高中数学第一章数1.3.3已知三角函数值求角示范教案.pdf
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1、1.3.3 已知三角函数值求角 示范教案 整体设计 教学分析 在课程标准中,没有已知三角函数值求角的内容,但相当多的内容涉及到这个问题( 如 立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、解析几何中直线的倾斜角) ,所 以教材专门列出一小节讲解,因此应该让学生了解它们的意义,并学会正确使用反三角函数 符号arcsinx 、arccosx 、 arctanx.但一定要控制本小节的难度,只能根据单角的正弦、余 弦、正切值求单角或单角的集合,不要补充一些较复杂的题目,只要使学生会由已知三角函 数值求角就可以了 已知角 x 的一个三角函数值求角x 时,实际上就是解最简单的三角方程由于三角函数 不
2、是从定义域R值域 1,1 上的一一映射,所以已知角x 的一个三角函数值求角x 时, 所得的角不一定只有一个,角的个数要根据角的取值范围来确定,这个范围应该在题目中给 定如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个,可以分为以下几个步骤:第一步, 确定角 x 可能是第几象限角;第二步, 如果函数值为正数,则先求出对应的锐角x1,如果函 数值为负数,则先求出与其绝对值对应的锐角x1;第三步,如果函数值为负数,则根据角x 可能是第几象限角,得出 0,2 内对应的角; 第四步,如果要求出0,2 以外的角,则可 利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果 如果求得的角是特殊角,最好用弧度表示,
3、 就不存在反三角符号了本节的难点有三个, 简单地说就是确定角的个数,认识符号,写出所求角的集合克服难点的关键是拾级而上, 分层次理解,弄清各层次的意义但要注意表示形式上的不唯一 三维目标 1理解反正弦、反余弦、反正切的意义,并会用符号表示 2会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出0,2 范围内的角,并能用反正弦、反 余弦、反正切符号表示角或角的集合 3能运用已知三角函数值求角,解决与其相关的一些简单问题 重点难点 教学重点:已知正弦、余弦、正切值求角 教学难点:对反正弦、反余弦、反正切的概念及其符号的正确认识 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路1.( 直接引入 ) 我们知道,任意给定
4、一个角,只要这个角的三角函数值存在,就可 以求出这个三角函数值;反过来,已知一个三角函数值,也可以求出与它对应的角由此导 入新课 思路2.( 类比引入 ) 前面我们学习函数时知道,给定一个函数值必有一个或多个自变量 的值与之对应那么三角函数作为一类特殊的函数,是不是也这样呢?比如sinx 1 2,你怎 样求出适合这个式子的x 的值呢?在学生探究中引入新课 推进新课 新知探究 已知正弦值,求角 提出问题 错误 ! 活动: 教师引导学生先复习正弦函数的图象和性质,或用课件演示,引导学生得出:在 函数 y sinx 的非单调区间上,对于已知的一个正弦值,有多个角和它对应,如在0,2 上有两个角 4
5、和 3 4 的正弦值都为 2 2 , 在 R上有无穷多个角的正弦值为 2 2 . 但是,在 ysinx 的单调区间上, 只有一个角和已知正弦值对应,比如在单调区间 2 , 2 上,只有 4 的正 弦值等于 2 2 . 也就是说,正弦函数在区间0,2 上不具有单调性但在 2 , 2 上单调递增所 以在区间 2 , 2 上,满足条件sinx a( 1a1)的 x 有且只有一个,而在0,2 上 满足条件sinx a(1a1)的 x 一般有两个 一般地,对于正弦函数ysinx ,如果已知函数值y(y 1,1) ,那么在 2 , 2 上有唯一的x 值和它对应记为 xarcsiny(其中 1y1, 2 x
6、 2 ) , 即 arcsiny(|y|1)表示 2 , 2 上正弦等于y 的那个角这个角叫做y 的反正弦 讨论结果: (1) 有无穷多个;(2) 表示为 xarcsiny(其中 1y1, 2 x 2 ) 应用示例 例 1(1) 已知 sinx 2 2 ,且 x 2 , 2 ,求 x; (2) 已知 sinx 2 2 ,且 x0,2 ,求 x 的取值集合; (3) 已知 sinx 2 2 ,且 x R,求 x 的取值集合 解:由 sinx 2 2 知 x 的正弦值是个正值,所以x 是第一象限或第二象限的角,如图1, 由 sin 4 2 2 ,sin 3 4 2 2 可知: 图 1 (1) 在
7、2 , 2 上, x 4 ; (2) 在0,2 上, x 4 或 x 3 4 ; (3) 在 R 上符合条件的角是所有与 4 终边相同的角和所有与 3 4 终边相同的角因此x 的取值集合为 x|x 2k 4 (k Z) x|x 2k 3 4 (k Z) 点评: 本例解法没涉及到反正弦概念,那么学习反正弦还有什么用呢?教师可就此点明, 在本例 (1) 中, 4 arcsin 2 2 , 3 4 arcsin 2 2 . 那么本例(2) 中的答案也可写成 arcsin 2 2 , arcsin 2 2 进一步体会 2 2 arcsina 2 2 ( 其中 1a1)同时强 调,如果求得的角是特殊角,
8、则最好用特殊角的弧度表示,如果不是特殊角,则用反正弦表 示,为书写方便,一般地把x 作为自变量, y 是 x 的函数,记为yarcsinx. 例如:如果sinx 1 2,x 2 , 2 ,则 xarcsin 1 2 6 ; 如果 sinx 3 2 ,x 2 , 2 ,则 xarcsin( 3 2 ) 3 ; 如果 sinx 0,x 2 , 2 ,则 xarcsin0 0; 如果 sinx 0.345 8 ,x 2 , 2 ,在不要求求出具体的x 值时,其中的x 可记作 arcsin0.345 8,即 xarcsin0.345 8. 变式训练 函数 ysinx ,x 2 ,3 2 的反函数为 (
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- 高中数学 第一章 1.3 已知 三角函数 值求角 示范 教案
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