复变函数测试题及答案..pdf
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1、复变函数测验题 1 第一章复数与复变函数 一、选择题 1当 i i z 1 1 时, 5075100 zzz的值等于() (A)i(B)i(C)1( D)1 2设复数z满足 3 )2(zarc, 6 5 )2(zarc,那么z() (A) i31 (B) i3 (C)i 2 3 2 1 (D)i 2 1 2 3 3复数) 2 (taniz的三角表示式是() ( A)) 2 sin() 2 cos(seci(B)) 2 3 sin() 2 3 cos(seci ( C)) 2 3 sin() 2 3 cos(seci(D )) 2 sin() 2 cos(seci 4若z为非零复数,则 22 z
2、z与zz2的关系是() (A)zzzz2 22 (B) zzzz2 22 (C)zzzz2 22 (D)不能比较大小 设yx,为实数,yixzyixz11,11 21 且有12 21 zz, 则动点),(yx 的轨迹是() (A)圆(B)椭圆(C)双曲线( D)抛物线 一个向量顺时针旋转 3 ,向右平移个单位,再向下平移个单位后对应的复数为 i31,则原向量对应的复数是() (A)2(B)i 31(C)i3(D)i3 复变函数测验题 2 使得 2 2 zz成立的复数z是() (A)不存在的(B)唯一的(C)纯虚数( D)实数 设z为复数,则方程izz2的解是() (A)i 4 3 (B)i 4
3、 3 (C)i 4 3 (D)i 4 3 满足不等式 2 iz iz 的所有点 z构成的集合是( ) (A)有界区域( B)无界区域(C)有界闭区域(D)无界闭区域 10方程232iz所代表的曲线是() ( A)中心为i32,半径为2的圆周(B)中心为i32,半径为的圆周 ( C)中心为i32,半径为2的圆周(D )中心为i32,半径为的圆周 11下列方程所表示的曲线中,不是圆周的为() ( A)2 2 1 z z (B)433zz ( C))1(1 1 a az az (D))0(0 ccaazazazz 12设,5,32,1)( 21 izizzzf,则)( 21 zzf() ( A)i4
4、4(B)i44(C)i44(D)i44 13 0 0) Im()Im( lim 0 zz zz xx () ( A)等于i(B)等于i(C)等于0(D)不存在 14函数),(),()(yxivyxuzf在点 000 iyxz处连续的充要条件是() ( A)),(yxu在),( 00 yx处连续(B)),(yxv在),( 00 yx处连续 ( C)),(yxu和),(yxv在),( 00 yx处连续( D)),(),(yxvyxu在),( 00 yx处连续 复变函数测验题 3 15设Cz且1z,则函数 z zz zf 1 )( 2 的最小值为() (A)3(B)2(C)1(D)1 二、填空题 1
5、设 )2)(3( )3)(2)(1( ii iii z,则z 2设)2)(32(iiz,则zarg 3设 4 3 )arg(,5izz,则z 4复数 2 2 )3sin3(cos )5sin5(cos i i 的指数表示式为 5以方程iz157 6 的根的对应点为顶点的多边形的面积为 不等式522zz所表示的区域是曲线的内部 方程1 )1(2 12 zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为 方程iziz221所表示的曲线是连续点和的线段 的垂直平分线 对于映射 z i ,圆周1)1( 22 yx的像曲线为 10)21(lim 42 1 zz iz 三、 若复数z满足03)21()21(ziziz
6、z,试求2z的取值范围 复变函数测验题 4 四、 设0a,在复数集C中解方程azz2 2 . 五、 设复数iz,试证 2 1z z 是实数的充要条件为 1z 或0)(zIM. 六、对于映射) 1 ( 2 1 z z,求出圆周4z的像 . 七、试证 .)0(0 2 2 1 z z z 的充要条件为 2121 zzzz; . ), 2, 1, 0(0 2 1 njkjkz z z j 的充要条件为 nn zzzzzz 2121 . 八、 若0)(lim 0 Azf xx ,则存在0,使得当 0 0zz时有Azf 2 1 )(. 九、设iyxz,试证yxz yx 2 . 十、设iyxz,试讨论下列函
7、数的连续性: 1. 0,0 0, 2 )( 22 z z yx xy zf 2. 0,0 0, )( 22 3 z z yx yx zf 复变函数测验题 5 第二章解析函数 一、选择题: 1函数 2 3)(zzf在点 0z 处是 ( ) (A)解析的(B)可导的 (C)不可导的(D)既不解析也不可导 2函数)(zf在点z可导是)(zf在点z解析的 ( ) (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既非充分条件也非必要条件 3下列命题中,正确的是( ) (A)设yx,为实数,则 1)cos(iyx (B)若 0 z是函数)(zf的奇点,则)(zf在点 0 z不可导 (C)
