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1、数学选修 12(人教 A 版) 运用合情推理时,要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相 互联系的在解决问题时,可以先从观察入手,发现问题的特点,形 成解决问题的初步思路; 然后用归纳、 类比的方法进行探索, 提出猜 想;最后用演绎推理的方法进行验证 若 数 列 an是 等 比 数 列, 且an0, 则 有数 列bn n a1 a2 , an(nN*)也为等比数列, 类比上述性质, 相应地,数列cn 是等差数列,则有dn_也是等差数列 解析:类比猜想可得 dnc1c2, cn n 也成等差数列,若设等 合情推理与演绎推理 差数列 cn的公差为 x,则 dnc1c2, cn n nc1 n n1
2、 2 x n c1(n1) x 2. 可见dn是一个以 c1 为首项, x 2为公差的等差数列,故猜想是正 确的 答案: c1c2, cn n 右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图,公司在年初 分配给 A、B、C、D 四个维修点某种配件各50 件,在使用前发现需 将 A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61 件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么要完成上述调整, 最少 的调动件次 (n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 n)为() A15 B16 C17 D18 解析:由题意,欲使调动次数最少,我们从A 处入手分析, A 处原有 50 件,与 A
3、处调整为 40 件相比多出 10 件,这 10 件只能移 往 D 处,此时, D 处仍然少 1 件,1 件又来源于 C 处,这样 C 处比 既定要求就少了5 件,而它的 “邻居”B 处恰好多出 5 件,因此,最 少需要调动 16 件次 答案:B 点评: 本题主要考查合理利用合情推理去分析与判断实际生活中 的资源优化类型问题的求解策略,本题实质上属于策略型开放题,考 查了学生对合情推理基本思想方法的理解与应用能力 已知函数 f(x) xx 11 33 5 ,g(x) xx 11 33 5 . (1)证明 f(x)是奇函数,并求f(x)的单调区间; (2)分别计算 f(4)5f(2) g(2)和
4、f(9)5f(3) g(3)的值,由此概括出 涉及函数 f(x)和 g(x)的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式, 并加以证明 (1)证明:函数 f(x)的定义域 (,0)(0,)关于原点对称, 又 f(x) ()()xx xx 11 11 33 33 55 f(x),f(x)是奇函数 任取 x1,x2(0,),设 x10, f(x1)f(x2)0,b0,ab1,求证: 1 a 1 b 1 ab 8. 证明: 证法一 (综合法 ) a0,b0,ab1, 1ab2 ab,ab 1 2,ab 1 4, 1 ab 4. 直接证明 又 1 a 1 b(ab) 1 a 1 b 2 b a a b4
5、, 1 a 1 b 1 ab 8. 证法二 (分析法 ) a0,b0,ab1, 要证 1 a 1 b 1 ab 8, 只需证 1 a 1 b ab ab 8, 即证 1 a 1 b 1 b 1 a 8, 即证 1 a 1 b4, 即证 ab a ab b 4, 即证 b a a b2. 由基本不等式可知,当a0,b0 时, b a a b2 成立,原不等 式成立 在等差数列 an中, 首项 a11, 数列bn满足 bn n a 1 2 , 且 b1 b2 b3 1 64. (1)求数列 an的通项公式; (2)求证: a1b1a2b2, anbnx0或 f(x0)x01, 由于 f(x)在1,
6、)上为增函数, 则 f(f(x0)f(x0) 又 f(f(x0)x0, x0f(x0),与假设矛盾 若 x0f(x0)1, 则 f(x0)f(f(x0) 又 f(f(x0)x0, f(x0)x0,也与假设矛盾 综上所述,当 x01,f(x0)1 且 f(f(x0)x0时有 f(x0)x0. 点评: (1)对于 f(f(x0)的性质知之甚少,直接证明有困难,而用 反证法,增加了反设这一条件, 为我们利用函数的单调性创造了可能 (2)反设中有两种情况,必须逐一否定 已知函数 f(x)a 2xb的图象过点 A 1,3 2 ,B 2, 5 2 . (1)求函数 yf(x)的反函数 yf 1(x)的解析
7、式 (2)记 an n f 1 2 (nN *),是 否 存在正 数 k,使 得 1 1 a1 2 1 1 a , n 1 1 a k2n1对 nN*均成立?若存在, 求出 k 的最 大值;若不存在,请说明理由 解析: (1)由题知 2ab 3 2 , 4ab 5 2 ? a 1 2, b 1 2, f(x) 1 2(2 x1) f 1(x)log 2(2x1)(x 1 2). (2)an 2 log 2 (2n1) 2n 1 , nN*. 假 设 存 在k , 使 1 1 1 a 2 1 1 a , 1 1 an k2n1对 nN*成立,则k 1 2n1 1 1 1 a 2 1 1 a , 1 1 an . 记 F(n) 1 2n1 1 1 1 a 2 1 1 a , 1 1 an , 则 F n1 F n 2n2 2n1 2n3 2 n1 4 n1 21 2 n1 2 n1 1. F(n1)F(n) F(n)随 n 的增大而增大 F(n)的最小值为 F(1)2 3 3 . k2 3 3 ,即 k 的最大值为 2 3 3 . 点评:本题融函数、 数列于一体, 用函数的单调性研究数列的单 调性,构思新颖,设计巧妙,不失为一道优秀试题
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