江苏2018届高考数学总复习专题7.1关系与不等式解法基本不等式及应用试题含解析.pdf
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1、专题 7.1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用 【三年高考】 1 【201.7 高考江苏】某公司一年购买某种货物600 吨,每次购买吨,运费为6 万元 / 次,一 年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则的值是 【答案】 30 【解析】总费用为 600900 464()42900240xx xx ,当且仅当 900 x x ,即 30x 时 等号成立 【考点】基本不等式求最值 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基 本不等式中“正” ( 即条件要求中字母为正数) 、“定” ( 不等式的另一边必须为定值) 、 “等” (
2、等号取得的条件) 的条件才能应用,否则会出现错误 2. 【2015 高考江苏, 7】不等式 2 24 xx 的解集为 _. 【答案】 ( 1,2). 【解析】由题意得: 2 212xxx ,解集为 ( 1,2). 3. 【2013 江苏,理11】已知f(x) 是定义在R 上的奇函数,当x0 时,f(x) x 2 4x,则不 等式f(x) x的解集用区间表示为_ 【答案】 ( 5,0) (5 , ) 【解析】函数f(x)为奇函数,且x0 时,f(x) x 24x,则 f(x) 2 2 4 ,0, 0,0, 4 ,0, xx x x xx x 原 不等式等价于 2 0, 4, x xxx 或 2
3、0, 4, x xxx 由此可解得x 5或 5x0. 故应填 ( 5,0) (5 , ) . 4. 【 2017 山东,理7】若0ab,且1ab,则下列不等式成立的是 (A) 2 1 log 2 a b aab b (B) 2 1 log 2 a b aba b (C) 2 1 log 2 a b aab b (D) 2 1 log 2 a b aba b 【答案】 B 【考点】 1. 指数函数与对数函数的性质.2. 基本不等式 . 【名师点睛】比较幂或对数值的大小, 若幂的底数相同或对数的底数相同, 通常利用指数函数 或对数函数单调性进行比较, 若底数不同 , 可考虑利用中间量进行比较. 本
4、题虽小,但考查的知 识点较多,需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断. 5【2017 天津, 理 8】 已知函数 2 3,1, ( ) 2 ,1. xxx fx xx x 设aR, 若关于x的不等式( )| 2 x f xa 在 R上恒成立,则a的取值范围是 (A) 47 ,2 16 (B) 47 39 , 16 16 (C) 2 3,2(D) 39 2 3, 16 【答案】A 22 22 22 xx xx (当2x时取等号), 所以2 32a, 综上 47 2 16 a故选 A 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足( ) 2 x f xa转化为( )( ) 22
5、xx f xaf x 去解决,由于涉及分 段函数问题要遵循分段处理原则,分别对的两种不同情况进行讨论,针对每种情况根据的范 围,利用极端原理,求出对应的的范围. 6 【2017 天津,理12】若,a bR,0ab,则 44 41ab ab 的最小值为 _. 【答案】 【解析】 4422 414111 42 44 aba b abab abababab , (前一个等号成立条件是 22 2ab, 后 一 个 等 号 成 立 的 条 件 是 1 2 ab, 两 个 等 号 可 以 同 时 取 得 , 则 当 且 仅 当 22 22 , 24 ab时取等号) . 【考点】均值不等式 【名师点睛】利用
6、均指不等式求最值要灵活运用两个公式,(1) 22 ,2a bR abab,当 且仅当ab时取等号;(2),a bR ,2abab,当且仅当ab时取等号;首先要 注意公式的使用范围,其次还要注意等号成立的条件;另外有时也考查利用“等转不等”“作 乘法”“1 的妙用”求最值. 7 【2016 高考浙江理数改编】已知a,b,c是实数, 则下列命题 “若 |a 2+b+c|+| a+b 2+c| 1, 则a 2+b2+c2 ba ab 22 aabb 正确的是 【答案】 【解析】试题分析:因为0ab, 所以 11 ,1,1, ba ab ab 即 11 ba ab 均不成立;当 2 0c时, 22 a
7、cbc不成立;故填. 2. 已知定义域为R的奇函数yfx的导函数为yfx,当0x时, 0 fx fx x ,若 1111 ,22 ,lnln 2222 afbfcf ,则, ,a b c的大小关 系正确的是 _. 【答案】acb 【考点 3】一元二次不等式解法 【备考知识梳理】 对于一元二次方程 2 0(0)axbxca的两根为 12 xx、且 12 xx,设acb4 2 ,它的 解按照0, 0,0可分三种情况,相应地,二次函数 2 yaxbxc(0)a的 图像与 x轴的位置关系也分为三种情况 . 因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 2 0axbxc(0)a或 2 0axbxc(0)a的解
