江苏2018届高考数学总复习专题10.1椭圆试题含解析.pdf
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1、专题 10.1 椭圆 【三年高考】 1 【2017 江苏】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点 分别为 1 F ,2 F ,离心率为 1 2 ,两准线之间的距离为8点P在椭圆E上,且位于第一象限, 过点 1 F 作直线 1 PF 的垂线 1 l ,过点 2 F 作直线 2 PF 的垂线 2 l (1)求椭圆 E的标准方程; (2)若直线 1 l , 2 l 的交点 Q 在椭圆 E上,求点P的坐标 【答案】( 1) 22 1 43 xy ;( 2) 4 7 3 7 (,) 77 试题解析:(1)设椭圆的半焦距为c 因为椭圆E的离心率为
2、1 2 ,两准线之间的距离为8,所以 1 2 c a , 2 2 8 a c , 解得2,1ac,于是 22 3bac ,因此椭圆E的标准方程是 22 1 43 xy 因为 11 lPF, 22 lPF,所以直线 1 l的斜率为 0 0 1x y ,直线 2 l的斜率为 0 0 1x y , 从而直线 1 l的方程: 0 0 1 (1) x yx y , 直线 2 l的方程: 0 0 1 (1) x yx y 由,解得 2 0 0 0 1 , x xxy y ,所以 2 0 0 0 1 (,) x Qx y 因为点Q在椭圆上,由对称性,得 2 0 0 0 1x y y ,即 22 00 1xy
3、或 22 00 1xy 又P在椭圆E上,故 22 00 1 43 xy 由 22 00 22 00 1 1 43 xy xy ,解得 00 473 7 , 77 xy ; 22 00 22 00 1 1 43 xy xy ,无解 因此点P的坐标为 4 73 7 (,) 77 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系 【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系,一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程 组,利用根与系数关系或求根公式进行转化,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲 线上(点的坐标满足曲线方程)等 2. 【 2014江 苏 , 理17 】 如 图 在 平 面 直 角 坐 标 系x o
4、y中 , 12 ,F F分 别 是 椭 圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点,顶点B的坐标是(0, )b,连接 2 BF并延长交椭圆于点A, 过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接 1 FC. (1)若点C的坐标为 4 1 (,) 3 3 ,且 2 2BF,求椭圆的方程; (2)若 1 FCAB,求椭圆离心率e的值 . 【答案】(1) 2 2 1 2 x y; (2) 1 2 【解析】 试题分析:( 1)求椭圆标准方程,一般要找到关系, ,a b c的两个等量关系,本题中椭圆过点 4 1 (,) 3 3 C, 可 把 点 的 坐 标 代 入 标 准 方 程 , 得 到 一
5、个 关 于, ,a b c的 方 程 , 另 外 22 22 BFOBOFa2,这样两个等量关系找到了;(2)要求离心率,就是要列出关 于, ,a b c的一个等式, 题设条件是 1 FCAB, 即 1 1 F CA B kk, 2 ABF B b kk c , 要求 1 F C k, 必须求得C的坐标,由已知写出 2 BF方程,与椭圆方程联立可解得A点坐标 11 (,)x y,则 11 (,)C xy, 由 此 1 F C k可 得 , 代 入 1 1 F CAB kk可 得 关 于, ,a b c的 等 式 , 再 由 222, c bace a 可得e的方程,可求得e. 试题解析: (1
6、)由题意, 2( ,0) F c,(0, )Bb, 22 2 2BFbca,又 4 1 (,) 3 3 C, 22 2 41 ( )( ) 33 1 2b ,解得1b椭圆方程为 2 2 1 2 x y (2)直线 2 BF方程为1 xy cb ,与椭圆方程 22 22 1 xy ab 联立方程组,解得A点坐标为 23 2222 2 (,) a cb acac ,则C点坐标为 23 2222 2 (,) a cb acac , 1 3 3 22 223 22 23 F C b b ac k a ca cc c ac , 又 AB b k c ,由 1 FCAB得 3 23 ()1 3 bb a
7、ccc ,即 4224 3ba cc, 222224 ()3aca cc,化简得 5 5 c e a 3 【2013 江苏,理 12】在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为 22 22 =1 xy ab (a0,b 0) ,右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B. 设原点到直线BF的距离为d1,F到l 的距离为d2. 若 21 6dd,则椭圆 C的离心率为 _ 【答案】 3 3 【解析】设椭圆C的半焦距为c,由题意可设直线BF的方程为=1 xy cb ,即 bxcy bc0. 于是可知 1 22 bcbc d a bc , 2222 2 aacb dc ccc . 21 6dd, 2
