圆锥曲线的常规题型及解题技巧(补充篇).pdf
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1、1 / 17 圆锥曲线的常规题型及解题技巧(补充篇) 一、知识点储备 1、与直线相关的重要内容 倾斜角与斜率tan,0,)k 点到直线的距离 00 22 AxByC d AB 夹角公式: 21 21 tan 1 kk k k 2、圆锥曲线方程及性质 (1)椭圆的方程的形式(三种形式) 标准方程: 22 1(0,0) xy mnmn mn 且 距离式方程: 2222 ()()2xcyxcya 参数方程:cos ,sinxayb (2)双曲线的方程的形式有两种 标准方程: 22 1(0) xy m n mn 距离式方程: 2222 |()()|2xcyxcya (3)三种圆锥曲线的通径: 22 2
2、2 2 bb p aa 椭圆:;双曲线:;抛物线:. (4)焦点三角形面积公式: 12 2 tan 2 F PF Pb在椭圆上时,S 12 2 cot 2 F PF Pb在双曲线上时,S (其中 222 12 121212 12 |4 ,cos,|cos 2| | PFPFc F PFPFPFPFPF PFPF ) (5)记住焦半径公式: 00 ;xaexaey椭圆焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为,可简记为“左加 2 / 17 右减,上加下减”. 0 |xe xa双曲线焦点在轴上时为; 11 |,| 22 pp xxy抛物线焦点在轴上时为焦点在 y轴上时为. 二、例题详解 例 1、已知三角形A
3、BC 的三个顶点均在椭圆8054 22 yx上,且点 A 是椭圆短轴的一个 端点(点 A 在 y 轴正半轴上). (1)若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程 ; (2)若角 A 为 0 90,AD 垂直 BC 于 D,试求点D 的轨迹方程 . 例 2、如图,已知梯形ABCD 中CDAB2,点 E 分有向线段AC所成的比为,双曲线 过 C、D、E三点,且以A、B 为焦点当 4 3 3 2 时,求双曲线离心率e的取值范围 . 3 / 17 例 3、已知双曲线 1 22 : 22 xy C,直线l过点0,2A,斜率为k,当10k时,双曲 线的上支上有且仅有一点B 到直线l的距离
4、为2,试求k的值及此时点B 的坐标 . 例 4、已知椭圆C:xy 22 28和点 P(4,1) ,过 P 作直线交椭圆于A、B 两点,在线段 AB 上取点 Q,使 AP PB AQ QB ,求动点Q 的轨迹所在曲线的方程. 例 5、设直线l过点 P(0,3) ,和椭圆 xy 22 94 1顺次交于 A、B 两点,试求 AP PB 的取值 范围 . 4 / 17 例 6、 椭圆长轴端点为,为椭圆中心,为椭圆的右焦点, 且 , (1)求椭圆的标准方程; (2)记椭圆的上顶点为,直线交椭圆于两点,问:是否存在直线,使点 恰为的垂心?若存在,求出直线的方程 ;若不存在,请说明理由. 例 7、 已知椭圆
5、的中心在坐标原点, 焦点在坐标轴上, 且经过、 三点 (1)求椭圆的方程: (2)若点D为椭圆上不同于、的任意一点,当 DFH内 切圆的面积最大时,求DFH内心的坐标; BA,OF1FBAF 1OF MlQP,lF PQMl E( 2,0)A(2,0)B 3 1, 2 C E EAB( 1,0),(1,0)FH 5 / 17 例 8、已知定点)01(,C及椭圆53 22 yx,过点C的动直线与椭圆相交于AB,两点 . (1)若线段AB中点的横坐标是 1 2 ,求直线AB的方程; (2)在x轴上是否存在点M,使MA MB为常数?若存在,求出点M的坐标;若不 存在,请说明理由. 例 9、 已知椭圆
6、的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的2 倍且经过点M(2,1) , 平行于 OM 的直线l在 y 轴上的截距为m ( m 0) ,l交椭圆于 A、B 两个不同点。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线MA 、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 6 / 17 例 10 、已知双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的离心率 3 32 e,过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距 离是. 2 3 (1)求双曲线的方程; (2)已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点C,D 且C,D都在以B为圆心的 圆上,求k的值 . 例 11 、已知椭圆C的
