2018版高中数学第三章空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算学案新人教A版.pdf

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1、3.1.3 空间向量的数量积运算 学习目标1. 掌握空间向量夹角概念及表示方法.2. 掌握两个向量的数量积的概念、性质、 计算方法及运算规律.3. 掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判 断向量的共线与垂直. 知识点一空间向量数量积的概念 思考 1 如图所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45， OAB60，类比平面向量有关运算，如何求向量OA 与 BC 的数量积？并总结求两个向量数 量积的方法 . 答案BC AC AB ， OA BC OA AC OA AB |OA |AC |cos OA ，AC |OA |AB |cos OA ，AB 8

2、4cos 135 86cos 120 24162. 求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹 角和长度的向量来表示该向量，再代入计算. 思考 2 等边ABC中，AB 与BC 的夹角是多少？ 答案120. 梳理(1) 定义：已知两个非零向量a，b，则 |a|b|cos a，b叫做a，b的数量积，记作 ab. (2) 数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律( a) b(ab) 交换律abba 分配律a(bc) abac (3) 空间向量的夹角 定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA a，OB b，则AOB叫做向量 a，b的夹角，记作a，

3、b. 范围：a，b 0 ， . 特别地：当a，b 2 时，ab. 知识点二空间向量的数量积的性质 两个向量数量积的性质 若a，b是非零向量，则ab?ab0 若a与b同向，则ab |a| |b| ；若反向，则ab |a| |b|. 特别地，aa|a| 2 或|a| aa 若 为a，b的夹角，则cos ab |a|b| |ab| |a| |b| 类型一空间向量的数量积运算 命题角度1 空间向量的数量积基本运算 例 1 (1) 下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明. p 2 q 2( pq) 2 ； |pq| |pq| |p 2q2| ； 若a与(ab) c(ac) b均不为 0，则

4、它们垂直 . 解此命题不正确. p 2 q 2| p| 2| q| 2， 而(pq) 2(| p| |q| cosp，q) 2| p| 2| q| 2cos2 p，q ， 当且仅当pq时，p 2q2( pq) 2. 此命题不正确. |p 2 q 2| |( pq) (pq)| |pq| |pq| |cos pq，pq | ， 当且仅当 (pq) (pq) 时， |p 2 q 2| | pq| |pq|. 此命题正确 . a(ab) c (ac) b a(ab) ca(ac) b (ab)(ac) (ab)(ac) 0， 且a与(ab) c(ac) b均为非零向量， a与(ab) c(ac) b

5、垂直 . (2) 设 a，b120， |a| 3，|b| 4，求： ab；(3a2b) (a2b). 解ab|a|b|cos a，b ， ab34cos 120 6. (3a2b) (a2b) 3|a| 24a b4|b| 23| a| 24| a|b|cos 120 4|b| 2， (3a2b) (a 2b) 39434( 1 2) 416 2724 64 61. 反思与感悟(1) 已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算. (2) 如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式 展开，再利用aa|a| 2 及数量积公式进行计算. 跟踪训练1 已知

6、a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么 |a3b| 等于 ( ) A.7 B.10 C.13 D.4 答案C 解析|a3b| 2 (a 3b) 2 a 2 6a b9b 216cos 60 9 13，|a3b| 13. 命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题 例 2 已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的 中点 . 试计算： (1)BC ED1 ；(2)BF AB1 ； (3)EF FC1 . 解如图，设AB a，AD b，AA1 c， 则|a| |c| 2，|b| 4，abbcca0. (1)BC ED1 b 1

7、 2( ca) b |b| 24216. (2)BF AB1 ca 1 2b (ac) |c| 2| a| 2 2222 0. (3)EF FC1 1 2 ca 1 2b 1 2b a1 2( abc) 1 2b a 1 2| a| 21 4| b| 22. 反思与感悟两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量 积为 0. 向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求： (1)(OA OB ) (CA CB ) ；(2)|OA OB OC |. 解(1)(OA OB ) (CA CB ) (OA OB ) (OA OC OB OC ) (

8、OA OB ) (OA OB 2OC ) 1 211cos 60 211cos 60 11cos 60 1 2211cos 60 1. (2)|OA OB OC | OA OB OC 2 OA 2 OB 2 OC 22 OA OB OB OC OA OC 1 212122 11cos 60 3 6. 类型二利用数量积求夹角或模 命题角度1 利用数量积求夹角 例 3 已知BB1平面ABC，且ABC是B90的等腰直角三角形，?ABB1A1、 ?BB1C1C的对 角线都分别相互垂直且相等，若ABa，求异面直线BA1与AC所成的角 . 解如图所示 . BA1 BA BB1 ，AC AB BC ， BA

9、1 AC (BA BB1 ) (AB BC ) BA AB BA BC BB1 AB BB1 BC . ABBC，BB1AB，BB1BC， AB BC 0，BB1 AB 0， BB1 BC 0 且 BA AB a 2. BA1 AC a 2. 又BA1 AC |BA1 | |AC |cos BA1 ，AC ， cosBA1 ，AC a 2 2a2a 1 2. 又BA1 ，AC 0 ，180 ，BA1 ，AC 120， 又异面直线所成的角是锐角或直角， 异面直线BA1与AC所成的角为60. 反思与感悟利用向量求异面直线夹角的方法 跟踪训练3 已知：PO、PA分别是平面 的垂线、斜线，AO是PA在

