高中数学第三章三角恒等变换第二节简单的三角恒等变换第二课时示范教案.pdf
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1、第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时 导入新课 思路1.( 问题导入 ) 三角化简、求值与证明中,往往会出现较多相异的角,我们可根据 角与角之间的和差、倍半、 互补、互余等关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中角的差异, 使问题获得解决, 如: ( ) , 2( ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) , 4 2 ( 4 ) 等,你能总结出三角变换的哪些策略?由此探讨展开 思路 2.( 复习导入 ) 前面已经学过如何把形如yasinxbcosx的函数转化为形如y Asin( x) 的函数,本节主要研究函数yasinxbcosx的周期、最值等性质三角函 数和代数、 几何知识联系密切,它是研究其他
2、各类知识的重要工具高考题中与三角函数有 关的问题,大都以恒等变形为研究手段三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺 少的解题技巧,要学会创设条件灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能 推进新课 新知探究 提出问题 三角函数ysinx,ycosx的周期,最大值和最小值是多少? 函数yasinxbcosx的变形与应用是怎样的? 三角变换在几何问题中有什么应用? 活动:教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾,我们知 道正弦函数,余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质而且正弦函数,余弦 函数的周期都是2k(kZ且k0), 最小正周期都是2 .三角函数的自变量
3、的系数变化时, 会对其周期性产生一定的影响,例如,函数ysinx的周期是 2k(kZ 且k0),且最小 正周期是2,函数ysin2x的周期是k(kZ 且k0),且最小正周期是. 正弦函数, 余弦函数的最大值是1,最小值是1,所以这两个函数的值域都是 1,1 函数yasinxbcosxa 2 b 2( a a 2 b 2sin x b a 2 b 2cosx) , ( a a 2 b 2) 2( b a 2 b 2) 2 1,从而可令 a a 2 b 2cos, b a 2 b 2sin , 则有asinxbcosxa 2 b 2(sin xcoscosxsin ) a 2 b 2sin( x)
4、 因此,我们有如下结论:asinxbcosxa 2 b 2sin( x) ,其中tan b a. 在以后 的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题 我们知道角的概念起源于几何图形,从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联 系几何中的角度、长度、面积等几何问题,常需借助三角函数的变换来解决,通过三角变 换来解决几何中的有关问题,是一种重要的数学方法 讨论结果: ysinx,ycosx的周期是2k(k Z且k0),最小正周期都是2;最大值都是 1,最小值都是1. ( 略 ) 见活动 应用示例 思路 1 例 1 如图 1,已知OPQ是半径为1,圆心角为 3 的扇形,C是扇形弧上的动点
5、,ABCD是 扇形的内接矩形记COP,求当角 取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个 最大面积 活动:要求当角 取何值时,矩形ABCD的面积S最大,先找出S与 之间的函数关 系,再求函数的最值 找S与 之间的函数关系可以让学生自己解决,得到: SABBC(cos 3 3 sin )sin sin cos 3 3 sin 2. 求这种yasin 2x bsinxcosxccos 2x 函数的最值,应先降幂,再利用公式化成 Asin( x) 型的三角函数求最值 教师引导学生思考:要求当角 取何值时,矩形ABCD的面积S最大,可分两步进行: (1) 找出S与 之间的函数关系; (2) 由得出的
6、函数关系,求S的最大值 解:在 RtOBC中,OBcos,BC sin , 图 1 在 RtOAD中, DA OA tan603, 所以OA 3 3 DA 3 3 BC 3 3 sin . 所以ABOBOAcos 3 3 sin . 设矩形ABCD的面积为S,则 SABBC(cos 3 3 sin )sin sin cos 3 3 sin 2 1 2sin2 3 6 cos2 3 6 1 3 ( 3 2 sin2 1 2cos2) 3 6 1 3 sin(2 6 ) 3 6 . 由于 00) (1) 求函数f(x) 的值域; (2) 若函数yf(x) 的图象与直线y 1 的两个相邻交点间的距离
7、为 2 ,求函数y f(x) 的单调增区间 解: (1)f(x) 3 2 sin x 1 2cos x 3 2 sin x 1 2cosx(cos x1) 2( 3 2 sin x1 2cos x) 1 2sin( x 6 )1. 由1sin(x 6 ) 1,得 32sin(x 6 ) 11, 可知函数f(x) 的值域为 3,1 (2) 由题设条件及三角函数图象和性质,可知yf(x) 的周期为,又由 0, 得2 ,即得 2. 于是有f(x) 2sin(2x 6 ) 1,再由2k 2 2x 6 2k 2 (kZ) , 解得k 6 xk 3 (kZ) 所以yf(x) 的单调增区间为k 6 ,k 3
8、 (kZ) 点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运 用三角函数有关知识的能力. 例 2 求函数y sin 4x2 3sinxcosxcos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在 0 , 上的单调递增区间 活动:教师引导学生利用公式解题,本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和 周期性等基础知识先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题 解:y sin 4x2 3sinxcosxcos 4x (sin 2xcos2x)(sin2x cos2x) 3sin2x 3sin2xcos2x 2sin(2x 6 ) 故该函数的最小正周期是 ;最小
9、值是 2;在0 , 上单调增区间是0 , 3 , 5 6 , 点评:本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识. 变式训练 已知函数f(x) cos 4x2sin xcosxsin 4x, (1) 求f(x) 的最小正周期; (2) 若x0 , 2 ,求f(x) 的最大、最小值 解:f(x) cos 4x2sin xcosx sin 4x (cos 2x sin2x)(cos2xsin2x) sin2 x cos2x sin2x2cos(2x 4 ) , 所以,f(x) 的最小正周期T 2 2 . (2) 因为x0 , 2 ,所以 2x 4 4 , 5 4 当 2x 4 4
10、时, cos(2x 4 ) 取得最大值 2 2 , 当 2x 4 时, cos(2x 4 ) 取得最小值 1. 所以,在 0 , 2 上的最大值为1,最小值为2. 思路 2 例 1 已知函数f(x) sin( x)( 0,0 ) 是 R 上的偶函数,其图象关于点 M( 3 4 ,0)对称,且在区间0 , 2 上是单调函数,求 和 的值 活动:学生在解此题时,对f(x) 是偶函数这一条件的运用不存在问题,而在对“f(x) 的图象关于M( 3 4 ,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题一般地,定义 在 R上的函数yf(x) 对定义域内任意x满足条件:f(xa) 2bf(ax) ,则y
11、f(x) 的 图象关于点 (a,b) 对称, 反之亦然 教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结,多 做些这种类型的变式训练 解:由f(x) 是偶函数,得f( x)f(x) , 即 sin( x) sin( x ) ,所以 cos sin xcossin x对任意x都成 立 又 0,所以,得cos0. 依题设 0 ,所以,解得 2 . 由f(x) 的图象关于点M对称,得f( 3 4 x) f( 3 4 x) 取x0,得f( 3 4 ) f( 3 4 ) ,所以f( 3 4 ) 0. f( 3 4 ) sin( 3 4 2 ) cos3 4 ,cos 3 4 0. 又 0,得 3 4 2 k
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