7、中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值 为 3,最小值为1 (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线:ly=kx+m与椭圆 C 相交于 A、B 两点( A、B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆C的右顶点求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标 7 / 17 例 12 、已知双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的左右两个焦点分别为 21 FF 、,点 P 在双曲线右 支上 . (1)若当点P 的坐标为) 5 16 , 5 413 (时 , 21 PFPF,求双曲线的方程; (2)若|3| 21 PFPF,求双曲线离心率e的最值 ,并写出此时
8、双曲线的渐近线方程. 8 / 17 参考答案 例 1、解: (1)设 B( 1 x, 1 y),C( 2 x, 2 y),BC 中点为 ( 00, y x),F(2,0) , 则有1 1620 ,1 1620 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx 两式作差有0 16 )( 20 )( 21212121 yyyyxxxx 0 45 00 kyx F(2,0) 为三角形重心,所以由2 3 21 xx ,得3 0 x,由0 3 4 21 yy 得2 0 y, 代入得 5 6 k 直线 BC 的方程为02856yx (2)由 ABAC 得016)(14 212121 yyyyxx 设直线 BC 方
9、程为8054, 22 yxbkxy代入,得 080510)54( 222 bbkxxk 2 21 54 10 k kb xx , 2 2 21 54 805 k b xx 2 22 21 2 21 54 804 , 54 8 k kb yy k k yy代入式得 0 54 16329 2 2 k bb ,解得)(4 舍b或 9 4 b 直线过定点 (0,) 9 4 ,设 D(x,y) ,则1 4 9 4 x y x y ,即0163299 22 yxy 所以所求点D 的轨迹方程是)4() 9 20 () 9 16 ( 222 yyx。 例 2、解法一: 如图,以 AB 为垂直平分线为y轴,直线
10、 AB 为x轴,建立直角坐标系xOy, 则 CDy轴因为双曲线经过点C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知C、D 关于y轴对称, 9 / 17 依题意,记A0,c,Ch c , 2 ,E 00, y x,其中| 2 1 ABc为双曲 线的半焦距,h 是梯形的高,由定比分点坐标公式得 12 2 1 2 0 c c c x, 1 0 h y 设双曲线的方程为1 2 2 2 2 b y a x ,则离心率 a c e 由点 C、E 在双曲线上,将点C、E 的坐标和 a c e代入双曲线方程得 1 4 2 22 b he , 1 11 2 4 2 22 b he 由式得1 4 2 2 2 e
11、 b h , 将式代入式,整理得2144 4 2 e , 故 1 3 1 2 e 由题设 4 3 3 2 得, 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 解法二:建系同解法一,, EC AEaexACaex, 2 2 121 E c c c x, 又 1 AE AC , 代 入 整 理 1 3 1 2 e , 由 题 设 4 3 3 2 得, 4 3 2 3 1 3 2 2 e 解得107e 所以双曲线的离心率的取值范围为10,7 10 / 17 例 3、解:设点 )2,( 2 xxM为双曲线C 上支上任一点,则点M 到直线 l的距离为: 2 1
12、 22 2 2 k kxkx 10k 于是,问题即可转化为如上关于 x的方程 . 由于10k,所以kxxx 2 2,从而有 .2222 22 kxkxkxkx 于是关于x的方程 )1(222 22 kkxkx 02) 1(2 ,)2) 1( 2(2 2 22 2 2 kxkk kxkkx . 02)1(2 ,022)1(22) 1(221 2 2 2222 kxkk kkxkkkxk 由10k可知: 方程022) 1(22) 1(221 2 2222 kkxkkkxk的二根同正, 故 02)1(2 2 kxkk恒成立,于是等价于 022)1(22) 1(221 2 2222 kkxkkkxk.
13、 由如上关于x的方程有唯一解,得其判别式0,就可解得 5 52 k. 例 4、解:设),(),(, 2211 yxQyxByxA, ,则由 QB AQ PB AP 可得: xx xx x x 2 1 2 1 4 4 , 解之得: )(8 2)(4 21 2121 xx xxxx x (1) 设直线 AB 的方程为:1)4(xky,代入椭圆C 的方程,消去y得出关于x 的一 元二次方程: 08)41 (2)41(412 222 kxkkxk(2) 11 / 17 . 12 8)41 (2 , 12 )14(4 2 2 21 2 21 k k xx k kk xx 代入( 1) ,化简得: . 2
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