10、平面 内的射影， l? ，且lOA. 求证：lPA. 证明如图，取直线l的方向向量a，同时取向量PO ，OA . 因为lOA，所以aOA 0. 因为PO，且l? ，所以lPO， 因此aPO 0. 又因为aPA a(PO OA ) aPO aOA 0， 所以lPA. 命题角度2 利用数量积求模(或距离 ) 例 4 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA1 3，BAD90， BAA1DAA 160，求AC1的长 . 解因为AC1 AB AD AA1 ， 所以AC1 2( AB AD AA1 ) 2AB2 AD 2 AA1 22( AB AD AB AA1 AD AA

11、1 ). 因为BAD90，BAA1DAA160， 所以AB ，AD 90， AB ，AA1 AD ，AA1 60， 所以AC1 21492(13cos 60 23cos 60 ) 23. 因为AC1 2| AC1 | 2，所以 | AC1 | 223，| AC1 | 23， 即AC123. 反思与感悟利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思 路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已 知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a| aa求解即可 . 跟踪训练4 如图， 已知线段AB平面 ，BC? ，CDBC，DF平面 ，且D

12、CF30， D与A在 的同侧，若ABBCCD2，求A，D两点间的距离. 解AD AB BC CD ， |AD | 2( AB BC CD ) 2 | AB | 2| BC | 2| CD | 22AB BC 2AB CD 2BC CD 122(22cos 90 22cos 120 22cos 90 ) 8， |AD | 22，即A，D两点间的距离为22. 类型三利用空间向量的数量积解决垂直问题 例 5 如图，在空间四边形OABC中，OBOC，ABAC，求证：OABC. 证明因为OBOC，ABAC，OAOA， 所以OACOAB， 所以AOCAOB. 又OA BC OA (OC OB ) OA O

13、C OA OB |OA | |OC |cos AOC|OA | |OB |cos AOB0， 所以OA BC ，即OABC. 反思与感悟(1) 证明线线垂直的方法 证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0 来判断两直线是 否垂直 . (2) 证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法 先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0. 跟踪训练5 已知向量a，b满足： |a| 2，|b| 2，且a与 2ba互相垂直，则a与b 的夹角为 _. 答案45 解析a与 2ba垂直，a(2ba) 0， 即 2ab|a| 20. 2|a|b| cosa，

14、b |a| 20， 42cosa，b 40，cosa，b 2 2 ， 又a，b0 ，180 ，a与b的夹角为 45. 1. 已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a2b3c| 等于 ( ) A.14 B.14 C.4 D.2 答案B 解析|a2b3c| 2 | a| 24| b| 29| c| 24a b6ac12bc14. 2. 在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0 的是 ( ) A.AD1 B1C B.BD1 AC C.AB AD1 D.BD1 BC 答案D 解析选项 A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1A1D，而A1DB1C， 所以AD1B1C，此时

15、有AD1 B1C 0； 选项 B，当四边形ABCD为正方形时，易得ACBD，可得AC平面BB1D1D，故有ACBD1，此 时BD1 AC 0； 选项 C，由长方体的性质可得AB平面ADD 1A1， 所以ABAD1，所以AB AD1 0. 故选 D. 3. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题： (AA1 AD AB ) 23AB2； A1C (A1B1 A1A ) 0；AD1 与A1B 的夹角为60. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 答案B 解析易知正确；AD1 与A1B 的夹角为120，不正确. 故选 B. 4. 已知a，b为两个非零空间向量，若|a| 2

16、2， |b| 2 2 ，ab2，则a，b_. 答案 3 4 解析cosa，b ab |a|b| 2 2 ，a，b 3 4 . 5. 已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为 _. 答案2 解析|EF | 2EF2( EC CD DF ) 2 EC 2 CD 2 DF 22( EC CD EC DF CD DF ) 1 222122(12cos 120 021cos120) 2， |EF | 2，EF的长为2. 1. 空间向量运算的两种方法 (1) 利用定义：利用ab|a|b|cos a，b并结合运算律进行计算. (2) 利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各

17、向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角， 再代入数量积公式进行运算. 2. 在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1) 首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2) 利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3) 代入ab|a|b|cos a，b求解 . 40 分钟课时作业 一、选择题 1. 设a、b为空间的非零向量，下列各式： a 2| a| 2；ab a 2 b a；(ab ) 2a2 b 2；(a b) 2a22ab b 2. 其中正确的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析由数量积的性质和运算律可知是正确的，故选B. 2. 如图，空

18、间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么 ( ) A.AE BC AE CD D.AE BC 与AE CD 不能比较大小 答案C 解析易知AEBC，AE BC 0， AE CD (AB BE ) CD AB (BD BC ) 1 2BC CD |AB | |BD | cos 120 |AB | | BC | cos 120 1 2| BC | |CD | cos 120 AE CD . 3. 已知空间向量a，b，c两两夹角为60，其模都为1，则 |ab2c| 等于 ( ) A.5 B.5 C.6 D.6 答案A 解析|ab2c| 2| a| 2| b| 24| c| 22ab4a

