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1、高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U xAxC A, U xC AxA. 2. 德摩根公式 ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B. 3. 包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4. 容斥原理 ()()card ABcardAcardBcard AB ()()card ABCcardAcardBcardCcard AB ()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC. 5集合 12 , n a aa的子集个数共有2 n 个;真子集有2n1 个;非空子集有2n1 个;非空的真子集有2
2、n 2 个. 6. 二次函数的解析式的三种形式 (1) 一般式 2 ( )(0)f xaxbxc a; (2) 顶点式 2 ( )()(0)f xa xhk a; (3) 零点式 12 ( )()()(0)f xa xxxxa. 7.解连不等式( )Nf xM常有以下转化形式 ( )Nf xM( )( )0f xMf xN |( )| 22 MNMN f x ( ) 0 ( ) fxN Mf x 11 ( )f xNMN . 8. 方程0)(xf在),( 21 kk上有且只有一个实根, 与0)()( 21 kfkf不等价 , 前者是后 者的一个必要而不是充分条件. 特别地 , 方程)0(0 2
3、 acbxax有且只有一个实根在 ),( 21 kk内 , 等价于0)()( 21 kfkf, 或0)( 1 kf且 22 21 1 kk a b k, 或0)( 2 kf且 2 21 22 k a bkk . 9. 闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()( 2 acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在 a b x 2 处及区 间的两端点处取得,具体如下: (1) 当 a0 时, 若qp a b x, 2 , 则 m inmaxmax ()() , ()( ) , () 2 b f xff xf p f q a ; qp a b x, 2 , maxmax ( )( ),( )f xf
4、pf q, minmin ( )( ),( )f xf pf q. (2)当a0) (1))()(axfxf,则)(xf的周期 T=a; (2)0)()(axfxf, 或)0)( )( 1 )(xf xf axf, 或 1 () ( ) f xa f x ( ( )0)f x, 或 2 1 ( )( )(),( )0,1 ) 2 f xfxf xaf x, 则)(xf的周期 T=2a; (3)0)( )( 1 1)(xf axf xf,则)(xf的周期 T=3a; (4) )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf且 1212 ( )1( ()()1,0| 2 )
5、f af xf xxxa,则 )(xf的周期 T=4a; (5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa ( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, 则)(xf的周期 T=5a; (6)()()(axfxfaxf,则)(xf的周期 T=6a. 30. 分数指数幂 (1) 1 m n nm a a (0,am nN,且 1n ). (2) 1 m n m n a a (0,am nN,且 1n ) . 31根式的性质 (1)()n n aa. (2)当n为奇数时, nn aa; 当n为偶数时, ,0 | ,0
6、 nn a a aa a a . 32有理指数幂的运算性质 (1) (0, ,) rsrs aaaar sQ. (2) ()(0, ,) rsrs aaar sQ. (3)()(0,0,) rrr aba b abrQ. 注: 若 a 0,p 是一个无理数,则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33. 指数式与对数式的互化式 log b aN baN(0,1,0)aaN . 34. 对数的换底公式 log log log m a m N N a (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglog m n a a n bb m (0a, 且1a,
7、0m n, 且1m,1n,0N). 35对数的四则运算法则 若 a0,a1,M 0,N0,则 (1)log ()loglog aaa MNMN; (2) logloglog aaa M MN N ; (3)loglog() n aa MnM nR. 36. 设函数 )0)(log)( 2 acbxaxxf m , 记acb4 2 . 若)(xf的定义域为 R, 则0a ,且 0; 若)(xf 的值域为 R, 则0a ,且 0. 对于0a 的情形 , 需要 单独检验 . 37.对数换底不等式及其推广 若0a,0b,0x, 1 x a , 则函数log () ax ybx (1)当ab时, 在 1
8、 (0,) a 和 1 (,) a 上log() ax ybx为增函数 . ,(2) 当ab时, 在 1 (0,) a 和 1 (,) a 上log () ax ybx为减函数 . 推论 :设 1nm , 0p , 0a ,且 1a ,则 (1)log()log mpm npn. (2) 2 logloglog 2 aaa mn mn. 38.平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有 (1) x yNp. 39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn ( 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saa
9、a). 40. 等差数列的通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN; 其前 n 项和公式为 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n nad 2 1 1 () 22 d nad n. 41. 等比数列的通项公式 1*1 1 () nn n a aa qqnN q ; 其前 n 项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q 或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q . 42. 等比差数列 n a: 11 ,(0) nn aqad ab q的通项公式为 1 (1) ,1 () ,1 1 nn n bnd
10、q a bqdb qd q q ; 其前 n 项和公式为 (1) ,(1) 1 (),(1) 111 n n nbn ndq s dqd bnq qqq . 43.分期付款 (按揭贷款 ) 每次还款 (1) (1)1 n n abb x b 元(贷款a元,n次还清 ,每期利率为b). 44常见三角不等式 (1)若(0,) 2 x,则sintanxxx. (2) 若(0,) 2 x,则1sincos2xx. (3) |sin|cos| 1xx. 45. 同角三角函数的基本关系式 22 sincos1,tan= cos sin ,tan1cot. 46. 正弦、余弦的诱导公式 2 1 2 ( 1)
11、 sin, sin() 2 ( 1)s , n n n co 2 1 2 (1)s, s () 2 (1)si n, n n co n co 47. 和角与差角公式 sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantan tan() 1tantan . 22 sin()sin()sinsin( 平方正弦公式); 22 cos()cos()cossin. sincosab= 22 sin()ab( 辅 助 角所 在 象 限 由 点( , )a b的 象 限 决 定,tan b a ). 48. 二倍角公式 sin22sincos. 2222 cos2cossin2cos112sin. 2 2 tan tan2 1tan . 49. 三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin()sin() 33 . 3 cos34cos3cos4coscos()cos() 33 . 3 2 3tantan tan3tantan() tan() 13tan33 . 50. 三角函数的周期公式 函数sin()yx,xR及函数cos()yx,xR(A, ,为常数, 且 A 0, (n 为偶数 ) (n 为奇数 ) (n 为偶数 ) (n 为奇数 )
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