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1、 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学眼尘编辑 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 文科数学 眼尘编辑 一、选择题 : 本题共 12 小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1. () 已知集合 2 A x|x 2x 0 , B x|x 0 , 则 AA B BA B R CB A DA B 2. ()已知a 为实数, 若复数( a + i ) ( 1 - 2 i ) 为纯虚数, 则a = A -2 B 1 2 C 1 2 D 2 3. ()已知双曲线 2 y 2 C : x 1 的一条渐近线过点( b ,
2、4 ), 则C 的离心率为 2 b A 5 2 B 3 2 C5 D 3 4. ()a, b 为平面向量, 已知a = ( 2 , 4 ) a 2b ( 0 , 8 ), 则a , b 夹角的余弦值等于 A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 5. () 若sin sin 0 , 则下列不等式中一定成立的是 Asin 2 sin 2 Bsin 2 sin 2 Ccos2 cos2 Dcos2 cos2 6. () 刘微是我国魏晋时期的数学家, 在其撰写的九章算术注中首创“割圆 术”所谓 “割圆术 ” , 是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以 此求取圆周率的方法如图所示, 圆内接
3、正十二边形的中心为圆心O 圆O 的半径为2现随机向圆O 内投放a 粒豆子 , 其中有b 粒豆子 落在正十二边形内a,b N*, b a , 则圆周率的近似值为 A b a B a b C 3a b D 3b a 7. () 在正方体ABCD - A1B1C1D1 中 , 点E, F 分别是棱AB, BC 的中点, 则直线CE 与D1F 所 成角的大小为 ABCD 6 4 3 2 眼尘编辑 1 / 9 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学 眼尘编辑 8.()如图, 一高为 H 且装满水的鱼缸, 其底部装有一排水小孔, 当小孔打开时, 水从孔中匀速流 出, 水流完所用时间为T若鱼
4、缸水深为h 时, 水流出所用时间为t , 则函数h = f (t) 图象大 致是 9.()函数 5 f x sin x sin x 的最大值是 12 12 A2 B 3 2 C3 D2 3 10.() 一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图和俯视图中的四边形是 边长为2 的正方形, 则该几何体的表面积为 A 13 2 B 7 正视图侧视图 C 15 2 D 8 俯视图 11.()已知F 为抛物线 2 C : y 6x 的焦点, 过点F 的直线l 与 C 相交于A, B 两点, 且| AF | = 3 | BF | , 则| AB | = A6 B 8 C 10 D12 12.() 已知函数
5、|x| 2 f x e ax , 对任意x1 0, x2 0, 都有x2 x1 f x2 f x1 0 则实数 a 的取值范围是 A, e 2 B, e 2 C0, e 2 e D,0 2 二、填空题 : 本题共 4 小题 , 每小题 5 分 , 共 20 分 13.已知函数 3 f x x a log x , 若f 2 6 , 则 3 1 f _ 2 14.已知以点( 1, 2 ) 为圆心的圆C 与直线x + 2y = 0 相切, 则圆C 的方程为_ 2 xy 1 0 15.已知关于x, y 的不等式组 x m 0 y2 0 表示的平面区域内存在点P x0 ,y 0 , 满足x0 2y0 2
6、, 则 m 的取值范围是_ 16.ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知b=2, c=3, C=2B, 则ABC 的面积为_ 眼尘编辑 2 / 9 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学 眼尘编辑 三、解答题 :共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须 作答第22、 23 题为选考题, 考生根据要求作答 (一)必考题 : 共 60 分 17.(12 分 )已知an 是等差数列, 且lg a1 0, lg a4 1. (1)求数列an 的通项公式; (2)若a1,ak ,a6 是等比数列bn 的前
7、3 项 , 求k 的值及数列an bn 的前 n 项和 18.(12 分 )如图, 在三棱锥A-BCD 中, ABC 是等边三角形 BAD BCD = 90 , 点P 是AC 的中 点, 连接BP , DP (1)证明: 平面ACD 平面BDP ; (2)若BD 6 , cos 3 BPD , 求三棱锥A-BCD 的体积 3 A P B D C 3 / 9 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学 眼尘编辑 19.(12 分 )某网络平台从购买该平台某课程的客户中, 随机抽取了100 位客户的数据, 并将这 100 个数据按学 时数客户性别等进行统计, 整理得到下表 学时数5,
