高中数学“点到平面的距离”教学实录.pdf
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1、以点带面融会贯通 -“点到平面的距离”教学实录 1 背景 05 年 11 月,笔者受浙江省教研室、浙江省特级教师协会的委托,到浙江省丽水市遂昌中学送教, 在该校高三(1)班上了一节立体几何复习课,参加活动的有丽水市各普通高中的数学教师代表,课题是空间距 离的求法,笔者以2003 年全国高考数学试题(文史类)的第17 题(第一个解答题)的第(II )问为例题,与学 生对这个题目进行了的深入的研究、讨论、探索通过这堂课,不仅使学生掌握了求点到平面距离的一些常用方 法,提高了学生的思维能力,而且让学生体会数学发现的快乐 2 点击各样距离, 聚焦点面距离. 教师:我来自千里之外的宁波北仑,中国有句古话
2、,叫做“有缘 -” 学生: “有缘千是里来相会” , 教师:对 ! 相聚确实是一种缘分,今天我和大家能相聚在这里,也是一种缘分,但愿我们能愉快地度过这 45 分钟 .且彼此都留下美好的印象.今天我们要讨论的话题是如何求距离到现在为止我们已经学过那此距离? 学生:点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离、直线到直线的距离、直线到平面的距离、还有平面到 平面的距离等等 教师:在空间中特有的距离有哪几种? 学生:异面直线间的距离、直线到平面的距离、点到平面的距离、两平行平面间的距离 教师:即“四大距离”相当于蒋、宋、孔、陈四大家族.都是很重要的 ,这里有个问题,我今天讲课题是点到平 面距离 ,为什么
3、不是其它距离呢?好像我只对点面距离情有独钟,你能说出点到平面的距离,是靠什么“什么魅力” 把吴老师深深的吸引?你能明白我的心吗? 学生:点面距离最重要! 教师:难道其它距离就不重要了吗?还是让我们先设法弄清楚这四大家族的关系如何?为什么点面距离是最 重要的 ,先看一看面面距离是如何定义的? 学生:两平行平面公垂线段的长即为两平行平面间的距离(用讲台桌面和一书本作为模型). 教师:你是如何求两平行平面间的距离的? 学生:只要求出其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离即可. 教师:即要求面面距离只须求- 学生:只须求点面距离. 教师:即面面距离可化归为点面距离让我们再瞧一瞧线面距离(用教鞭及讲
4、台桌面作为模型)线面距离是 如何定义的? 学生:直线和平面平行时,直线上的任意一点到平面的距离即为直线到平面的距离. 教师:即线面距离必须化归为点面距离.最后让我们来看一看异面直线间的距离,(作出图形 ) 学生:异面直线的公垂线段的长即为异面直线的距离. 教师:照理说要求异面直线的距离必须画出异面直线的公垂线段,但要 2 画异面直线的公垂线段是一件很不容易的事情,如图b,a是异面直线 ,AB 是它们的公垂线段,过点 B 作a的平行线 1 a,则直线b,a1 确定的平面和a的关系如何 ? 学生:平行 ! 教师: AB 和平面 M 的关系如何 ? 学生:垂直 . 教师: AB 的长即为A 到平面
5、M 的距离 ,即为直线a到平面 M 的距离 .所以异面直线的距离也可以化归为线面 距离 ,最终可化归为点面距离,由此可知 ,这四个距离中家族中,起决定作用的法人代表是谁? 学生:是点面距离. 3 给出典型问题, 引导学生探索. 教师:毫无凝问,点面距离是众多距离中决定作用的法人代表,是众多距离中的最耀眼的明星,老师也是追星 族,对点面距离情有独钟一点也不奇怪了.下面我们设法把这个法人代表搞定.今天我们用一节课时间就做一个题 目,请大家看手头中的讲义,先请大家试着做一做 (:学生各自解答讲义中的例题,教师在黑板上画好基本图形) 例题 (由 2003 年全国高考试题改变) 已知:正四棱柱 1111
6、 DCBAABCD中,2 1 AA,1AB,点E为 1 CC的中点 . 求: 点 1D 到平面 BDE的距离 . 教师 : 为了叙述方便, 我们所求的点称为“目标点”,如本题中的目标点为 1 D,所涉 及的平面称为目标平面,如本问题的目标平面为平面 BDE下面请各位同学试着做一 做! 4 展示各种解法, 总结思想方法. (大约六、七分钟后) 教师:下面请同学们展示一下自己的解法,这种机会是很难得,哪位同学先勇敢地站起来介绍一下自己的解 法?好的,请你先说一说总的思路和方法! 学生:我是用体积法做的 教师:哪就是说没有画出垂线段! 学生:因为BDE是边长为2的正三角形,所以其面积为 2 3 ,接
