江苏省高考数学二轮复习专题六数列第2讲数列的综合问题学案.pdf
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1、第 2 讲数列的综合问题 考情考向分析 江苏高考中,数列大题常在压轴的代数论证中考数列的综合应用近几年 江苏高考中数列解答题总是同等差、等比数列相关,进一步考查其子数列或派生数列的性质 等,所以解题过程中既有等差、等比数列性质的挖掘,又有等差、等比数列的判断论证,综 合性极强 热点一数列中的探索性问题 例 1 (2018无锡期末) 已知数列an满足 1 1 a1 1 1 a2 1 1 an 1 an, nN * ,Sn是数列an 的前n项和 (1) 求数列an的通项公式; (2) 若ap,30,Sq成等差数列,ap,18,Sq成等比数列,求正整数p,q的值; (3) 是否存在kN *,使得 a
2、kak116为数列an中的项?若存在,求出所有满足条件的k的 值;若不存在,请说明理由 解(1) 因为1 1 a1 1 1 a2 1 1 an 1 an,nN *, 所以当n1 时, 1 1 a1 1 a1,a 12, 当n2时,由1 1 a1 1 1 a2 1 1 an 1 an和 1 1 a1 1 1 a2 1 1 an1 1 an1, 两式相除可得,1 1 an an1 an ,即anan 11(n2) 所以数列an是首项为2,公差为1 的等差数列 所以ann1(nN *) (2) 因为ap,30,Sq成等差数列,ap,18,S q成等比数列, 所以 apSq60, apSq18 2,
3、于是 ap6, Sq54 或 ap54, Sq6. 当 ap6, Sq54 时, p1 6, q3q 2 54, 解得 p5, q9, 当 ap54, Sq6 时, p154, q3q 2 6, 无正整数解, 所以p5,q9. (3) 假设存在满足条件的正整数k,使得akak 116am(mN * ), 则k1k2 16m1, 平方并化简得,(2m2) 2(2 k3) 263, 则(2m2k5)(2m2k1) 63, 所以 2m2k563, 2m2k11 或 2m2k521, 2m2k13, 或 2m2k59, 2m2k17, 解得m15,k14,或m5,k3,或m3,k 1( 舍去 ) ,
4、综上所述,k3 或 14. 思维升华数列中的探索性问题是江苏高考的一个热点,试题一般是探求数列中项的存在性 问题,此类试题的解法一般具有以下特点:假设提出的问题存在,结合数论中不定方程、奇 偶性的基本性质进行求解 跟踪演练1 已知数列 an中,a1 1,a2a,且an1k(anan2) 对任意正整数n都成立, 数列 an的前n项和为Sn. (1) 是否存在实数k,使数列 an是公比不为1 的等比数列,且任意相邻三项am,am1,am2 按某顺序排列后成等差数列?若存在,求出所有k的值;若不存在,说明理由; (2) 若k 1 2,求 Sn. 解(1) 设数列 an 是等比数列,则它的公比q a2
5、 a1 a, 所以ama m 1, am 1a m ,am 2a m 1. 若am 1为等差中项,则2am1amam2, 即 2a m a m 1 a m1,解得 a1,不合题意; 若am为等差中项,则2amam 1am2, 即 2a m1 a m a m1, 化简得a 2 a 20, 解得a 2 或 1( 舍) 当a 2 时,k am 1 amam 2 a m a m 1 a m 1 a 1a 2 2 5; 若am 2为等差中项,则2am 2am 1am, 即 2a m 1 a m a m 1,化简得 2a 2a10, 解得a 1 2或 1(舍) 当a 1 2时, k am 1 amam 2
6、 a m a m 1 a m 1 a 1a 2 2 5. 综上可得满足要求的实数k有且仅有一个,即k 2 5. (2) 若k 1 2,则 an1 1 2( anan2) , 于是an 2an1 (an 1an) , 所以an 3an2 (an 2an 1) an1an. 当n是偶数时,Sna1a2a3a4an1an (a1a2) (a3a4) (an1an) n 2( a1a2) n 2( a1) ; 当n是奇数时,Sna1a2a3a4an1an a1(a2a3) (a4a5) (an1an) a1n1 2 (a2a3) a1 n1 2 (a1a2) 1n 1 2 (a 1) 当n1 时也适合
7、上式 综上可得Sn 1 n1 2 a1 ,n是奇数, n 2 a 1 ,n是偶数 . 热点二数列中的证明问题 例 2 (2018江苏黄桥中学等三校联考) 已知数列an满足a11, 前n项和为Sn, 且 an1an anan1 2 4Sn1( )nN * . (1) 求a2的值; (2) 设bn an an 1an,证明:数列 bn是等差数列; (3) 设cn2 n b an,若 12,求对所有的正整数n都有 2 2 k320, 所以数列cn为单调递增数列 当n1 时,cnc12,即cn的最小值为2. 由 2 2 k 32cn,得k2 22 2, 所以k2 2 max, 而当 12时, 2 在
8、1, 4 2 上递减, 4 2,2 上递增,所以 2 max1 2, 当且仅当1 或2时取得,故k() 222, . 思维升华数列中的证明问题要有目标意识,比如本题第二问要证明bn是等差数列,就要 构造出式子bn1bn an1 an2an1 an an1an,然后代入条件进行证明,为证明问题提供思路 跟踪演练2 设数列 an是各项均为正数的等比数列,其前n项和为Sn,若a1a564,S5S3 48. (1) 求数列 an的通项公式; (2) 对于正整数k,m,l(kmk,nN * ,m N * 时总有 |anam| t; (2) 已知 2a n3 n2,若 a11,且ana3对nN *恒成立,
9、求 a2的取值范围 (1) 解a 2 2a1a3, a1 1 2 2 a1a1 1 4 , a11 3. 当n2时an an1 an2 a1a1 1 2 1 1 2 n1 1 1 2 1 3 1 3 1 2 n1,满足题意; 证明anam1 3 1 2 n11 3 1 2 m1 2 3 1 2 n 1 2 m , |anam| 2 3 1 2 n 1 2 m 2 3 1 2 n 1 2 m 4 3 1 2 m t, mlog2 4 3t ,因此k取不小于log2 4 3t 的正整数, 当nmk,nN * ,m N *时总有 | anam| t. (2) 解 2a nan1an3 n2, an
10、3 13 n1 13 2(n1) a1 3 n 2 2n 1 2 a1 3 n 2 2na2 1 2, 2a n0,an递增, 因此 a2a3a20, a3a4a30, a20, a270, 7a20. a的取值范围为 7,0 思维升华数列中的“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定,要求现学现用,“给 什么,用什么”是应用“新定义”解题的基本思路理解新定义的规则后,解决问题的手段 还是运用等差数列、等比数列的定义性质和基本数学思想 跟踪演练3 (2018江苏省南京师范大学附中等四校调研) 设数列an的首项为1,前n项 和为Sn, 若对任意的nN * , 均有Snankk(k是常数且kN *
11、 )成立,则称数列an为“P( )k 数列” (1) 若数列an为“P( )1 数列”,求数列an的通项公式; (2) 若数列an为“P( )2 数列”,a22,设Tna 1 2 a2 2 2 a3 2 3 an 2 n,证明:Tn0,所以 1 2T n0 时,方程最多有2 个解;q0时,考虑函数f(x) q x txs,则f(x) q xln qt. 如果tln q0,且不妨设由f(x)0 得f(x) 有唯一零点x0log q t ln q ,于是当xx0时, f(x)恒大于 0 或恒小于0,当x0, 如果n为奇数,则方程变为| |q n tns0, 显然方程最多只有一个解,即最多只有一个奇
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