8、 6bbc ca ,即 2 6abc . a2(a2 c2) 6c4. 6e4e210. e2 1 3 . 3 3 e . 4【 2017 浙江, 2】椭圆 22 1 94 xy 的离心率是 A 13 3 B 5 3 C 2 3 D 5 9 【答案】B 【解析】 试题分析: 945 33 e,选B 【考点】椭圆的简单几何性质 【名师点睛】 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于cba,的 方程或不等式,再根据cba,的关系消掉b得到ca,的关系式,建立关于cba,的方程或不等 式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 5. 【2017 课标 3,理 10】
9、已知椭圆C: 22 22 1 xy ab ,(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2, 且以线段A1A2 为直径的圆与直线20bxayab相切,则C的离心率为 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 【答案】A 【解析】 【考点】椭圆的离心率的求解;直线与圆的位置关系 【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率( 或离心率的取值范 围) ,常见有两种方法: 求出a,c,代入公式e c a ; 只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b 2 a 2 c 2 转化为a,c的齐次式, 然后等式 ( 不等式 ) 两边分别除以a或a 2 转化为关于e的方程 ( 不等
10、式 ) ,解方程 ( 不等式 )即可 得e(e的取值范围 ). 6 【2017 课标 1,理 20】已知椭圆C: 22 22 =1 xy ab (ab0) ,四点P1(1,1 ) ,P2(0,1 ) ,P3 ( 1, 3 2 ) ,P4( 1, 3 2 )中恰有三点在椭圆C上. (1)求C的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点 . 若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1, 证明:l过定点 . 【解析】 试题解析:(1)由于 3 P , 4 P 两点关于y轴对称,故由题设知 C经过 3 P , 4 P 两点 . 又由 2222 1113 4abab 知,C不经过点P1,所以点
11、P2在C上. 因此 2 22 1 1 13 1 4 b ab ,解得 2 2 4 1 a b . 故C的方程为 2 2 1 4 x y. 【考点】椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系. 【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方 法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之 间的关系式,从而可以判断过定点情况. 另外,在设直线方程之前,若题设中为告知,则一定 要讨论直线斜率不存在和存在情况,接着通法是联立方程组,求判别式、韦达定理,根据题 设关系进行化简. 7 【2016 高考新课标1 文数改编】 直线l经过椭圆的一
12、个顶点和一个焦点, 若椭圆中心到l 的 距离为其短轴长的 1 4, 则该椭圆的离心率为 【答案】 1 2 【解析】 试题分析:如图, 由题意得在椭圆中, 11 OFc,OBb,OD2bb 42 在RtOFB中,|OF| OB|BF |OD |,且 222 abc, 代入解得 22 a4c, 所以椭圆得离心率得 1 e 2 考点:椭圆的几何性质 【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题, 求解此类问题的一般步骤是先列出等式, 再转化为关于a,c的齐次方程 , 方程两边同时除以a的最高次幂 , 转化为关于e的方程 , 解方程 求e . 8 【2016 高考新课标文数改编】已知O为坐标原点,F
13、是椭圆C: 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点,,A B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴. 过点A的直线l与线 段PF交于点M,与y轴交于点E. 若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 【答案】 1 3 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 设 直 线l的 方 程 为()yk xa, 分 别 令 xc与 0x得 点 |()F Mk ac,|OEka,由O B EC B,得 1 | | 2 | OE OB FMBC ,即 2(c ) k aa kaac ,整理,得 1 3 c a ,所以椭圆离心率为 1 3 e 考点:椭圆方程与几何性质 【思路点拨】求解椭圆的离
14、心率问题主要有三种方法:(1)直接求得,a c的值,进而求得e的 y x O B F D 值; ( 2)建立, ,a b c的齐次等式,求得 b a 或转化为关于e的等式求解;(3) 通过特殊值或特殊 位置,求出e 9 【2016 高考北京文数】 (本小题14 分) 已知椭圆C: 22 22 1 xy ab 过点 A(2,0 ) ,B(0,1 )两点 . (I )求椭圆C的方程及离心率; ()设 P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线 PA与 y 轴交于点M ,直线 PB与 x 轴交于点 N,求证:四边形ABNM 的面积为定值 . 【答案】() 2 2 1 4 x y; 3 2 e()见解析.
