成人高考专升本高等数学二复习教程.pdf
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1、高等数学二复习教程 第一讲 函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续(左、右连续)与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值) 二、题型与解法 A.极限的求法( 1)用定义求 ( 2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) ( 3)变量替换法 ( 4)两个重要极限法 ( 5)用夹逼定理和单调有界定理求 ( 6)等价无穷小量替换法 ( 7)洛必达法则与Ta
2、ylor 级数法 ( 8)其他(微积分性质,数列与级数的性质) 1. 6 1 2 arctan lim )21ln( arctan lim 3 0 3 0 x xx x xx xx (等价小量与洛必达) 2.已知 2 0 3 0 )(6 lim0 )(6sin lim x xf x xxfx xx ,求 解: 2 0 3 0 3 )(6cos6 lim )(6sin lim x xyxfx x xxfx xx 72)0( 0 6 )0( 3216 6 36cos216 lim 6 26sin36 lim 00 y y xyyx x xyyx xx 36 2 72 2 lim 2 lim )(6
3、 lim 00 2 0 y x y x xf xxx (洛必达) 3. 1 2 1 ) 1 2 (lim x x x x x (重要极限) 4.已知 a、b 为正常数, x xx x ba 3 0 ) 2 (lim 求 解:令2ln)ln( 3 ln,) 2 ( 3 xx x xx ba x t ba t 2/3 00 )( )ln( 2 3 )lnln( 3 limlnlim abt abbbaa ba t xx xx xx (变量替换) 5. )1ln( 1 0 2 )(coslim x x x 解:令)ln(cos )1ln( 1 ln,)(cos 2 )1ln( 1 2 x x txt
4、 x 2/1 00 2 1 2 tan limlnlimet x x t xx (变量替换) 6.设)( xf连续,0)0( ,0)0(ff,求1 )( )( lim 0 2 0 0 2 x x x dttfx dttf (洛必达与微积分性质) 7.已知 0, 0,)ln(cos )( 2 xa xxx xf在 x=0 连续,求 a 解:令2/1/)ln(coslim 2 0 xxa x (连续性的概念) 三、补充习题(作业) 1. 3 cos1 1 lim 0 xx xe x x (洛必达) 2.) 1 sin 1 (lim 0 xx ctgx x (洛必达或Taylor) 3.1 1 li
5、m 2 2 0 0 x x t x e dtex (洛必达与微积分性质) 第二讲 导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理理解 Roll 、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理 会用定理证明相关问题 3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图 会计算曲率(半径) 二、题型与解法 A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1. 52 arctan )(2t etyy tx xyy由决定,
6、求 dx dy 2.xyxyxxyysin)ln()( 32 由决定,求1| 0x dx dy 解:两边微分得x=0 时yxyycos,将 x=0 代入等式得y=1 3.yxxyy xy 2)(由决定,则dxdy x )12(ln| 0 B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/, 2/ ee(),在(处切线的直角坐标方程。 解:1| ), 0(| ),( , sin cos 2/ 2/ 2/ yeyx ey ex xey 2/ 5.f(x) 为周期为5 的连续函数,它在x=1 可导,在x=0 的某邻域内满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在( 6,f(6
7、) )处的切线方程。 解:需求) 1( ),1()6( ),6(ffff或,等式取x-0 的极限有: f(1)=0 )6(22)1( 8) 1( 4 ) 1()1 ( 3 ) 1()1( lim sin )sin1 (3)sin1 ( lim 0 sin 0 xyff t ftf t ftf x xfxf t tx x C.导数应用问题 6.已知 x exfxxxfxxfy1)( 2)( )( 2 满足对一切, )0(0)( 00 xxf若,求),( 00 yx点的性质。 解:令 0, 0 0, 0 )( 0 0 0 1 00 0 0 x x xe e xfxx x x 代入,故为极小值点。
8、7. 2 3 )1(x x y,求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解:定义域), 1()1 ,(x :斜:铅垂;拐点 及驻点 2100 300 xyxxy xxy 8.求函数 x exy arctan2/ )1( 的单调性与极值、渐进线。 解:10 1 arctan2/ 2 2 xxe x xx y x 与驻点, 2)2(xyxey与渐: D.幂级数展开问题 9. x xdttx dx d 0 22 sin)sin( x n n n n x n n n n x n x xxdttx dx d nn x xxtx nn tx txtxdttx n tx txtxtx 0 2 )12(2
9、 622 14 73 0 2 14 1732 )12(2 622 sin )!12( ) 1( ! 3 1 )sin( )!12)(14( ) 1( 7! 3 1 3 1 )sin( )!12)(14( )( ) 1()( 7! 3 1 )( 3 1 )sin( )!12( )( ) 1()( ! 3 1 )()sin( 或: 2 0 2 0 2 sinsin)(sinxduu dx d duu dx d utx x x 10.求)0(0)1ln()( )(2n fnxxxxf阶导数处的在 解:)( 2 ) 1( 32 ()1ln( 2 2 1 32 22n n n xo n xxx xxxx
