四川省成都市状元廊学校2015届中考数学思维方法讲义:第1讲证明--三角形专题(含答案).pdf
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1、智慧在这里绽放,状元从这里起航 东门校区:一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区:蜀汉路3 号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区:科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 1 - 状元廊学校秋季班数学思维方法讲义之一年级:九年级 第 1 讲证明(三角形专题) 【学习目标】 1、牢记三角形的有关性质及其判定; 2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。 【考点透视】 1、全等三角形的性质与判定; 2、等腰(等边)三角形的性质与判定; 3、直角三角形的有关性质,勾股定理及其逆定理; 4、相似三角形的性质与判定。 【精彩知识】 专题一三角形问题中的结
2、论探索 【例 1】如图所示,两块完全相同的含30 角的直角三角形叠放在一 起,且 DAB=30 。有以下四个结论:AFBC ; ADG ACF; O 为 BC的中点;AG: DE=3: 4,其中正确结论的序号 是. 变式练习 1如图, ABD 与 AEC 都是等边三角形,AB AC,下列结 论中: BE=DC ; BOD=60 ; BOD COE正确的序号 是 考点感悟: 专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索 【例 2】如图 (1),Rt ABC 中, ACB=-90 ,CD AB,垂足 为 DAF 平分 CAB ,交 CD 于点 E,交 CB 于点 F (1)求证: CE=CF (2
3、)将图( 1)中的 ADE 沿 AB 向右平移到 ADE的位置,使点E 落在 BC 边上,其它 条件不变,如图(2)所示试猜想:BE与 CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论 图( 1)图( 2) 【例 3】 ABC 中, AB=AC ,D 为 BC 的中点,以D 为顶点作 MDN= B (1)如图( 1)当射线 DN 经过点 A 时, DM 交 AC 边于点 E,不添加辅助线,写出图中所有 与 ADE 相似的三角形 (2)如图( 2) ,将 MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转,DM ,DN 分别交线段AC ,AB 于 E, F 点(点 E 与点 A 不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似
4、三角形,并证明你的结论 (3)在图( 2)中,若 AB=AC=10 ,BC=12,当 DEF 的面积等于ABC 的面积的 1 4 时,求 线段 EF 的长 考点感悟: A D B C E O 智慧在这里绽放,状元从这里起航 东门校区:一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区:蜀汉路3 号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区:科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 2 - 变式练习: 如图, O 是正 ABC 内一点, OA=3 ,OB=4 ,OC=5,将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针 旋转 60 得到线段BO ,下列结论:BO A 可以由 B
5、OC 绕点 B 逆时针旋转60 得到;点O 与 O 的距离为4; AOB=150 ; AOBO S=6+3 3四形边 ; AOCAOB 9 3 SS6+ 4 其中正确的结 论是【】 ABCD 【例 4】如图 1,ABC 是等腰直角三角形,四边形ADEF 是正方形, D、F 分别在 AB、AC 边上,此时BD=CF ,BDCF 成立 (1)当正方形ADEF 绕点 A 逆时针旋转 ( 0 90 )时,如图2,BD=CF 成立吗?若 成立,请证明;若不成立,请说明理由 (2)当正方形ADEF 绕点 A 逆时针旋转45 时,如图 3,延长 BD 交 CF 于点 G 求证: BD CF;当 AB=4 ,
6、AD=2时,求线段BG 的长 考点感悟: 专题三几何动态问题 【例 5】如图,在 ABC 中, ABAC 10 cm,BC12 cm,点 D 是 BC 边的中点点P 从点 B 出发, 以 a cm/s(a0)的速度沿BA 匀速向点A 运动; 点 Q 同时以 1 cm/s 的速度从点D 出 发,沿 DB 匀速向点B 运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运 动的时间为t s (1)若 a 2, BPQ BDA ,求 t 的值; (2)设点 M 在 AC 上,四边形PQCM 为平行四边形 若 a 5 2 ,求 PQ 的长; 是否存在实数a, 使得点 P在 ACB 的平分线上
7、? 若存在,请求出a 的值;若不存在,请说明理由 考点感悟: 变式练习: 已知线段AB=6 ,CD 是 AB 上两点,且AC=DB=1 ,P 是 线段 CD 上一动点,在AB 同侧分别作等边三角形APE 和等边 三角形 PBF,G 为线段 EF 的中点, 点 P由点 C 移动到点 D 时, G 点移动的路径长度为 P A D CB Q G E F DC AB P 智慧在这里绽放,状元从这里起航 东门校区:一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区:蜀汉路3 号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区:科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 3 - D F