8、若vu,在区域D内满足柯西 - 黎曼方程,则ivuzf)(在D内解析 (D)若)(zf在区域D内解析,则)(zif在D内也解析 4下列函数中,为解析函数的是( ) (A)xyiyx2 22 (B)xyix 2 (C))2()1(2 22 xxyiyx(D) 33 iyx 5函数)Im()( 2 zzzf在 0z 处的导数 ( ) (A)等于 0 (B)等于 1 (C)等于1( D)不存在 6若函数)(2)( 2222 xaxyyiyxyxzf在复平面内处处解析,那么实常 数a( ) (A)0(B)1(C)2(D)2 7如果)(zf在单位圆 1z 内处处为零,且1)0(f,那么在 1z 内)(z
9、f( ) (A)0(B)1(C)1( D)任意常数 8设函数)(zf在区域D内有定义,则下列命题中,正确的是 复变函数测验题 6 (A)若)(zf在D内是一常数,则)(zf在D内是一常数 (B)若)(Re(zf在D内是一常数,则)(zf在D内是一常数 (C)若)(zf与)(zf在D内解析,则)(zf在D内是一常数 (D)若)(argzf在D内是一常数,则)(zf在D内是一常数 9设 22 )(iyxzf,则)1(if( ) ( A)2(B)i2(C)i1(D)i22 10 i i的主值为 ( ) ( A)0(B)1( C) 2 e(D) 2 e 11 z e在复平面上 ( ) ( A)无可导点
10、(B)有可导点,但不解析 ( C)有可导点,且在可导点集上解析(D)处处解析 12设zzfsin)(,则下列命题中,不正确的是( ) ( A))(zf在复平面上处处解析(B))(zf以2为周期 ( C) 2 )( iziz ee zf(D))(zf是无界的 13设为任意实数,则 1( ) ( A)无定义(B)等于 1 ( C)是复数,其实部等于1 (D)是复数,其模等于1 14下列数中,为实数的是( ) ( A) 3 )1(i(B)icos(C)iln(D) i e 2 3 15设是复数,则 ( ) ( A) z在复平面上处处解析(B)z的模为 z ( C)z 一般是多值函数(D)z的辐角为z
11、的辐角的倍 复变函数测验题 7 二、填空题 1设iff1)0(,1)0(,则 z zf z 1)( lim 0 2设ivuzf)(在区域D内是解析的,如果vu是实常数,那么)(zf在D内是 3导函数 x v i x u zf)(在区域D内解析的充要条件为 4设 2233 )(yixyxzf,则) 2 3 2 3 (if 5若解析函数ivuzf)(的实部 22 yxu,那么)(zf 6函数)Re()Im()(zzzzf仅在点z处可导 7设zizzf)1( 5 1 )( 5 ,则方程0)(zf的所有根为 8复数 i i的模为 9)43Imln(i 10方程01 z e的全部解为 三、设),(),(
12、)(yxivyxuzf为iyxz的解析函数,若记 ) 2 , 2 () 2 , 2 (),( i zzzz iv i zzzz uzzw,则0 z w 四、试证下列函数在z平面上解析,并分别求出其导数 1;sinhsincoshcos)(yxiyxzf 2);sincos()sincos()(yixyyieyyyxezf xx 复变函数测验题 8 五、设02 3z ezww,求 2 2 , dz wd dz dw . 六、设 0,0 0, )( )( 42 2 z z yx iyxxy zf试证)(zf在原点满足柯西-黎曼方程,但却不可导. 七、已知 22 yxvu,试确定解析函数ivuzf)
13、(. 八、设s和n为平面向量,将s按逆时针方向旋转 2 即得n.如果 ivuzf)(为解析函数, 则有 s v n u n v s u ,( s 与 n 分别表示沿s,n的方向导数). 九、若函数)(zf在上半平面内解析,试证函数)(zf在下半平面内解析. 十、解方程iziz4cossin. 复变函数测验题 9 第三章复变函数的积分 一、选择题: 1设c为从原点沿xy 2 至i1的弧段,则 c dziyx)( 2 ( ) (A)i 6 5 6 1 ( B)i 6 5 6 1 (C)i 6 5 6 1 (D)i 6 5 6 1 2设c为不经过点1与1的正向简单闭曲线,则dz zz z c 2 )
14、1)(1( 为 ( ) (A) 2 i (B) 2 i ( C)0(D)(A)(B)(C)都有可能 3设1: 1 zc为负向,3: 2 zc正向,则dz z z ccc 21 2 sin ( ) (A)i2(B)0(C)i2(D)i4 4设c为正向圆周2z,则 dz z z c 2 )1( cos ( ) (A)1sin(B)1sin(C)1sin2 i(D)1sin2 i 5设c为正向圆周 2 1 z,则dz z z z c 2 3 )1( 2 1 cos ( ) (A))1sin1cos3(2 i(B)0( C)1cos6 i(D)1sin2 i 6设 d z e zf 4 )(,其中4z
