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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会 “数学周报杯”2009 年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35分. 以下每道小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号 填入题后的括号里 ,不填、多填或错填都得0分) 1已知非零实数 a,b 满足 2 242(3)42ababa,则ab等于 () (A)1 (B)0 (C)1 (D)2 【答】 C 解:由题设知 a3,所以,题设的等式为 2 2(3)0bab,于是 32ab,从而ab1 2如图,菱形 ABCD 的边长为 a,点 O 是对角线 AC 上的一点,
2、且 OAa,OBOCOD1,则 a等于() (A) 51 2 (B) 51 2 (C)1 (D)2 【答】 A 解: 因为 BOC ABC,所以 BOBC ABAC ,即 1 1 a aa , 所以, 2 10aa 由0a,解得 15 2 a 3将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于 x,y 的 方程组 3 22 axby xy , 只有正数解的概率为() (A) 12 1 (B) 9 2 (C) 18 5 (D) 36 13 (第 2 题) 【答】 D 解:当20ab时,方程组无解 当02ba时
3、,方程组的解为 62 , 2 23 . 2 b x ab a y ab 由已知,得 ,0 2 32 ,0 2 26 ba a ba b 即 , 3 , 2 3 ,02 b a ba 或 .3 , 2 3 , 02 b a ba 由 a,b的实际意义为 1,2,3,4,5,6,可得 2 3 4 56 12 a b , , , , , , , 共有 5210 种情况;或 1 4 5 6 a b , , , , 共 3 种情况 又掷两次骰子出现的基本事件共6636种情况,故所求的概率为 36 13 4如图 1所示,在直角梯形ABCD中,ABDC,90B. 动点 P从点 B出发,沿梯形的边由BCDA运
4、动. 设点 P 运动的路程为 x,ABP的面积为 y. 把 y 看作 x 的函数,函数的图像如图2 所示,则 ABC 的面积为() (A)10 (B)16 (C)18 (D)32 【答】 B 解:根据图像可得 BC4,CD5,DA5,进而求得 AB8,故 SABC 1 2 8 416. 5关于 x,y 的方程 22 229xxyy的整数解( x,y)的组数为() (A)2组(B)3 组(C)4 组(D)无穷多组 【答】 C 解:可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为 (第 4 题) 图 1 图 2 22 (229)0xyxy 由于该方程有整数根,则判别式0,且是完全平方数 由 222 4(
5、229)7116yyy0, 解得 2 y 116 16.57 7 于是 2 y0 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然,只有 2 16y时,4是完全平方数,符合要求 当4y时,原方程为 2 430xx,此时 12 1,3xx; 当 y4 时,原方程为 2 430xx,此时 34 1,3xx 所以,原方程的整数解为 1 1 1, 4; x y 2 2 3, 4; x y 3 3 1, 4; x y 4 4 3, 4. x y 二、填空题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35分) 6一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000 km后报废;若 把它安装在后轮,则自行车
6、行驶 3000 km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后 轮胎如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车 将能行驶 km 【答】 3750 解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k, 则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为 5000 k , 安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为 3000 k . 又设一对新轮胎交 换位置前走了 x km,交换位置后走了y km. 分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系 列方程 , 有 , 50003000 , 50003000 kxky k kykx k 两式相加,得 ()() 2 50003000 k xyk xy k, 则 2 37