8、10) 10, 15) 15, 20) 20, 25) 25, 30) 30, 35) 35, 40) 男性18 12 9 9 6 4 2 女性2 4 8 2 7 13 4 (1)根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表, 结 果保留小数点后两位); (2)从这 100 位客户中, 对购买该课程学时数在20 以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7 人, 再 从这 7 人中随机抽取2 人 , 求这 2 人购买的学时数都不低于15 的概率; (3)将购买该课程达到25 学时及以上者视为“十分爱好该课程者” , 25 学时以下者视为“非十分爱好该课程
9、者”, 请根据已知条件完成以下2x2 列联表, 并判断是否有99.9% 的把握认为“十分爱好该课程者” 与 性别有关? 非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计 男性 女性 合计100 附 : 2 n ad bc 2 , K n a b c d a b c d a c b d 2 P K k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 0 4 / 9 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学 眼尘编辑 20.(12 分 )已知椭圆 2 2 x y C : 1 a b 0 2 2 a b 的一个焦点
10、为F (1, 0) , 点 2 2 6 P , 在C 上 3 3 (1)求椭圆C 的力程 ; (2)若直线l : y x m 与椭圆C 相交于A, B 两点 , 问y 轴上是否存在点M, 使得ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在, 求点M 的坐标;若不存在, 说明理由 21.(12 分 )已知函数 x 1 f x e a , g x ln x, 其中a 2 . (1)讨论函数y f x 与y g x 的图象的交点个数; (2)若函数y f x 与y g x 的图像无交点, 设直线y t 与函数y f x 和y g x 的图象分别交于点P, Q 证明 : PQ a 1 5 / 9
11、2019 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学 眼尘编辑 (二)选考题: 共 10 分请考生在第22、 23 题中任选一题作答如果多做, 则按所做的第一题计分 22.必修 4-4:坐标系与参数方程(10 分 ) x cost 在直角坐标系xOy 中, 曲线C1 的参数方程为2 y sin t ( t 为参数 )以坐标原点为极点, x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系, 直线C2 的极坐标方程为 1 sin a cos a R 2 (1)写出曲线C1 的普通方程和直线C2 的直角坐标方程; (2)若直线C2 与曲线C1 有两个不同交点, 求 a 的取值范围 23.选修 4-5:不等式选讲(
12、10 分 ) 已知函数f x x a 2x 1 (1)当 a = 1 时 , 求不等式f x 0 的解集: (2)若 a 0, 不等式f x 1 对x R 都成立 , 求a 的取值范围 6 / 9 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学 眼尘编辑 参考答案 一选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A C B D C D B C B B A 二填空题 24. 17 8 25. 2 2 x 1 y 2 5 15. , 4 3 16. 15 7 16 三解答题 (2) 17.解(1) 设b 公比为q 设 a n 公差为 1 d n b a 1,b a 3k
13、 2,b a lg a 0 1 1 1 2 k 3 6 2 a a a a 1 k 1 16 a k 4 又 lg a 1 4 3 k N* a a 3d 10 4 1 a 3k 2 k 4 4 解得 k 2 b 2 b 1 16 n 1 n 1 b b q 4 n 1 设 a b 前 n 项和为 S n n n S a b a b a b n 1 1 2 2 n n a a a b b b 1 2 n 1 2 n n 1 3n 2 n 1 4 2 1 4 n 3n 1 n 4 1 2 3 d q a a n 1 d 3n 2 n 1 解 :( 1) 在中, 为的中点 ABC BA BC, P
14、 AC BPAC 又 BAD BCD 90 2 2 2 2 AD BD AB ,CD BD BC AD CD BP PD BDP 、平面 又P 为 AC 的中点 PDAC BP AC, PDAC, BP PD P, AC平面 BDP 又AC 平ACD 面 平面平面 ACD BDP (2) 设 AB AC BC a 3 2 BP a,CD 6 a 2 5 2 2 2 PD CD PC 6 a 4 在BPD 中,由余弦定理, 得 cos BPD 3 5 2 2 a 6 a 4 4 3 5 2 a 6 2 4 解得 4 或 ( 舍 去 ) a 2 a 2 B P 3 , P D 1 2 s i n