15、,则)if ( ) (A)i2(B)1( C)i2(D )1 7设)(zf在单连通域B内处处解析且不为零,c为B内任何一条简单闭曲线,则积分 dz zf zfzfzf c )( )()(2)( ( ) (A)于i2(B)等于i2(C)等于0(D)不能确定 复变函数测验题 10 8设c是从0到i 2 1的直线段,则积分 c z dzze() ( A) 2 1 e (B) 2 1 e (C)i e 2 1 (D) i e 2 1 9设c为正向圆周 02 22 xyx,则dz z z c 1 ) 4 sin( 2 ( ) ( A)i 2 2 (B) i2 (C)0(D)i 2 2 10设c为正向圆周
16、iaiz, 1,则 c dz ia zz 2 )( cos ( ) ( A)ie2(B) e i2 ( C)0(D)iicos 11设)(zf在区域D内解析,c为D内任一条正向简单闭曲线,它的内部全属于D如果 )(zf在c上的值为2,那么对c内任一点 0 z,)( 0 zf( ) ( A)等于 0 (B)等于 1 (C)等于 2 (D)不能确定 12下列命题中,不正确的是( ) ( A)积分 raz dz az 1 的值与半径)0(rr的大小无关 ( B)2)( 22 c dziyx, 其中c为连接i到i的线段 ( C)若在区域D内有)()(zgzf,则在D内)(zg存在且解析 ( D)若)(
17、zf在10z内解析,且沿任何圆周)10(:rrzc的积分等于零,则 )(zf在0z处解析 复变函数测验题 11 13 设c为任意实常数,那么由调和函数 22 yxu确定的解析函数ivuzf)(是 ( ) (A)ciz 2 (B)iciz 2 ( C)cz 2 (D)icz 2 14下列命题中,正确的是( ) ( A)设 21,v v在区域D内均为u的共轭调和函数,则必有 21 vv ( B)解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 ( C)若ivuzf)(在区域D内解析,则 x u 为D内的调和函数 ( D)以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数 15设),(yxv在区域D内为),(yxu的共轭调和
18、函数,则下列函数中为D内解析函数的是 ( ) ( A)),(),(yxiuyxv(B)),(),(yxiuyxv ( C)),(),(yxivyxu(D) x v i x u 二、填空题 1设c为沿原点 0z 到点 iz1 的直线段,则 c dzz2 2设c为正向圆周14z,则 c dz z zz 2 2 )4( 23 3设 2 ) 2 sin( )(d z zf, 其中2z,则)3(f 4设c为正向圆周3z,则 c dz z zz 5设c为负向圆周4z,则 c z dz iz e 5 )( 复变函数测验题 12 6解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 7设)(zf在单连通域B内连续,且对于B
19、内任何一条简单闭曲线c都有0)( c dzzf,那 么)(zf在B内 8调和函数xyyx),(的共轭调和函数为 9若函数 23 ),(axyxyxu为某一解析函数的虚部,则常数a 10设),(yxu的共轭调和函数为),(yxv,那么),(yxv的共轭调和函数为 三、计算积分 1. Rz dz zz z )2)(1( 6 2 ,其中1,0 RR且2R; 2. 2 24 22 z zz dz 四、设)(zf在单连通域B内解析,且满足)(1)(1Bxzf.试证 在B内处处有0)(zf; 对于B内任意一条闭曲线c,都有0 )( )( c dz zf zf 五、设)(zf在圆域Raz内解析,若)0()(
20、)(maxRrrMzf raz , 则),2,1( )(! )( )( n r rMn af n n . 复变函数测验题 13 六、求积分 1z z dz z e ,从而证明 0 cos )cos(sin de. 七 、 设)(zf在 复 平 面 上 处 处 解 析 且 有 界 , 对 于 任 意 给 定 的 两 个 复 数ba,, 试 求 极 限 Rz R dz bzaz zf )( )( lim并由此推证)()(bfaf(刘维尔Liouville 定理) . 八、设)(zf在)1(RRz内解析,且2)0(,1)0(ff, 试计算积分 1 2 2 )( ) 1( z dz z zf z 并由
21、此得出 2 0 2 )( 2 cosdef i 之值 . 九、设ivuzf)(是z的解析函数,证明 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )(1( )(4)(1ln()(1ln( zf zf y zf x zf . 十、若)( 22 yxuu,试求解析函数ivuzf)(. 复变函数测验题 14 第四章级数 一、选择题: 1设),2,1( 4 )1( n n ni a n n ,则 n n alim( ) (A)等于0(B)等于1(C)等于i(D)不存在 2下列级数中,条件收敛的级数为( ) (A) 1 ) 2 31 ( n n i (B) 1! )43( n n n i (C) 1n n n i
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