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1、1 中考复习6 二次根式的概念 知识考点: 数的开方是学习二次根式、一元二次方程的准备知识,二次根式是初中代数的重要基 础,应熟练掌握平方根的有关概念、求法以及二次根式的性质。 精典例题: 【例 1】填空题: ( 1) 2 3的平方根是;16的算术平方根是; 2 5 的算术平 方根是; 3 8的立方根是。 ( 2)若 2 2 是a的立方根,则a;若b的平方根是6,则b。 ( 3)若x21有意义,则x;若 3 2 1 x 有意义,则x。 ( 4)若0 2 mm,则m;若1331 2 aa,则a; 若 1 2 a a ,则a;若 1 11x有意义,则 x的取值范围是; ( 5)若 x2 有意义,则
2、 2 2x。 ( 6)若a 0,则aa 2 ;若b 0,化简bababa 32 。 答案:( 1)3,2, 5 1 , 3 2; (2) 4 2 ,6; (3)x 2 1 ,x2; ( 4)m0,a 3 1 ,a0,x 1 且x0; (5)x2; ( 6)a2,abab2 【例 2】选择题: 1、式子 1 3 1 3 x x x x 成立的条件是() A、x3 B、x1 C、1x3 D、1x3 2 2、下列等式不成立的是() A、aa 2 B、aa 2 C、 33 aaD、a a a 1 3、若x2,化简xx32 2 的正确结果是() A、 1 B、1 C、52xD、x25 4、式子 3 ax
3、(a0)化简的结果是() A、axxB、axxC、axxD、axx 答案: DDDA 【例 3】解答题: (1)已知5 1 a a,求 a a 1 的值。 (2)设m、n都是实数,且满足 2 244 22 m mm n,求mn的值。 分析:解决题(1)的问题,一般不需要将a的值求出,可将5 1 a a等式两 边同时平方,可求得3 1 a a,再求4 11 22 a a a a的值,开方即得所求代数 式的值;题(2)中,由被开方数是非负数得2m,但分母02m,故2m, 代入原等式求得n的值。 略解: ( 1)由5 1 a a得:7 1 a a,454 11 22 a a a a 故53 1 a
4、a ( 2) 02 04 04 2 2 m m m 解得2m, 2 1 n mn 1 探索与创新: 3 【问题一】 最简根式 yx yx 2 2 1 与 6 2 1 23 y yx能是同类根式吗?若能,求出x、 y的值;若不能,请说明理由。 分析: 二次根式的被开方数必须是非负数,否则根式无意义,不是同类二次根式。 略解: 假设他们是同类根式,则有: 23 6 2 1 2 2 1 yxyx yyx 解得 2 1 y x 把 2 1 y x 代入两根式皆为1无意义,故它们不能是同类根式。 【问题二】观察下面各式及其验证过程: ( 1) 3 2 2 3 2 2 验证: 3 2 2 12 2) 12
5、(2 12 2)22( 3 2 3 2 2 2 2 2 33 ( 2) 8 3 3 8 3 3 验证: 8 3 3 13 3)13(3 13 3)33( 8 3 8 3 3 2 2 2 33 ( 3)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想 15 4 4的变形结果并进行验 证; ( 4)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意自然数,且n2)表示的等式, 并给出证明。 分析: 本题是一道常见的探索性题型,通过从特殊到一船的归纳方法来观察和分析, 类比得出用n表示的等式: 11 22 n n n n n n 解答过程略。 跟踪训练: 一、填空题: 4 1、 2 21的平方根是; 81 49
6、 的算术平方根是; 3 216的立方根 是; 2、当a时,23a无意义; 3 2 2 x x 有意义的条件是。 3、如果a的平方根是2,那么a。 4、最简二次根式ba34与 1 62 b ba是同类二次根式,则a,b。 5、如果babbabba)(2 322 ,则a、b应满足。 6、把根号外的因式移到根号内:a3;当b0 时,x x b ; a a 1 1 ) 1(。 7、若04.0m,则 2 2mm。 8、若m0,化简: 332 2mmmm。 二、选择题: 1、如果一个数的平方根与它的立方根相同,那么这个数是() A、 1 B、0 C、1 D、0 和 1 2、在 3 16x、 3 2 、5.
7、 0、 x a 、 3 25中,最简二次根式的个数是() A、 1 B、2 C、3 D、4 3、下列说法正确的是() A、 0没有平方根B、 1 的平方根是1 C、4 的平方根是 2 D、 2 3的算术平方根是3 4、164的算术平方根是() A、 6 B、 6 C、6D、6 5、对于任意实数a,下列等式成立的是() A、aa 2 B、aa 2 C、aa 2 D、 24 aa 5 6、设7的小数部分为b,则)4(bb的值是() A、 1 B、是一个无理数C、3 D、无法确定 7、若 12 1 x,则12 2 xx的值是() A、2B、22C、2 D、12 8、如果 1a2,则212 2 aaa
8、的值是() A、a6B、a6C、aD、 1 9、二次根式: 2 9x;)(baba;12 2 aa; x 1 ;75.0中 最简二次根式是() A、B、C、D、只有 三、计算题: 1、 25 9 0121.0; 2、 22 1237; 3、 1 0 2 1 2023 25 1 。 四、若a、b为实数,且b222aa,化简:abb b 244 2 1 2 。 五、如果 13的小数部分是a, a 1 的小数部分是b,试求b的值。 六、已知 34 2 ba aA是2a的算术平方根, 923 2 ba bB是b2的立方根,求 A B 的n次方根的值。 七、已知正数a和b,有下列命题: (1)若2ba,
9、则ab1; (2)若3ba,则ab 2 3 ; (3)若6ba,则ab3; 6 根据以上三个命题所提供的规律猜想:若9ba,则ab。 八、由下列等式: 3 7 2 22 3 7 2 , 3 26 3 33 3 26 3 , 3 63 4 44 3 63 4 ,所提示的 规律,可得出一般的结论是。 九、阅读下面的解题过程,判断是否正确?若不正确,请写出正确的解答。 已知m为实数,化简: m mm 13 解:原式m m mmm 1 mm1 参考答案 一、填空题: 1、21, 3 7 , 3 6;2、 3 2 a,x2 且x 8;3、 16;4、1,1; 5、ab且b0;6、a9, x b 2 ,a1;7、0.12;8、m 二、选择题: BADCD ,CCDA 三、解答题: 1、 0.55; 2、35;3、553 四、a2,b2,原式 3 五、 4 113 b 六、a2,b3,A2,B 1; 当n为奇数时, AB 的n次方根为1;当n为偶数时, AB 的n次方根为 1; 七、 2 9 八、 3 3 1n n nn 3 3 1n n (n为大于 1 的自然数) 7 九、不正确,正确解答是:原式m m mmm 1 mm1
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