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1、1、 多元线性回归在回归分析中,如果有两个或两个以上的自变量,就称为 多元回归。 事实上,一种现象常常是与多个因素相联系的,由多个自变量的最优 组合共同来预测或估计因变量, 比只用一个自变量进行预测或估计更有效,更符 合实际。 在实际经济问题中, 一个变量往往受到多个变量的影响。例如,家庭消费支 出,除了受家庭可支配收入的影响外,还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金 融机构存款利息等多种因素的影响,表现在线性回归模型中的解释变量有多个。 这样的模型被称为多元线性回归模型。(multivariable linear regression model ) 多元线性回归模型的一般形式为: 其中k 为
2、解释变量的数目, j (j=1,2,,k)称为回归系数 (regression coefficient)。 上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为: j也被称为偏回归系数( partial regression coefficient)。 2、 多元线性回归计算模型 多元性回归模型的参数估计, 同一元线性回归方程一样, 也是在要求误差平 方和( e)为最小的前提下,用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。 设( 11 x , 12 x , 1p x , 1 y ) , ( 1n x , 2n x , np x , n y )是一个样本, 用最大似然估计法估计参数: 达 到最小。
3、 把(4)式化简可得: 引入矩阵: 方程组( 5)可以化简得: 可得最大似然估计值: 3、 Matlab 多元线性回归的实现 多元线性回归在 Matlab 中主要实现方法如下: (1)b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值 其中 (2)b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha) 求回归系数的点估计和区间估计、 并检 验回归模型 bint 表示回归系数的区间估计. r 表示残差 rint 表示置信区间 stats 表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值: 相关系数 r2、F 值、与F 对 应的 概率p 说明:相关系数 r 2 越接近 1,说明
4、回归方程越显著; FF1-alpha(p,n-p-1) 时拒绝 H0,F 越大,说明回归方程越显著;与F 对应的概率 p x1=53 47 57 61 55 56 51 58 64 61 74 62 59 50 54 63 57 56 54 55 54 72 57 58 53 85 72 63 47 44; x2=89 83 80 92 104 97 97 123 111 111 115 109 111 110 112 109 89 95 94 87 82 92 97 99 101 120 121 110 102 85; x3=76 88 51 81 96 99 121 157 127 159
5、 145 143 131 136 124 159 145 137 111 91 82 116 119 112 106 156 236 149 120 96; x4=19 29 31 28 34 30 31 54 47 51 65 59 45 44 44 60 61 48 39 41 53 75 66 50 32 52 73 57 40 40 ; x5=30 8 13 8 8 10 28 9 8 24 4 27 38 27 9 5 15 36 26 12 11 8 24 32 43 19 18 30 62 23; y=90 143 58 142 175 215 250 309 273 329 2
6、99 299 246 261 260 295 282 262 204 179 227 277 242 226 173 266 426 307 230 201; X=ones(length(y),1),x1,x2,x3,x4,x5; Y=y; b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X); b,bint,stats 运行结果为: b = -12.2923 -1.5271 0.8327 1.3775 2.0068 -0.3086 bint = -106.3464 81.7618 -2.9355 -0.1186 -0.4217 2.0871 0.8554 1.8995 1.025
7、4 2.9882 -1.0032 0.3860 stats = 0.9284 62.2206 0.0000 474.4773 因此可得出, r 2=0.9284,F=62.2206,p=0.0000 则 p0.05,回归模型为: 在 Matlab 命令中输入 Rcoplot(r,rint) 可得到残差图如下图所示 从残差图中和以上分析可以看出,此回归方程效果良好 (2) 按同样步骤对全部数据进行了回归分析,运行后的结果为: b = -32.4586 0.1718 0.4463 0.8737 2.2106 -0.3352 bint = -46.4503 -18.4669 -0.2300 0.5736 0.1428 0.7499 0.6943 1.0531 1.7915 2.6297 -0.4650 -0.2053 stats = 0.8373 238.7281 0 927.5409 同样可得出, r 2=0.8373,F=238.7281,p=0.0000 则 p0.05,回归模型为: 12345 y32.45860.17180.44630.87372.21060.3352xxxxx 在 Matlab 命令中输入 Rcoplot(r,rint) 可得到残差图如下图所示 从残差图中和以上理论分析可以看出,此回归方程效果也亦良好
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