2019高考数学一轮复习第8章立体几何第9课时二面角练习理.pdf
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1、1 教学课件 第 9 课时 二面角 1(2018皖南八校联考) 四棱锥 VABCD中,底面 ABCD是边长为2 的正方形, 其他四个侧面是腰长为3 的等 腰三角形,则二面角VAB C的余弦值的大小为( ) A. 2 3 B. 2 4 C. 7 3 D. 22 3 答案B 解析如图所示,取AB中点 E,过 V作底面的垂线,垂足为O,连接 OE ,VE ,根据题 意可知, VEO是二面角V AB C 的平面角因为OE 1,VE 3 2122 2,所以 cosVEO OE VE 1 22 2 4 ,故选 B. 2. 如图,三棱锥SABC中,棱 SA ,SB ,SC两两垂直,且SA SB SC ,则二
2、面角ABC S的正 切值为 ( ) A1 B. 2 2 C.2 D2 答案C 解析三棱锥SABC中,棱 SA ,SB ,SC两两垂直,且SA SB SC , SA 平面 SBC ,且 AB AC SA 2SB2,如图,取 BC的中点 D,连接 SD ,AD ,则 SD BC , AD BC ,则 ADS是二面角 ABC S的平面角,设SA SB SC 1,则 SD 2 2 ,在 RtADS中,tan ADS SA SD 1 2 2 2, 故选 C. 另解:以 S为坐标原点, SB ,SC ,SA 的方向分别为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,设 SA 1,则 S(0, 0,0) ,A
3、(0,0,1), B(1,0,0) ,C(0,1,0) ,SA (0 ,0,1), AB (1 ,0, 1) ,AC (0 ,1, 1) ,易知 SA (0,0,1) 为平面 SBC的一个法向量,设n(x ,y,z) 为平面 ABC的法向量, 则 nAB 0, nAC 0, 即 xz 0, yz 0, 令 z1,则n(1 ,1,1) 为平面 ABC的一个法向量,所以cosSA ,n 3 3 ,故二面角ABCS的正切值 为2. 3(2018福州质量检测) 三棱锥A BCD中, ABC为等边三角形,AB23, BDC 90,二面角ABC D的大小为150,则三棱锥A BCD的外接球的表面积为( )
4、 A7B12 C16D28 2 答案D 解析本题考查空间直线与平面的位置关系、球的表面积设球心为F,过点 A作 AO 平面 BCD ,垂足为O , 取 BC的中点 E,连接 AE ,OE ,EF,则 AEO 30, AE 3,AO 3 2,OE 33 2 ,EC 3,外接球球心F 在过 E 且平行于AO的直线上,设FEx,外接球半径为R,则 R 23x2(3 3 2 ) 2(3 2 x) 2,解得 x 2,R27,则 外接球的表面积为4R 2 28,故选 D. 4. (2018浙江温州中学模拟) 如图,四边形ABCD ,ABBD DA 2,BC CD 2. 现将 ABD 沿 BD折起,当二面角
5、ABD C处于 6 ,5 6 的过程中,直线AB与 CD所成角的余弦值的取值范 围是 ( ) A 5 2 8 , 2 8 B 2 8 , 52 8 C0 , 2 8 D0 , 52 8 答案D 解析如图所示,取BD中点 E,连接 AE ,CE , AEC即为二面角A BD C的平面角 而 AC 2AE2CE22AE CE cosAEC 4 2 3cos AEC ,又 AEC 6 , 5 6 , AC 1 ,7 ,AB CD 22cosAB ,CD AB (BD BC ) 2AB BC AB 2BC2AC2 2ABBC 1 AC 2 2 5 2, 1 2 , 设异面直线AB ,CD所成的角为 ,
6、 0cos 1 22 5 2 52 8 ,故选 D. 5. 如图,平面 与平面 相交成锐角 ,平面 内的一个圆在平面 上的射影是离 心率为 1 2的椭圆,则 _ 答案 6 解析如图,经过平面 内圆的圆心作平行于和垂直于二面角的棱的两条直径,则这两 条直径在平面 上的射影是椭圆的长轴和短轴,则短轴的延长线和垂直于棱的直径所在 直线的夹角为二面角的平面角,记为. 因为 e c a 1 2,所以 b a 3 2 ,故 cos b a 3 2 , 解得 6 . 6. (2018甘肃天水一模) 已知在四棱锥PABCD中,底面 ABCD 是矩形,且AD 2,PA AB 1,PA 平面 ABCD ,E是 B
7、C边上的动点,记二面角PED A的大小为,则 tan 的取 值范围为 _ 3 答案 1 2, 5 2 解析由 A点作 AO ED于 O,连接 PO , 则POA为二面角的平面角 tan POA PA OA 1 OA . 又 OA 25 5 ,2 , tan POA 1 2, 5 2 7(2018沧州七校联考) 三棱锥 ABCD的三视图如图所示: 则二面角BAD C的正弦值为 _ 答案 481 41 解析如图,把三棱锥ABCD放到长方体中,长方体的长、宽、高分别为5,3,4, BCD 为直角三角形,直角边分别为5 和 3,三棱锥ABCD的高为 4, 建立如图空间直角坐标系,则B(0,0, 0)
8、,A(3,0,4) ,C(3, 5,0) ,D(0,5,0) , DA (3 , 5,4) , DB (0 , 5,0) ,DC (3 ,0,0) 设n1(x1,y1,z1) 是平面 ABD的一个法向量,n1DA ,n1 DB . 3x15y1 4z10, 5y10, 3x14z10, y1 0. 可取n1(4 , 0, 3) 设n2(x2,y2,z2) 是平面 ADC的一个法向量, n2DA ,n2DC , 3x25y2 4z20, 3x20, 5y24z2, x2 0. 可取n2(0 , 4,5) cosn1,n2 15 541 3 41 . sin n1,n2 42 41 482 41
9、. 即二面角BAD C的正弦值为 482 41 . 8(2018洛阳第一次统考) 如图,四边形ABEF和四边形ABCD 均是直角梯形,FAB DAB 90,二面角 4 FAB D是直二面角,BE AF,BC AD,AFAB BC 2,AD 1. (1) 证明:在平面BCE上,一定存在过点C的直线 l 与直线 DF平行; (2) 求二面角FCD A的余弦值 答案(1) 略(2) 6 6 解析(1) 由已知得, BE AF,AF ? 平面 AFD ,BE ?平面 AFD , BE 平面 AFD. 同理可得, BC平面 AFD. 又 BE BC B,平面BCE 平面 AFD. 设平面 DFC 平面B
10、CE l ,则 l 过点 C. 平面 BCE 平面ADF ,平面 DFC 平面BCE l ,平面 DFC 平面 AFD DF, DFl ,即在平面BCE上一定存在过点C的直线 l ,使得 DF l. (2) 平面 ABEF 平面ABCD ,FA ? 平面 ABEF ,平面 ABCD 平面ABEF AB , 又FAB 90, AFAB , AF 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , AF AD. DAB 90, AD AB. 以 A为坐标原点, AD ,AB ,AF所在直线分别为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,如图由已知得,D(1, 0,0) ,C(2, 2,0) ,
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- 2019 高考 数学 一轮 复习 立体几何 课时 二面角 练习
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