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1、1 / 6 圆锥曲线的常规题型及解题技巧(基础篇) 一、常规七大题型: (1)中点弦问题(点差法) ( 1))0(1 2 2 2 2 ba b y a x 与直线相交于A、 B,设弦AB 中点为M(x0,y0) ,则有 0 2 0 2 0 k b y a x .(椭圆) (2))0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 与直线l 相交于A、B,设弦AB 中点为M(x0,y0)则有 0 2 0 2 0 k b y a x (双曲线) (3)y2=2px(p0)与直线 l 相交于 A、B设弦 AB中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p. (抛物线) 例 1-1、给定
2、双曲线x y2 2 2 1.过 A(2,1)的直线与双曲线交于两点P 1 及P2,求线 段P 1 P2的中点 P的轨迹方程 . (2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F1、F2构成的三角形问题,常用正、余弦定理. 例 1-2、 设 P(x,y)为椭圆 x a y b 2 2 2 2 1上任一点,Fc 1 0(, ),Fc 2 0( , )为焦点,PF F 12 , PF F 21 . (1)求证离心率 sinsin )sin( e; (2)求 3 2 3 1 |PFPF的最值 . 2 / 6 (3)直线与圆锥曲线位置关系问题 例 1-3、.)0( ) 1( 2 的右边轴的交点在
3、抛物线准线与,直线抛物线方程xtyxpxpy (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点; (2)设直线与抛物线的交点为A、B,且 OAOB,求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式 . (4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题 最值问题的处理思路: 1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是 由方程求x、y 的范围; 2、数形结合,用化曲为直的转化思想; 3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值; 4、借助均值不等式求最值. 例 1-4、已知抛物线y2=2px(p0),过 M( a,0)且斜率为 1 的直线 L与抛物线交于不
4、同的两 点 A、B,|AB| 2p ( 1)求 a 的取值范围; ( 2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点 N,求 NAB 面积的最大值。 3 / 6 (5)求曲线的方程问题 1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决. 例 1-5-1、已知直线L 过原点, 抛物线 C 的顶点在原点, 焦点在 x轴正半轴上 .若点 A (-1, 0)和点 B(0,8)关于 L 的对称点都在C上,求直线L 和抛物线 C 的方程 . 2曲线的形状未知-求轨迹方程 例 1-5-2、已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆 C:x 2+y2=1, 动点 M 到圆 C 的切线长与 |MQ| 的比等于常数(0),求
5、动点 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线。 (6) 存在两点关于直线对称问题 例 1-6、 已知椭圆C的方程 xy 22 43 1, 试确定 m 的取值范围, 使得对于直线yxm4, 椭圆 C上有不同两点关于直线对称. M N Q O 4 / 6 (7)两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用kk yy xx 12 12 12 1 来处理或用向量的坐标运算 来处理 . 例 1-7、已知直线l的斜率为k,且过点P(, )2 0,抛物线C yx:() 2 41,直线l与抛 物线 C 有两个不同的交点. (1)求k的取值范围; (2)直线l的倾斜角为何值时, A、B与抛物线C 的焦点连线互
6、相垂直. 二、解题的技巧方面: (1)充分利用几何图形 例 2-1、设直线340xym与圆xyxy 22 20相交于 P、 Q 两点, O 为坐标 原点,若OPOQ,求m的值 . 5 / 6 (2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中 点等问题中常常用到。 例 2-2、已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于 P、Q 两点,且 OP OQ,|PQ 10 2 ,求此椭圆方程. (3) 充分利用曲线系方程 例 2-3、 求经过两已知圆Cxyxy 1 22 420:和Cxyy 2 22 24:0 的交点,
7、 且圆心在直线l:2410xy上的圆的方程. (4)充分利用椭圆的参数方程 例 2-4、 P为椭圆 22 22 1 xy ab 上一动点, A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四边 形 OAPB面积的最大值及此时点P的坐标 . 6 / 6 (5)线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果,减少运算过程 一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程ykxb代入圆锥曲线 方程中,得到型如axbxc 2 0的方程,方程的两根设为xA,xB,判别式为,则 |ABkxx AB 1 2 | 1 2 a k ,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过 程。 例 2-5-1、求直线xy10被椭圆xy 22 416所截得的线段AB 的长 . 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的 定义,可回避复杂运算. 例 2-5-2、F1、F2是椭圆 xy 22 259 1的两个焦点, AB是经过F1的弦,若|AB8,求 值| 22 BFAF. 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 2-5-3、点 A ( 3,2)为定点,点F是抛物线yx 2 4的焦点,点P在抛物线y 2 4x上 移动,若| |PAPF取得最小值,求点P的坐标 .
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