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1、智慧在这里绽放,状元从这里起航 东门校区:二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区:蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区:科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 1 - O A B C 4cm10cm E O A B C D 状元廊数学思维方法讲义之十一年级:九年级 第 11讲圆的有关概念 “圆”是现实世界中常见的图形,是初中几何的最后一章,从整个初中几何的学习来看, 它属于 “ 提高阶段 ” 。在知识方面,不仅需要学好本章的知识,而且还需要能综合运用前面学过的 知识,在数学能力方面,不仅要掌握好以前学习过的折叠、平移、旋转、推理证明等方法
2、,还要 具备运用这些知识和方法来继续研究圆的有关性质,并解决一些实际问题。另外,圆的许多性 质,在理论上和实践中都有广泛的应用,所以,“ 圆” 这章在初中几何中占有非常重要的地位。 【知识引导】 圆的有关概念 1圆:平面上到 _ 的距离等于 _ 的所有点组成的图形叫做圆,其中,_ 为圆 心, _ 为半径 _确定圆的位置,_确定圆的大小。 2弧:圆上任意两点间的部分叫做_ ,简称弧,大于_ 的弧称为优弧,小于半圆 的弧称为劣弧 3弦:连接圆上任意两点的线段叫做_ ,经过圆心的弦叫做_ 。 4能够重合的两个圆叫做_ ,同圆或等圆的_ ,在同圆或等圆中,能够互相重 合的两条弧叫做_ 。 5点与圆的位
3、置关系:设圆的半径为r,点到圆心的距离为d, ( 1)点在圆外,即d_r ;(2) 点在圆上,即d_r;(3) 点在圆内,即d_r. 圆的有关性质: 1圆是轴对称图形;其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称 图形,对称中心为圆心 2垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 垂径定理和推论可以结合起来表述为:对于一个圆和一条直线说,如果具备下列五个条件中的 任何两个,那么也具备其他三个:过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的劣弧;平 分弦所对的优弧 【精彩知识】 考点 1: 圆的有关概念 【例 1】1. 有下列四个命
4、题: 直径是弦; 过圆心的线段是直径;等弧一定是同圆中的弧; 半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有() A 4 个B3 个C 2 个D 1 个 2.若圆的半径是5cm,圆心的坐标是(0,0) ,点 P 的坐标是( 4,2) ,则点 P 与 O 的位置关 系是() A.点 P在 O 外B.点 P 在 O 内C.点 P 在 O 上D.点 P 在 O 外或 O 上 3.O 的半径为 5cm,一点 P 到圆的最小距离与最大距离之比为2:3,则 OP 长为。 变式训练 : 1有 4 个命题 : 直径相等的两个圆是等圆长度相等的两条弧是等弧圆中最大的弦是通 过圆心的弦一条弦把圆分为两条弧,这两条弧不可能是
5、等弧,其中真命题是。 2矩形 ABCD 中, AB8,3 5BC,点 P 在边 AB 上,且 BP3AP,如果圆P 是以点 P 为圆心, PD 为半径的圆,那么下列判断正确的是() (A) 点 B、C 均在圆 P 外;(B) 点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内; (C) 点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外;(D) 点 B、C 均在圆 P 内 考点 2 垂径定理的理解 【例 2】下列命题正确的有。 (1)过弦的中点的直径平分弦所对弧; (2)过弦所对的两条弧的中点的直线必过圆心; (3)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧; (4)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条
6、弦所对的另一条弧; (5)经过弦的中点的直径一定垂直于弦; (6)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。 考点 3 垂径定理的基本运用(基本计算题型) 【例 3】如图, 已知在 O 中,AB、CD 两弦互相垂直于E,AB 被分成 4cm 和 10cm 两段, 求: (1)求圆心O 到 CD 的距离;(2)若 O 的半径为8cm,求 CD 的长。 【例 4】如图,等腰ABC 内接于半径为5cm 的 O,ABAC ,tanB 3 1 。求: (1) BC 的长; (2) AB 边上高的长。 智慧在这里绽放,状元从这里起航 东门校区:二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区:
7、蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区:科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 2 - 【例 5】如图, O 的直径 AB 和弦 CD 相交于 E,若 AE2cm, BE6cm, CEA300, 求: (1)CD 的长; (2)C 点到 AB 的距离与D 点到 AB 的距离之比。 变式训练 : 1、如图, O 的两条弦AB、CD 互相垂直, 垂足为 E,且 AB=CD,已知 CE=1,ED=3,则 O 的半径是 2 、 如 图 , O的 直 径AB 与 弦CD相 交 于 点E , 若AE=5,BE=1,42CD,则 AED=. 第 1 题图第 2 题图第 3 题图