8、集 . 2 4bac000 二次函数 cbxaxy 2 (0a)的图象 2 0 (0) axbxc a的根 有两相异实根 )(, 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxxx或 a b xx 2 R 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxx 【规律方法技巧】 1解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正;若为负,则将其变为正数; 2若相应方程有实数根,求根时注意灵活运用因式分解和配方法; 3写不等式的解集时首先应判断两根的大小,若不能判断两根的大小应分类讨论; 4根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根
9、,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解 集与其系数之间的关系; 5若所给不等式最高项系数含有字母,还需要讨论最高项的系数. 【考点针对训练】 1. 已知关于 x的不等式 2 320axx的解集为1x xxb或 (1)求,a b的值; (2)当cR时,解关于 x的不等式 2 ()0axacb xbc(用表示) 的解集为 2xxc,当2c时,所求不等式的解集为2x cx,当2c时,所求 不等式的解集为. 2. 若不等式 222 2()yxc xxy对任意满足0xy的实数, x y恒成立,则实数的最大值 为 【答案】422 【考点 4】基本不等式及应用 【备考知识梳理】 1、 如果,Ra b,那么
10、22 2abab(当且仅当ab时取等号“=”) 推论: 22 ab 2 ab (,Ra b) 2、 如果0a,0b, 则 2abab, (当且仅当 ab时取等号“ =”) . 推论: 2 ab() 2 ab (0a,0b) ; 22 2 () 22 abab 3、 22 2 (0,0) 11 22 abab abab ab 【规律方法技巧】 1. 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不 等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项, 并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等 2. 在用基本不等式求函数的最值时,
11、应具备三个条件:一正二定三取等. 一正:函数的解析式中,各项均为正数; 二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; 三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值. 若使用基本不等式时,等号取不到,可以通过“对勾函数”,利用单调性求最值. 【考点针对训练】 1. 已知正数a,b,c满足 3ab2c0,则 ac b 的最大值为 【答案】 6 12 【解析】 6 3212 2 32 acacac bac ac ,当且仅当32 2 b ac时取等号,故 ac b 的最大值 为 6 12 2. 设实数, x y满足 2 2 1 4 x y,则 2 32xxy的最小值是 【答案】
12、 642 【解析】 令 2 x yt,则 1 2 x y t ,所以 1 1 1 2 t t xt t y , , ,则 22 2 4 326264 2xxyt t 【两年模拟详解析】 1【苏北三市(连云港、徐州、宿迁)2017 届高三年级第三次调研考试】已知对于任意的 ,都有,则实数的取值范围是_ 【答案】( 或) 【解析】整理不等式可得: . 问题等价于在区间上,过点斜率为的直线恒在抛物线 的上方,注意到点三点共线,据此可得实数a 的取值 范围是,即 1 2 【2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(二)】已知a,b均为正数,且 20abab,则 2 221 4 a b a
13、b 的最小值为 【答案】 7 【解析】,所以 (当且仅当时取等 号) 而(当且仅当时取等号), 因此 (当且仅当时取等号),即的最小值为7. 3【南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟】在ABC中, ,A B C所对的边分别为, ,a b c, 若 222 28abc,则ABC面积的最大值为 【答案】 2 5 5 【解析】 222222 222111()1(83) sin1 cos()() 222424 ABC abcc SabCabCabab , 而 2222 28242ababcabc, 所以 2222 22221(83)11 5(16 5)2 5 (4)(165) 24445 2
14、 5 ABC ccc Sccc,当且 仅当 28 , 5 ab c 时取等号 4. 【镇江市 2017 届高三年级第一次模拟】已知函数)(xf是定义在R上的奇函数, 当0x时, xxxf4 2 )(,则不等式xxf)(的解集为 【答案】5,05, 【解析】当0x时,4)()( 2 xxxfxf,所以 xxx x 4 0 2 或 xxx x )4( 0 2 , 解得5x或05x,解集为), 5()0,5(U 5. 【镇江市2017 届高三年级第一次模拟】不等式4 2 xx a lnlog(0a且1a)对任 意),( 1001x恒成立,则实数的取值范围为 【答案】 1 4 0,1e , 【解析】)
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