15、【解析】 试题分析:()根据两顶点坐标可知a,b 的值,则亦知椭圆方程,根据椭圆性质及离心率公 式求解;()四边形的面积等于对角线乘积的一半,分别求出对角线,的 值求乘积为定值即可. 试题解析:(I )由题意得,2a,1b 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 又 22 3cab, 所以离心率 3 2 c e a (II )设 00 ,xy( 0 0x, 0 0y) ,则 22 00 44xy 又2,0,0,1,所以, 直线的方程为 0 0 2 2 y yx x 令0x,得 0 0 2 2 y y x ,从而 0 0 2 11 2 y y x 直线的方程为 0 0 1 1 y yx x
16、令0y,得 0 0 1 x x y ,从而 0 0 22 1 x x y 所以四边形的面积 1 2 S 00 00 21 21 212 xy yx 22 000000 0000 44484 222 xyx yxy x yxy 0000 0000 2244 22 x yxy x yxy 2 从而四边形的面积为定值 考点:椭圆方程,直线和椭圆的关系,运算求解能力. 【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种:(1) 从特殊入手,求出定点、定值、定线,再证 明定点、定值、定线与变量无关;(2) 直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量, 从而得到定点、定值、定线. 应注意到繁难的代数运算是此类问题
17、的特点,设而不求方法、整 体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 10 【 2016 高考山东文数】( 本小题满分14 分) 已知椭圆C:(ab0)的长轴长为4,焦距为2. (I )求椭圆C的方程; ( ) 过动点M(0 ,m)(m0)的直线交x轴与点N,交C于点A,P(P在第一象限 ) ,且M是线段 PN的中点 . 过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长线QM交C于点B. (i) 设直线PM、QM的斜率分别为k、k,证明为定值 . (ii)求直线AB的斜率的最小值. 【答案】 ( ) 22 1 42 xy .( )(i)见解析; (ii)直线 AB 的斜率的最小值为 6 2 . 【解析】
18、 试题分析: ( ) 分别计算,a b即得 . ( )(i)设 0000 ,0,0P xyxy, 利用对称点可得 00 ,2, 2.P xmQ xm 得到直线PM的斜率,直线QM的斜率,即可证得. (ii)设 1122 ,A x yB xy, 分别将直线PA的方程ykxm, 直线 QB的方程3ykxm 与椭圆方程 22 1 42 xy 联立, 应用一元二次方程根与系数的关系得到 21 xx、 21 yy及 AB k用k表示的式子,进一步应用 基本不等式即得. 试题解析: ( ) 设椭圆的半焦距为c, 由题意知 24,22 2ac , 所以 22 2,2abac, 所以椭圆C的方程为 22 1
19、42 xy . ( )(i)设 0000 ,0,0P xyxy, 由0,Mm,可得 00 ,2, 2.P xmQ xm 所以直线 PM的斜率 00 2mmm k xx , 直线 QM 的斜率 00 23 mmm k xx . 此时 3 k k ,所以 k k 为定值3. (ii)设 1122 ,A x yB xy, 直线 PA的方程为ykxm, 直线 QB的方程为3ykxm. 联立 22 1 42 ykxm xy , 整理得 222 214240kxmkxm. 由 2 01 2 24 21 m x x k 可得 2 1 2 0 22 21 m x kx , 所以 2 11 2 0 22 21
20、k m ykxmm kx , 同理 22 22 22 00 2262 , 181181 mk m xym kxkx . 所以 2222 21 2222 000 2222322 1812118121 mmkm xx kxkxkkx , 2222 21 2222 000 62228612 1812118121 k mmkkm yymm kxkxkkx , 所以 2 21 21 6111 6. 44 AB yyk kk xxkk 由 0 0,0mx,可知0k, 所以 1 62 6k k ,等号当且仅当 6 6 k时取得 . 此时 2 6 6 48 m m ,即 14 7 m,符号题意 . 所以直线A
21、B 的斜率的最小值为 6 2 . 考点: 1. 椭圆的标准方程及其几何性质;2. 直线与椭圆的位置关系;3. 基本不等式 . 【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高,是一道难题. 解答此类题目,利用, , ,a b c e的关 系,确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程 组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到参数的解析式或方程是关键,易错点是复杂式 子的变形能力不足,导致错漏百出 本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、 分析问题解决问题的能力等. 11 【 2015 高考新课标1,理 14】一个圆经过椭圆 22 1 164 xy 的三个顶点,
22、且圆心在x轴的 正半轴上,则该圆的标准方程为 . 【答案】 22 325 () 24 xy 【解析】设圆心为(a,0) ,则半径为4a,则 222 (4)2aa,解得 3 2 a ,故圆的方 程为 22325 () 24 xy. 12 【 2015 高考安徽,理20】设椭圆 E的方程为 22 22 10 xy ab ab ,点 O为坐标原点, 点 A的坐标为0a,点 B的坐标为0 b,点 M在线段 AB上,满足2BMMA,直线 OM 的斜率为 5 10 . (I )求 E的离心率e; (II )设点 C的坐标为0b,N为线段 AC的中点,点N关于直线 AB的对称点的纵坐标为 7 2 ,求 E的
23、方程 . 【解析】(I )由题设条件知,点 M 的坐标为 21 (,) 33 ab,又 5 10 OM k,从而 5 210 b a ,进 而得 22 5 ,2ab cabb,故 2 5 5 c e a . ( II )由题设条件和(I )的计算结果可得,直线AB的方程为1 5 xy bb ,点N的坐 标为 51 (,) 22 bb, 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为 1 7 (,) 2 x, 则线段NS的中点T的 坐标为 1 517 (,) 4244 x bb. 又点T在直线AB上,且1 NSAB kk, 从而有 1 1 517 4244 1 5 71 22 5 5 2 x bb b b
24、 b b x 解得3b,所以3 5a,故椭圆E的方程为 22 1 459 xy . 13. 【 2015 高考重庆,理21】如题( 21)图,椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别 为 12 ,F F过 2 F的直线交椭圆于,P Q两点,且 1 PQPF F2F1 P Q y x O (1)若 12 22,22PFPF,求椭圆的标准方程 (2)若 1 ,PFPQ求椭圆的离心率. e 【解析】 (1)由椭圆的定义, () () 12 2| PF |PF |22224aa=+=+-= ,故=2.设椭圆的 半焦距为c,由已知 12 PFPF,因此 () () 22 22 1212
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