8、A BC E P Q 专题四几何与函数结合问题 【例 6】如图所示,在形状和大小不确定的ABC 中, BC=6,E、F 分别是 AB、AC 的中点, P 在 EF 或 EF 的延长线上,BP 交 CE 于 D,Q 在 CE 上且 BQ 平分 CBP,设 BP=y, PE=x. (1)当EFx 3 1 时,求 DBCDPE SS:的值; (2)当 CQ= 2 1 CE 时,求y与x之间的函数关系式; (3)当 CQ= 3 1 CE 时,求y与x之间的函数关系式; 当 CQ= n 1 CE(n为不小于2 的常数)时,求直接y与x之间的函数关系式。 考点感悟: 【例 7】如图,在平面直角坐标系中,已
9、知矩形ABCD 的三个顶点B(1, 0) ,C(3,0) ,D (3, 4) 以 A 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 过点 C 动点 P 从点 A 出发,沿线段 AB 向点 B 运动同 时动点 Q 从点 C 出发,沿线段CD 向点 D 运动点 P,Q 的运动速度均为每秒1 个单位运动时 间为 t 秒过点P 作 PEAB 交 AC 于点 E (1)直接写出点A 的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)过点 E 作 EFAD 于 F,交抛物线于点G,当 t 为何值时, ACG 的面积最大?最大值 为多少? (3)在动点P,Q 运动的过程中,当t 为何值时,在矩形ABCD 内(包括边界)存在点H,
10、 使以 C,Q,E,H 为顶点的四边形为菱形?请直接写出t 的值 考点感悟: 智慧在这里绽放,状元从这里起航 东门校区:一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区:蜀汉路3 号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区:科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 4 - 【课后测试】 一、选择题: 1、下列判断正确的是() A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B.有两边对应相等,且有一角为30 的两个等腰三角形全等 C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等 2、在平面直角坐标系xoy 中,已知 A(2
11、, 2) ,在 y 轴上确定点P,使 AOP 为等到腰三角形, 则符合条件的点P 共有() A.2 个B.3 个C. 4 个D.5 个 二、填空题: 3、在锐角三角形ABC 中,BC=24,ABC=45,BD 平分 ABC , M、 N 分别是 BD 、 BC 上的动点,则 CM+MN的最小值是。 4、如图, RtABC 的边 BC 位于直线l 上, AC=3, ACB=90, A=30 若 RtABC 由现 在的位置向右滑动地旋转,当点A 第 3 次落在直线l 上时,点A 所经过的路线的长为 (结果用含有的式子表示) 三、解答题: 5、在矩形 ABCD 中,点 P 在 AD 上, AB2,A
12、P1将直角尺的顶点放在P 处,直角尺的两边 分别交 AB,BC 于点 E,F,连接 EF(如图)。 (1)当点 E 与点 B 重合时,点F 恰好与点 C 重合(如图) ,求 PC 的长; (2)探究:将直尺从图中的位置开始,绕点P 顺时针旋转,当点E和点 A 重合时停止在 这个过程中,请你观察、猜想,并解答: PF PE的值是否发生变化?请说明理由; 直接写出从开始到停止,线段EF 的中点经过的路线长。 图图 6、如图( 1) ,将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开得到 ABD 和 ECF,固 定 ABD,并把 ABD 与 ECF 叠放在一起。 (1)操作:如图( 2) ,将
13、 ECF 的顶点 F 固定在 ABD 的 BD 边上的中点处,ECF 绕点 F 在 BD 边上方左右旋转,设旋转时FC 交 BA 于点 H(H 点不与 B 点重合)。FE 交 DA 于点 G (G 点不与 D 点重合)。求证: BH GD=BF 2 (2)操作:如图(3) , ECF 的顶点 F 在 ABD 的 BD 边上滑动( F 点不与 B、D 点重合), 且 CF 始终经过A,过点 A 作 AGCE,交 FE 于点 G,连接 DG。探究:FD +DG=_。 请予证 明。 (1)(2) (3) 学生对本次课的评价: 特别满意满意一般不怎么样 家长意见或建议: 家长签字: 智慧在这里绽放,状
14、元从这里起航 东门校区:一环路新鸿路191 号国防招待所3 楼84327877 西门校区:蜀汉路3 号鸿森商务楼309# 87575022 南门校区:科华中路76号新南大楼7 楼85429288 - 5 - 部分答案: 【例 3】解: (1)图( 1)中与 ADE 相似的有 ABD , ACD , DCE。 (2) BDF CED DEF,证明如下: B+ BDF+ BFD=180 , EDF+BDF+ CDE=180 , 又 EDF= B, BFD= CDE 。 AB=AC , B= C。 BDF CED。 BDDF = CEED 。 BD=CD , CDDF = CEED ,即 CDCE
15、= DFED 。 又 C=EDF, CED DEF。 BDF CED DEF。 (3)连接 AD ,过 D 点作 DGEF, DHBF,垂足分别为G,H AB=AC , D 是 BC 的中点,AD BC, BD= 1 2 BC=6 。 在 Rt ABD 中, AD 2=AB2BD2,即 AD2=10262, AD=8 。 SABC= 1 2 ?BC?AD= 1 2 12 8=48, SDEF= 1 4 SABC= 1 4 48=12。 又 1 2 ?AD?BD= 1 2 ?AB?DH, AD BD8624 DH AB105 。 BDF DEF, DFB= EFD。 DHBF,DGEF, DHF
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