10、 =)( 2 )1( 32 1 54 3n n n xo n xxx x 2 ! )1()0( 1)( n n f nn E.不等式的证明 11.设)1 ,0(x, 2 11 )1ln( 1 1 2ln 1 )1 (ln)1 22 xx xxx,求证( 证: 1)令0)0(,)1(ln)1()( 22 gxxxxg ;得证。单调下降, 单调下降单调下降,时 0)()(, 0)( )( , 0)( )( ) 1 , 0( 0)0( )0( , 0 )1 ( )1ln(2 )( ),( ),( 2 xgxgxg xgxgxgx gg x x xgxgxg 2)令单调下降,得证。,0)( ),1 ,
11、0(, 1 )1ln( 1 )(xhx xx xh F.中值定理问题 12.设函数 11)(,在xf具有三阶连续导数,且1) 1(,0)1(ff, 0)0( f,求证:在(-1,1)上存在一点3)( f,使 证: 32 )( ! 3 1 )0( !2 1 )0( )0()(xfxfxffxf 其中 1 , 1),0(xx 将 x=1,x=-1 代入有 )( 6 1 )0( 2 1 )0()1(1 )( 6 1 )0( 2 1 )0()1(0 2 1 ffff ffff 两式相减:6)( )( 21 ff 3)( )( 2 1 )( 2121 fff, 13. 2 ebae,求证:)( 4 ln
12、ln 2 22 ab e ab 证:)( )()( :f ab afbf Lagrange 令 ln2lnln ,ln)( 22 2 ab ab xxf 令 2 2 2 2ln )()(0 ln1 )( , ln )( e e t t t t t t )( 4 lnln 2 22 ab e ab(关键:构造函数) 三、补充习题(作业) 1. 2 3 )0( , 1 1 ln)( 2 y x x xf求 2.曲线012)1 ,0( 2cos 2sin xy tey tex t t 处切线为在 3. e xyx x exy 1 )0)( 1 ln(的渐进线方程为 4.证明 x0 时 22 ) 1(
13、ln)1(xxx 证:令 3 2 22)1(2 )( ),( ),( ,)1(ln) 1()( x x xgxgxgxxxxg 02)1( 0)1 ( )1 (ggg, 0 0), 1 ( 0),1 ,0( 0 2 ,0 ), 1 ( 2 , 0 ),1 , 0( g gx gx g ggx ggx 第三讲 不定积分与定积分 一、理论要求 1.不定积分掌握不定积分的概念、性质(线性、与微分的关系) 会求不定积分(基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部) 2.定积分理解定积分的概念与性质 理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分 会用定积分求几何问题(长、面、体) 会用定
14、积分求物理问题(功、引力、压力)及函数平均值 二、题型与解法 A.积分计算 1.C x x dx xx dx 2 2 arcsin )2(4 )4( 2 2.Cxexdxexdxedxxe xxxx tantan2sec)1(tan 222222 3.设 x x xf )1ln( )(ln,求dxxf)( 解: dx e e dxxf x x )1ln( )( Ceexdx e e ee xx x x xx )1ln()1 () 1 1()1ln( 4. 11 212 2ln 2 1 4 ) 1 1 (lim|arctan 1arctan b b dx x x x x x dx x x B.积
15、分性质 5.)(xf连续, 1 0 )()(dtxtfx,且A x xf x )( lim 0 , 求)(x并讨论)( x 在0x的连续性。 解: x dyyf xxtyf x 0 )( )(,0)0()0( )0( 2/)0( lim 2 )0( )()( )( 0 2 0 A A x dyyfxxf x x x 6. xx xtdtxf dx d dttxtf dx d 0 2222 0 22 )()( 2 )( )()()( 2 2 0 2 xxfydyf dx d x C.积分的应用 7.设)(xf在 0, 1连续,在 (0, 1) 上0)(xf, 且 2 2 3 )()( x a x
16、fxxf, 又)(xf与 x=1,y=0 所围面积S=2。求)(xf,且 a=?时 S 绕 x 轴旋转体 积最小。 解: 1 0 2 42)( 2 3 )( 2 3 ) )( (acdxxfcxx a xf a x xf dx d 1 0 22 50)() 14( 2 3 )(adxyVxx a xf 8.曲线1xy,过原点作曲线的切线,求曲线、 切线与 x 轴所围图形 绕 x 轴旋转的表面积。 解:切线2/xy绕 x 轴旋转的表面积为52 2 0 yds 曲线1xy绕 x 轴旋转的表面积为)155( 6 2 2 1 yds 总表面积为)1511( 6 三、补充习题(作业) 1.Cxxxxdx
17、 x x cot2sinlncot sin sinln 2 2.dx xx x 136 5 2 3.dx x xarcsin 第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何 一、理论要求 1.向量代数理解向量的概念(单位向量、方向余弦、模) 了解两个向量平行、垂直的条件 向量计算的几何意义与坐标表示 2.多元函数微分理解二元函数的几何意义、连续、极限概念,闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分 熟练掌握复合函数与隐函数求导法 3.多元微分应用理解多元函数极值的求法,会用Lagrange 乘数法求极值 4.空间解析几何掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法 会求平面、直
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