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1、(六)曲线与方程、抛物线 1. 如图,过抛物线y 2 4x 的焦点F作抛物线的两条弦AB,CD,设直线AC与BD的交点为P, 直线AC,BD分别与y轴交于M,N两点 (1) 求证:点P恒在抛物线的准线上; (2) 求证:四边形PMFN是平行四边形 证明(1) 由题意知F(1,0) ,不妨设A(a 2, 2a) ,D(b 2, 2b) ,a0,b0) 过点 (2,1) ,直线l过点P(0 , 1)与抛物线C交于A, B两点,点A关于y轴的对称点为A,连结AB. (1) 求抛物线C的标准方程; (2) 问直线AB是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由 解(1) 将点 (2,1) 代入抛
2、物线C的方程,得p2, 所以抛物线C的标准方程为x 24y. (2) 设直线l的方程为ykx1, 又设A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则A( x1,y1), 由 y x 2 4 , ykx1, 得x 2 4kx40, 则 16k 2160, x1,2 4k16k 216 2 , x1x24,x1x24k, 所以kA B y2y1 x2 x1 x 2 2 4 x 2 1 4 x1x2 x2x1 4 , 于是直线AB的方程为y x 2 2 4 x2x1 4 (xx2) , 所以y x2x1 4 (xx2) x 2 2 4 x2x1 4 x1, 当x0 时,y1, 所以直线AB过定点 (0,
3、1) 3. 如图,已知定点R(0,3) ,动点P,Q分别在x轴和y轴上移动,延长PQ至点M,使PQ 1 2QM ,且PR PM 0. (1) 求动点M的轨迹C1; (2) 圆C2:x 2( y1) 21,过点 (0,1) 的直线 l依次交C1于A,D两点 ( 从左到右 ) ,交C2于B, C两点 ( 从左到右 ) ,求证:AB CD 为定值 (1) 解方法一设M(x,y) ,P(x1,0),Q(0 ,y2) , 则由PR PM 0,PQ 1 2QM 及R(0 , 3) ,得 x1xx1 3y0, x11 2x, y21 2y 1 2y 2, 化简得x 24y. 所以动点M的轨迹C1是顶点在原点
4、,开口向上的抛物线 方法二设M(x,y) 由PQ 1 2QM ,得P x 2,0 , Q0, y 3 . 所以PR x 2, 3 , PM 3x 2 ,y. 由PR PM 0,得 x 2, 3 3x 2 ,y0, 即 3 4x 23y0,化简得 x 2 4y. 所以动点M的轨迹C1是顶点在原点,开口向上的抛物线 (2) 证明由题意,得AB CD ABCD,C2的圆心即为抛物线C1的焦点F. 设A(x1,y1) ,D(x2,y2) ,则ABFAFBy111y1. 同理CDy2. 直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为ykx1, 联立 ykx1, x 24y, 得x 24kx 40, 所以x1,2
5、4k 16k 2 16 2 , 所以x1x2 4k,x1x2 4, 所以AB CD ABCDy1y2 (kx11)(kx21)k 2x 1x2k(x1x2) 1 4k 24k2 11, 所以AB CD 为定值 1. 4. 如图,已知抛物线C:y 24x 的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y10), B(x2,y2) 两点,T为抛物线的准线与x轴的交点 (1) 若TA TB 1,求直线l的斜率; (2) 求ATF的最大值 解(1) 因为抛物线y 24x 的焦点为 F(1,0) ,T( 1,0) , 当lx轴时,A(1,2),B(1 , 2), 此时TA TB 0,与TA TB 1 矛盾, 所以可设直线l的方程为yk(x 1) , 代入y 2 4x,得 k 2x2(2 k 24) xk 20, x1,2 2k 24 2k 2424k4 2k 2, 则x1x22k 24 k 2,x1x21, 故y 2 1y 2 216x1x216,y1y24. 因为TA TB 1,所以 (x1 1)(x21) y1y21, 将代入并整理,得k 24,所以 k2. (2) 因为y10, 所以 tan ATF y1 x11 y1 y 2 1 4 1 1 y1 4 1 y1 1, 当且仅当 y1 4 1 y1,即 y12 时取等号, 因为点A在第一象限, 所以ATF的最大值为 4 .
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