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1、幂函数 教学目标 1知识目标 (1)了解幂函数的概念; (2)会画简单幂函数的图象, 并能根据图象得出这些函数的性质; (3)了解幂函数图象的变化情况和性质。 2能力目标 (1)培养学生观察分析归纳能力; (2)培养学生概括抽象和识图能力; (3)培养学生数形结合的意识和思想。 3 情感目标 培养学生合作、交流、探究的意识品质,激发学生的学习兴 趣和学习欲望。 教学重点从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质 教学难点幂函数的图象和性质的总结 教学用具多媒体平台,几何画板课件 教学过程 【导入新课 】 回答下列问题 1如果张红买了每千克1 元的蔬菜 w 千克,那么她需要付的钱 数 p(元)和
2、购买的蔬菜的量w(千克)之间有何关系? 2如果正方形的边长a,那么其面积 S如何表示? 3如果正方体的边长为a,那么它的体积 V 如何表示? 4如果正方形的面积为S,则它的边长 a 如何表示? 5某人在 t 秒内骑车行进了 1 千米,那么他骑车的平均速度v 为 多少? 答: 1 2 231 (1)(2)(3)(4)(5)pwSaVaaSvt 【推进新课】 提出问题 问 1:上述问题中的五个函数关系式从结构上看有什么共同的特 点?是否为指数函数? 提示:用 x 表示自变量,用y 表示函数值,上述函数式变成:以下 五个函数 1 231 2 ,yx yxyxyxyx 它们都是形如yx的函数。从而给出
3、幂函数的定义: 一般地,函数yx叫做幂函数 (power function),其中 x 是自变 量,是常数。 练习:判别下列函数中哪些是幂函数 y=0.2 x y=2x2y=x 3 2 y=x 2+x y=-x3 0 yx 解: y=0.2 x 的底数是0.2,因此不是幂函数; 2 2yx的变量 2 x的系数是 2,因此不是幂函数; y=x 3 2 的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数; y=x 2+x 变量是和的形式,因此不是幂函数; y=-x 3 的变量 3 x的系数为 -1 ,因此不是幂函数 ; 0 yx的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数。 思考: (1)幂函数与指数函数有什么联系
4、和区别? (2) 幂函数具有哪些性质?研究函数应该从哪些方面考虑? 前面指数函数、对数函数研究了哪些内容?是如何研究的? (根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的 定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数的图象,从图象 的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等,研究幂函 数也如此) (3) 幂函数的定义域是否与对数函数、指数函数一样,具有相 同的定义域? . 例 1写出下列函数的定义域,并指出奇偶性: y=x 3 y= 2 1 y=x 2 y=x 3 2 探究: (1)怎样便于看出幂函数的定义域? (分数指数应化成根式,负指数写成正数指数再写 出定义域。) (2
5、)观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响? 只要幂函数的定义域是关于原点对称的(或者说定义域中 有负数),则其一定具有奇偶性。 【动手实践 】 画出 1 231 2 ,yx yxyxyxyx五个函数的图象,完成下列表格 yx 2 yx 3 yx 1 2 yx 1 yx 定义域 值域 奇偶性 单调性 共同点 图象分 布 学生利用描点法在同一坐标系中画出五个函数图象,然后教师利 用几何画板将五个函数的图象用追踪点的方法展示。 完成表格: yx 2 yx 3 yx 1 2 yx 1 yx 定义域R R R 0x x0x x 值域R 0y y R 0y y0y y 奇偶性奇偶奇 非奇非 偶 奇 单调性
6、 在第 象 限单 调递 在第 象限单 调递增 在第 象 限单 调递 在第 象限单 调递增 在第 象限单 调递增 减 增增 共同点 (1, 1) (1,1) (1, 1) (1, 1)(1,1) 图象分 布 第、 象 限 第、 象限 第、 象 限 第象 限 第、 象限 设问: (1)上述函数有哪些共同特点? 当指数为正数时,如 1 23 2 ,yx yxyxyx (1)图象都过点( 0,0)和( 1,1) ; (2)在0, )上是增函数。 当指数为负数时,如 1 yx (1)图象过点( 1,1) ; (2)在(0, )上是减函数。 (2)通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数 的图象
7、?哪个象限一定没有幂函数的图象?哪个象限可能有幂函 数的图象,这时可以通过什么途径来判断? 答:第一象限一定有幂函数的图象;第四象限一定没有幂函数 的图象;而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通 过幂函数的定义域和奇偶性来判断。 【类比联想、拓展探究 】 我们研究的几个常见的幂函数的性质,是否也适合其他的幂函 数,一般的幂函数怎样去研究它的性质呢?让同学们讨论、猜想一般 的幂函数的图象和性质 老师用几何画板画出函数yx在第一象限内的图象,改变的 值,让学生观察、分析所得的函数图象,在动态的变化过程中,让学 生了解幂函数的本质和共性。从而给出幂函数yx的性质: (1)所有的幂函数在 (
8、0,+)都有定义,并且图象都过点 (1, 1) (2)当 0时,图象过( 0,0) , (1,1) ,并且在 0,+)上是增 函数; 特别地,当 1 时,(0,1),xyx的图象都在yx的下方, 形状向下凸,越大,下凸的程度越大;当 0 1 时(0,1),xyx 的图象都在 yx的上方,形状向上凸, 越小,上凸的程度越大; (3)0 时,幂函数的图象在区间(0,+)是减函数,与坐 标轴无交点; (4)其他象限内的图象可以通过函数的定义域和奇偶性得出。 例 2:比较下列各组中两个值的大小,并说明理由: 0.75 2 1 ,0.76 2 1 ; (-0.95) 3 1 ,(-0.96) 3 1 ;
9、 0.31 3. 2 ,0.31 4.2 变式练习 :比较 0.2 0.3,0.30.3,0.30.2.的大小。 反思:如何比较幂值的大小? 小结: 指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性; 底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性。 例 3:证明幂函数( )f xx在0,+)上是增函数。 分析:证函数单调性的一般方法?从而引导学生利用定义证明。 证明 : 1212 1212 ,0,), ()() x xxx f xf xxx 任取且则 1212 12 12 12 ()()xxxx xx xx xx 1212 12 0,0, ()(),( )0,). xxxx f xf xf xx 因为 所以即幂函数在上是增函数 【课时小结 】 今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获和经验? 引导学生一起总结幂函数的概念、性质及应用。 让学生体会到:认识幂函数的性质,必须从它的图象着手,重 点抓住幂函数在第一象限内的图象特征,然后根据奇偶性作出其它 象限内的图象,因而对函数的定义域和奇偶性的分析很重要。 作业:课本 79 2.31 2 3P 习题第 、
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