7、下去求出三棱锥 1 DEDB的体积 教师:其体积是如何算? 学生:DED1 的面积为1,高 BC 也为 1,所以其体积为 3 1 ,点 1 D到平面BDE的距离为 3 32 教师:大家听清楚了吗? 学生:清楚了. 教师:他说得好不好? 学生:好 ! 教师:大家鼓励一下. 学生: (掌声 .) 教师:我们给这种方法取个名字. 学生:运用体积法. 教师:运用体积法的解题程序如何.第一步干什么,第二步干什么 ? 学生:先看中一个四面体,再求它的体积,再求出所求点对面的哪个面的面积 (板书: 运用体积法图形体积面积结论) A 1B 1 D1 C1 A D C B E A 1 B 1 A B D 1 C
8、1 C D E O 3 教师:这是最简捷的解法,也是最美的解法,如果是考试时解题,我们就可以到此为止了,因为考试解题一题一解 即可 ,且最好能把你的绝活亮出来,越简捷越好 ,是以拿到分数为目的.而平时做题则不同,是以提高能力为目标的, 我认为要高考数学要取得好成绩,必须要解决的问题是政策和对策的问题,即所的谓的“上有政策,下有对策”, 对于求点面距离这个政策,你还有哪些其它对策呢?今天,不管是漂亮的方法,还是丑陋的方法,都给以亮相的 机会,下面接着展示 学生:我是用坐标法做的 教师:你是如何建立直角坐标系的? 学生:以D 为原点,用右手坐标系(教师作图) 可经得到:0 ,0, 0D,1 , 1
9、 ,0,0, 1 , 1,2 ,0,0 1 EBD 教师:请问你其它点的坐标为何不写了? 学生:写了也白写! 教师:对写了也白写还不如不写下面干什么事情? 学生:求出平面DBE的一个法向量,设法向量为zyxn,,而0 , 1 , 1DB,1 , 1 , 0DE 由nDB且nDE,可得法向量为1 , 1,1 n 教师:法向量求出以后干什么用呢? 学生:可以求出距离了, 2, 0, 0 1 DD, 1 DD的长以及它和法向量的夹角都可以知道,由此可得点1D到 平面BDE的距离d= 3 32 ,cos 11 DDnDD 教师:我们也给这种解法取个名字, 学生:坐标法 教师:对,空间坐标法,用空间坐标
10、法的解题程序又如何呢? 学生:先建立空间直角坐标系,相关点用坐标表示之,求出目标平面的法向量,再找一条过目标点的斜线段, 由内积公式求出它和法向量所成的角,最后终得距离 (板书: 空间坐标法建坐标坐标化法向量斜线段算夹角求距离) 教师:前面两位同学的都比较狡猾,没有按照点面距离的定义,画出点到线的距离,画出距离可不可以呢? 学生:设正四棱柱 1111 DCBAABCD两底面的中心分别 1 ,OO; 则只须求出点 1 O到平面BDE的距离 教师:为什么? 学生:因为 11B D平面DBE 教师:你为什么要把所求的点转移到点 1 O 学生:因为点 1 D不好商量,过 1 D作平面 DBE 的垂线画
11、出来, 教师:所以我们要让这个点跑到面的里面,下面说一说你是如何作辅助线的,你怎么说我就怎么画,如果我是电 脑,那么你是鼠标 . 学生:先证明平面OEO1与平面 DBE 垂直,交线为 OE, 再作OEHO1于 H, 则HO1平面 DBE.则HO1即 为 点 1 O到平面BDE的距离 A 1 B 1 A B D 1 C1 C D E O 1 O H 4 教师:下面问题即化归到求等腰三角形OEO1一腰上的高的问题,这里这不放慢镜头了.这种招式也是求点面 距离的常用招式,我们也给它取个名字,怎么样 ? 学生: - 教师:这种解法的要点是先逃跑,后作垂线 ,先实行战略转移,再作距离 , 学生:逃跑转移
12、法 教师:不够文明,还是叫平行转移法吧!平行转移法的解题的主要步骤如何? 学生:第一步,先找一条直线,使目标点可以在这条直线上跑,第二步 ,找一个好位置再作目标平面的垂线, 教师:怎样才算好位置呢? 学生:能画出垂线的位置 教师: “足”是什么,足就是脚,就是要使其有“立足之地”,什么情况下保证有立足之地呢?这里有一个基 本的套路,我介绍一下,当两个平面垂直时,有何重要性质? 学生:面面垂直,则线面垂直 教师:即当两个平面垂直时,可在其中一个平面内,过某一点作两平面交线的垂线(用模型),则这条直线与 另一个平面垂直了,刚在为什么我们看上点 1 O呢?因为 1 O生长在平面OEO1 中,且平面O
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