19、c4bc 1 212412211cos 60 411cos 60 411cos 60 5， |ab2c| 5. 4. 如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中 点，则下列向量的数量积等于a 2 的是 ( ) A.2BA AC B.2AD DB C.2 FG AC D.2 EF CB 答案C 解析2BA AC a 2，故 A错；2AD DB a 2，故 B错；2EF CB 1 2a 2，故 D错，只有 C 正确 . 5. 已知a、b是异面直线，A、Ba，C、Db，ACb，BDb，且AB 2，CD1，则a与b 所成的角是 ( ) A.30 B.45 C.

20、60 D.90 答案C 解析AB AC CD DB ， AB CD (AC CD DB ) CD AC CD CD 2 DB CD 01 201， 又|AB | 2，|CD | 1. cosAB ，CD AB CD |AB |CD | 1 21 1 2. 异面直线所成的角是锐角或直角， a与b所成的角是60. 6. 已知在平行六面体ABCDA 1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角 都是 60，则此平行六面体的对角线AC1的长为 ( ) A.3 B.2 C.5 D.6 答案D 解析AC1 AB AD AA1 ， AC1 2( AB AD AA1 ) 2 AB 2 AD

21、 2 AA1 22AB AD 2AB AA1 2AD AA1 1112(cos 60 cos 60 cos 60 ) 6，|AC1 | 6. 二、填空题 7. 已知向量a，b满足 |a| 1，|b| 2，且a与b的夹角为 3 ，则 |ab| _. 答案7 解析|ab| 2 a 22ab b 21212cos 3 2 27，| ab| 7. 8. 已知a，b是空间两个向量，若|a| 2，|b| 2，|ab| 7，则 cosa，b _. 答案 1 8 解析将|ab| 7化为 (ab) 27，求得 ab 1 2， 再由ab|a|b|cos a，b求得 cosa，b 1 8. 9. 已知空间向量a，b

22、，c满足abc0，|a| 3，|b| 1，|c| 4，则abbcca 的值为 _. 答案13 解析abc0， (abc) 20， a 2 b 2 c 2 2( abbcca) 0， abbcca 3 21242 2 13. 10. 将AB23，BC2 的长方形ABCD沿对角线AC折成 60的二面角， 则B，D间的距离为 _. 答案7 解析作DEAC于点E，BFAC于点F. 由已知可得，AC 4，DEBF3， AE1，CF1，EF2. 二面角的大小为60， DE 与FB 的夹角为120， |DB | 2( DE EF FB ) 2 7， |DB | 7， B，D间的距离为7. 三、解答题 11.

23、 如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，若ABCD，ACBD，E，F分别是AD， BC的中点，试用向量方法证明EFAD且EFBC. 证明连接AF，点F是BC的中点， AF 1 2( AB AC ) ， EF AF AE 1 2( AB AC ) 1 2AD 1 2( AB AC AD ) ， 又|AC | |BD | |AD AB | ， AC 2 AD 2 2AD AB AB 2， 同理AB 2 CD 2AD22AC AD AC 2， 将代入可得AB 2 AD 22AC AD AD 22AB AD AB 2， 2AD 2 2AD (AC AB ) 0， AD (AC AB AD

24、) 0， AD 1 2( AB AC AD ) 0， AD EF 0，EF AD . 同理可得EF BC . EFAD且EFBC. 12. 如图所示， 在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABBC，ABAD，且PAABBC 1 2AD 1，求PB与CD所成的角 . 解由题意知 |PB | 2，|CD | 2， PB PA AB ，DC DA AB BC ， PA平面ABCD， PA DA PA AB PA BC 0. ABAD， AB DA 0， ABBC， AB BC 0， PB DC (PA AB ) (DA AB BC ) AB 2| AB | 21， 又|PB | 2，|CD |

25、2， cosPB ，DC PB DC |PB |DC | 1 22 1 2， PB ，DC 0 ， ， PB ，DC 3 ， 异面直线所成的角为锐角或直角， PB与CD所成的角为 3 . 13. 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为2. (1) 设侧棱长为1，求证：AB1BC1； (2) 设AB1与BC1的夹角为 3 ，求侧棱的长. (1) 证明AB1 AB BB1 ， BC1 BB1 BC . BB1平面ABC，BB1 AB 0，BB1 BC 0. 又ABC为正三角形， AB ，BC BA ，BC 3 2 3 . AB1 BC1 (AB BB1 ) (BB1 BC ) AB BB1 AB BC BB1 2BB 1 BC |AB | |BC | cosAB ，BC BB1 2 110， AB1BC1. (2) 解结合 (1) 知AB1 BC1 |AB | | BC | cosAB ，BC BB1 2BB 1 21. 又|AB1 | AB BB1 2 2BB1 2| BC1 | ， cosAB1 ，BC1 BB1 2 1 2BB1 2 1 2， |BB1 | 2，即侧棱长为2.