7、50 11 50003000 xy 7已知线段 AB 的中点为 C,以点 A为圆心, AB 的长为半径作圆,在线段AB 的延长线上取点 D,使得 BDAC;再以点 D 为圆心, DA 的长为半径作圆,与 A 分别相交于 F,G 两点,连接 FG 交 AB 于点 H,则 AH AB 的值为 解:如图,延长 AD 与D 交于点 E,连接 AF,EF 由题设知 1 3 ACAD, 1 3 ABAE,在 FHA 和EFA 中, 90EFAFHA,FAHEAF 所以RtFHARtEFA, AHAF AFAE . 而AFAB,所以 AH AB 1 3 . 8已知 12345 aaaaa,是满足条件 123
8、45 9aaaaa的五个不同的整 数,若b是关于 x 的方程 12345 2009xaxaxaxaxa的整数根,则 b的值为 【答】 10 解:因为 12345 2009bababababa,且 12345 aaaaa,是 五个不同的整数,所有 12345 bababababa,也是五个不同的整数 又因为 2009117741,所以 12345 41bababababa 由 12345 9aaaaa,可得10b 9如图,在 ABC中,CD 是高, CE 为ACB的平分线若 AC15,BC 20,CD12,则 CE 的长等于 【答】 60 2 7 解:如图,由勾股定理知AD9,BD16,所以 A
9、BADBD25 (第 7 题) 故由勾股定理逆定理知ACB为直角三角形,且90ACB 作 EFBC,垂足为 F设 EFx,由 1 45 2 ECFACB,得 CFx,于 是 BF20x由于 EFAC,所以 EFBF ACBC , 即 20 1520 xx , 解得 60 7 x所以 602 2 7 CEx 1010个人围成一个圆圈做游戏游戏的规则是: 每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉 他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的 数的平均数报出来若报出来的数如图所示,则报3的人 心里想的数是 【答】2 解:设报 3的人心里想的数是x,则报 5 的人心里想的数应是8x 于
10、是报 7 的人心里想的数是12(8)4xx,报 9 的人心里想的数是 16(4)12xx,报 1的人心里想的数是20(12)8xx,报 3 的人心里想的 数是4(8)4xx所以 4xx, 解得2x 三、解答题(共 4 题,每题 20分,共 80分) 11(A)函数 22 (21)yxkxk 的图像与 x轴的两个交点是否都在直线 1x的右侧?若是,请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线1x的右 侧时 k 的取值范围 解:不一定,例如,当k0 时,函数的图像与x轴的交点为( 0,0)和 (1,0),不都在直线1x的右侧 5分 设函数与 x 轴的两交点的横坐标为 12 ,xx,则 2 121
11、2 (21),xxkx xk ,当 且仅当满足如下条件 (第 9 题) (第 10 题) 12 12 0, (1)(1)0, (1)(1)0 xx xx 10 分 时,抛物线与 x 轴的两交点都在直线1x的右侧 由 22 2 (21)40, 210, 20, kk k kk 解之,得 1 , 4 1 , 2 20. k k kk 或 15分 所以当2k时,抛物线与x轴的两交点在直线1x的右侧 20分 11(B)已知抛物线 2 yx 与动直线cxty)12(有公共点),( 11 yx, ),( 22 yx, 且32 22 2 2 1 ttxx. (1)求实数 t 的取值范围; (2)当 t为何值
12、时, c 取到最小值,并求出c 的最小值 . 解:(1)联立 2 yx 与cxty)12(,消去 y 得二次方程 2 (21)0xtxc 有实数根 1 x , 2 x ,则 1212 21,xxtx xc 所以 222 121212 1 ()() 2 cx xxxxx = 22 1 (21)(23) 2 ttt 2 1 (364) 2 tt 5 分 把式代入方程得 221 (21)(364)0 2 xtxtt 10分 t 的取值应满足 222 12 23ttxx 0, 且使方程有实数根,即 22 (21)2(364)ttt 2 287tt0, 解不等式得t-3 或t1,解不等式得 2 2 2
13、t 2 2 2 . 所以, t 的取值范围为 2 2 2 t 2 2 2 . 15 分 (2) 由式知 22 131 (364)(1) 222 cttt. 由于 231 (1) 22 ct在 2 2 2 t 2 2 2 时是递增的,所以,当 2 2 2 t 时, 2 min 321116 2 (21) 2224 c. 20 分 12(A)在平面直角坐标系xOy中,我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平 方数的点称为“好点”,求二次函数 2 (90)4907yx的图像上所有“好点”的坐 标 解:设 2 ,ym 22 (90)xk ,m,k 都是非负整数,则 22 77011 4907km, 即()()770114907km km 10分 则有 701,4907, 7;1. kmkm kmkm 解得 12 12 354,2454, 347;2453. kk mm 所以 3124 1234 2544,444,264,2364, 120409;120409;6017209;6017209. xxxx yyyy 故“好点”共有 4 个,它们的坐标是:
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