD=AD ,CD=ND , ADC ADN , AC=AN , AB=AC , AB=AN , AHBN , BH=HN=HD+CD. 【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等,综合 性较强,正确添加辅助线是解题的关键. 41如图,已知P 为锐角 MAN 内部一点,过点P作 PB AM于点 B,PC AN于点 C,以 PB为直径作 O , 交直线 CP于点 D,连接 AP ,BD ,AP交 O于点 E (1)求证: BPD= BAC (2)连接 EB ,ED ,当 tan MAN=2 ,AB=2时,在点P的整个运动过程中 若 BDE=45 ,求PD的长; 若 BE
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