15、= 1 - c o s = B P D B P D S BP V A BC 3 1 2 2 2 3 2 3 6 18.( 解: 1) 7.5 18 12.5 12 17.5 9 22.5 9 27.5 6 32.5 4 37.5 2 18 12 9 8 6 4 2 (3) 203 12 16.92 非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计 男性 48 12 60 (2) 学时数 20 以下的女性: 2 4 8=14 人16 24 40 女性 合计64 36 100 分层抽样7 人,则学时数在5,10 , 10,15 ,15, 20 分别为 1、 2、 4 人 7 6 抽取 2 人共有=21 种可
16、能 2 K 2 2 1 0 04 824 1 162 50 16.67 60 40 64 36 3 10.828 4 3 在中抽取人共有 15,20 2 =6 2 所以有 99.9%的把握认为 ?十分爱好该课程者”与性别有关 所以这人购买的学时数都不低于= 的概率 P 6 = 2 2 15 21 7 7 / 9 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学 眼尘编辑 26.(1) 解 由已知,得 2 2 2 a b c 将代入,得 1 2 2 2 2 3x 4 x 2mx m 12 3 4 m t m 7 7 1 t m 7 c 1 4 24 2 2 9a 9b 解得 1 2 2 7
17、x 8mx 4m -12 0 2 2 =64m 4 7 4m -12 2 48 7 m 0 1 1 x x y m y m 0 1 2 1 2 7 7 1 1 x x x m m y m m 1 2 1 2 7 7 0 2 a 4 2 b 3 1 2 c 椭圆 C 的方程: 2 2 x y 1 4 3 (2) 联立方程组 y x m 1 2 2 x y 1 2 4 3 设 A x , y , B x , y , G x , y 中点 1 1 2 2 0 0 2 8m 4m 12 x x = , x x 1 2 1 2 7 7 8m 4m 3m x 2 , y 0 0 7 7 7 设存在 M 0
18、,t 满足题意 即 AM BM 0 x x y t y t 1 2 1 2 0 由 MG AB 得 , 整理,得 8 64 2 2x x m x x m =0 1 2 1 2 7 49 2 4m 12 8 8m 64 2 2 m m =0 7 7 7 49 解得 m 3 t 1 3 3 7 7 当 m 3 时, 3 3 存在点 M 0, 或 M 0, 满足题 意 7 7 解: (1) 27. x 由 f x g x ,得 a ln x e 设 x 1 h x ln x e x 0 1 x 1 h x e x 1 x 1 h“ x e 0 2 x h x 单调减,又h 1 0 1 x 1 设 P
19、 x ,e a ,Q x ,ln x 1 1 2 2 x 1 1 e a t ln x t 2 整理,得 x ln t a 1 1 t x e 2 t PQ x x e ln t a 1, t 2 1 1 a 0时, F t 0, F t 递增 2 1 0 0 a 时,设 F t 0 t e 0 1 t a 0 tln t a 0 0 t PQ F t e ln 0 0 1 t a 0 t 0 1 x 0,1 1 1, h x 0 设 t F t e ln t a 1, t a 1 t a 0 t a a 0 1 h x 1 当时,有 2 个交点 2 a 1 当时,有 1 个交点 a=1 当
20、a 1 时,没有交点 (2) 由(1)知 a 1, t 0, t a t 1 t a F t e 1 t F “ t e 0 2 t a 单调增 F t 又 F 1 a 1 0 =1 = a a a 1 1 当且仅当, = t a 0 t a 0 即 t =a 1时,等号成立 0 1 t 代入,得1,与的取值矛盾 e0 a a t a 0 PQ a 1 8 / 9 2019 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)文科数学 眼尘编辑 28.(1) 解: 2 2 cos t sin t 1 由已知代入,得 2 x y 1 2 y x 1 cost 1,1 2 曲线 C : y x 1 x 1,1 1
21、 1 sin a cos 2 1 sin a cos 2 1 y ax 2 1 y ax 2 直线 C : y ax 2 (2) 1 1 2 0 联立方程组: y, 消得 1 2 2 x ax 由已知可得 1 2 2 设 =a2 0 2 f x x ax 有 f 1 0 1 1 a 2 2 1 f 1 0 既 有a 0 2 a a 2 2 1 1 2 1 1 的取值范围为 a , 2 2 x 2 在 上有两不 同的根 x 1,1 1 2 2x x 1 2 解:23. (1) 将 a 1代入 f x ,得 f x x 1 2x 1 0 x 1 2x 1 令 g x 2x 1 1 1 2 2x x 2 1 易求最小值为=1 g x g x g m i n 2 2 2 x 1 2x 1 xa g x m i n 1 3x x 2 0 0 x 2 1 1 即只需当x 时,x a a 2 2 1 解得 x 0,2 3 1 (2) a 2 2 由已知得 又 a 0 x a 2x 1 1 1 a 0, 2 9 / 9
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