8、3、如图, RtABC 中,90C, AC=2,BC=1,若以 C 为圆心, CB 为半径的圆交AB 于 P,则 AP= 。 4、如图,弦 CD 垂直于 O 的直径 AB,垂足为 H,且 CD2 2,BD3,求 O 的直径。 考点 4 垂径定理的运用(综合推理与计算题型) 【例 5】如图,点 C、D 分别在扇形AOB 的半径 OA、OB 的延长线上,CD 平行于 AB,并与 弧 AB 相交于点 M、 N (1)求证: CM=DN; (2)若 OA3,AC2, 1 tan 2 C,求弦 MN 的长 【例 6】如图 , O 的直径为MN=20cm, 弦 AB=16cm, MCAB 于 C, NDA
9、B 于 D. (1) 求证: AC=BD;(2) 求 NDCM 的值。 变式训练 : 已知如图, AB 为 O 的直径,CD 是弦,BECD 于 E, AFCD 于 F 交 O 于点 N, 且 BE=FN , 连结 OE, OF. 求证: OEOF; CEDF 。 智慧在这里绽放,状元从这里起航 东门校区:二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区:蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区:科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 3 - O2 O1 B A MN E F P O BA M N 【思维拓展】 【例 7】如图, AB 是 O 的直径,
10、 P 为 AB 上的一点,弦MN 过点 P, NPB=45 , ( 1)若 AP=2,BP=6,求 MN 的长; ( 2)当 P 在 AB 上运动时,保持NPB 的度数不变,试问: 2 22 AB PNPM 的值是否改变?若不 变,请求其值;若改变,请求出其值的取值范围。 变式训练 : 如图, O1与 O2相交于 A、B 两点,过A 任作一直线与O1交于 M,与 O2交于 N. (1) 问什么时候MN 最长?为什么? (2) 再过 A 作直线 EF 与 O1交于 E,与 O2交于 F, O1的半径为 5,O2的半径为2 5, AE=6,AF=8,求 MN 的长。 【例 8】如图,已知:直线yx
11、3交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,抛物线y=ax 2+bx+c 经过 A、B、C(1,0)三点 . (1)求抛物线的解析式; (2)若点 D 的坐标为( 1,0) ,在直线yx3上有一点P,使 ABO与 ADP相似,求 出点 P 的坐标; (3)在( 2)的条件下,在x 轴下方的抛物线上,是否存在点E,使 ADE的面积等于四边形 APCE 的面积?如果存在,请求出点E 的坐标;如果不存在,请说明理由 、 智慧在这里绽放,状元从这里起航 东门校区:二环路建设路口东城国际A 区 901 84327877 西门校区:蜀汉路3号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区:科华中路76号新南
12、大楼7 楼85429288 - 4 - K L B C O A D JM P O B A 【课后测试】 1、把一小球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=16 厘米, 则球的半径为厘米 2、如图所示,若 O 的半径为 13cm,点 P 是弦AB 上一动点,且到圆心的最短距离为5 cm,则 弦AB的长为 _cm 3、如图,在半径为5 的圆 O 中, AB,CD 是互相垂直的两条弦,垂足为P,且 AB=CD=8,则 OP 的长为 1 题图2 题图3 题图 4、如图, O 的半径为2,弦 AB= 2 3 ,点 C 在弦 AB 上, ACB 1 4 A,则 OC 的长为
13、 5、如图, AB 是半圆 O 的直径, E 是弧 BC 的中点, OE 交弦 BC 于点 D,已知 BC=8cm,DE=2cm, 则 AD 的长为。 4 题图5 题图6 题图 5、半径为4 的 O 中有弦AB,如右图,以AB 为折痕劣弧恰好经过圆心O,则弦AB 的长 为。 6、已知 O 的直径 CD=10cm,AB 是 O 的弦, ABCD 于 M,且 AB=8cm,则 AC 的长 为 7、P 是 O 内的一点, O 的半径为15,P 点到圆心的距离为9,通过 P 点、长度是整数的弦的 条数共有 . 8、一座桥的桥拱是圆弧形(水面以上部分),测量时只测到桥下水面宽AB 为 16m,桥拱最高处离 水面 4m (1)求桥拱半径;(2)若大雨过后,桥下面河面宽度为12m,问水面涨高了多少 9、如图, O 直径为 25,点 P 为弦 AB 的中点,弦CD 过点 P,且 AB=20,CD=24,求 cosAPC 的值。 10、如图, O 中 EF 过圆心 O,且垂直于弦AD,B、C 两点在直线DE 上,且 AD 平分 BAC 求证:CEBEDE 2 11、如图,正方形ABCD 的顶点 A、 D 和正方形JKLM 的顶点 K、L 在一个半径为5的 O 上,点 J、M 在线段 BC 上,若正方形ABCD 的边长为 6,求正方形JKLM 的边长。
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