高考数学题型全归纳:由数列的递推公式求通项公式的常用方法(含答案).pdf
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1、由数列的递推公式求通项公式的常用方法 一准备知识 所谓数列,简单地说就是有规律的(有限或无限多个)数构成的一列数,常记作 n a, an的公式叫做数列的通项公式常用的数列有等差数列和等比数列 等差数列等比数列 定义 数列 n a的后一项与前一项的 差 1nn aa为常数 数列 n a的后一项与前一项的比 1n n a a 为常数 q(q0) 专有名词为公差q 为公比 通项公式 1 (1) n aand 1 1 n n aa q 前 n 项和 1 1 (1) 22 n n aan n nd Sna 1(1) 1 n n aq S q 数列的前n 项和 n S 与通项公式na 的关系是: 1( 2
2、) nnn aSSn 有些数列不是用通项公式给出,而是用 n a 与其前一项或前几项的关系来给出的,例如: 1 23 nn aa, 这样的公式称为数列的递推公式由数列的递推公式我们可以求出其通项公式 数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形,然后将它看成新数 列(通常是等差或等比数列)的通项公式或递推公式,最后用新数列的性质解决问题 二例题精讲 例 1 (裂项求和)求 222222 81828 1335(21)(21) n n S nn 解:因为 2222 811 (21)(21)(21)(21) n n a nnnn 所以 222222 111111 1335(21)(21
3、) n S nn 2 1 1 (21)n 例 2 (倒数法)已知数列 n a中, 1 3 5 a, 1 21 n n n a a a ,求 an 的通项公式 解:2 1121 1nn n n aa a a n a 1 是以 3 5 为首项,公差为2 的等差数列,即 1561 2(1) 33 n n n a , 3 61 n a n 练习 1已知数列 n a中, a1=1, 1 1 21 n n n S S S ,求 an 的通项公式 解:2 1121 11 1 nn n n SS S S , n S 1 是以 1 为首项,公差为2 的等差数列 n S 1 =1+2( n1)=2n1,即 1 2
4、1 n S n 1 11 2123 nnn aSS nn = )32)(12( 2 nn 1 11 2123 n a nn (1) (2) n n 例 3 (求和法,利用公式 1( 2) nnn aSSn) 已知正数数列 n a的前 n 项和 11 2 nn n Sa a ,求 n a的通项公式 解: 111 1 11 2 Saa a ,所以 1 1a 1nnn aSS, 1 1 1 2 nnn nn SSS SS 1 1 1 nn nn SS SS ,即 22 1 1 nn SS 2 n S是以 1 为首项,公差为1 的等差数列 2 n Sn,即 n S n 1 1 nnn aSSnn(n2
5、) 1 nann 例 4 (叠加法)已知数列 n a的前 n 项和 n S 满足 1 2 1 3 2 n nn SS(3n) ,且 12 3 1, 2 SS,求 n a的通项公式 解:先考虑偶数项有: S2nS2n2=3 12 2 1 n S2n2S2n4=3 32 2 1 n S4S2= 3 3 2 1 将以上各式叠加得S2nS2=3 4 1 1 4 1 1 2 1 13n , 所以 21 2 1 2(1) 2 n n S n 再考虑奇数项有: S2n1S2n1=3 n2 2 1 S2n1S2n3=3 22 2 1 n S3S1=3 2 2 1 将以上各式叠加得 2 21 1 2(1) 2
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