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1、6.平行四边形 按住 ctrl 键 点击查看更多中考数学资源 知识考点:理解并掌握平行四边形的判定和性质 精典例题: 【例 1】已知如图:在四边形ABCD 中, AB CD,AD BC,点 E、F 分别在 BC 和 AD 边上, AFCE,EF 和对角线 BD 相交于点O,求证:点O 是 BD 的中点。 分析:构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BODO 略证:连结BF、DE 在四边形ABCD 中, ABCD,AD BC 四边形ABCD 是平行四边形 AD BC,AD BC 又 AFCE FDBE,FDBE 四边形BEDF 是平行四边形 BODO,即点 O 是 BD 的中点。 【例 2】
2、已知如图:在四边形ABCD 中, E、F、G、H 分别 是 AB、BC、CD、DA 边上的中点,求证:四边形EFGH 是平行 四边形。 分析:欲证四边形EFGH 是平行四边形, 根据条件需从边上 着手分析,由E、F、G、H 分别是各边上的中点,可联想到三角 形的中位线定理,连结 AC 后,EF 和 GH 的关系就明确了,此题 也便得证。(证明略) 变式 1:顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。 变式 2:顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。 变式 3:顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。 变式 4:顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。 变式 5:若 AC BD ,AC
3、BD,则四边形EFGH 是正方形。 变式 6:在四边形ABCD中,若ABCD,E、F、G、H 分别为AD 、BC、BD 、AC 的中点,求证:EFGH 是菱形。 娈式 6 图 H G F E D CB A 娈式 7 图 N M Q PE D C BA 变式 7:如图:在四边形ABCD 中, E 为边 AB 上的一点, ADE 和 BCE 都是等边 三角形, P、 Q、 M、N 分别是 AB、BC、CD、DA 边上的中点,求证:四边形PQMN 是菱 形。 探索与创新: 【问题】已知如图,在ABC 中, C900,点 M 在 BC 上,且 BM AC ,点 N 在 例 1 图 O F E D CB
4、 A 例 2 图 H G F E D CB A AC 上,且 AN MC ,AM 和 BN 相交于 P,求 BPM 的度数。 分析:条件给出的是线段的等量关系,求的却是角的度数,为此,我们由条件中的直 角及相等的线段,可联想到构造等腰直角三角形,从而应该平移AN 。 略证:过M 作 MEAN ,且 MEAN ,连结 NE、 BE,则四边形AMEN 是平行四边 形,得 NEAM ,ME AN ,AC BC ME BC 在 BEM 和 AMC 中, ME CM, EMB MCA 90 0,BM AC BEM AMC BEAM NE, 1 2, 3 4, 1 3900 2 4 900,且 BENE
5、BEN 是等腰直角三角形 BNE45 0 AM NE BPM BNE 450 跟踪训练: 一、填空题: 1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5 和 7,则它的一条边长a的取值范围 是。 2、ABCD 的周长是30,AC、BD 相交于点O, OAB 的周长比 OBC 的周长大3, 则 AB。 3、已知ABCD 中, AB 2AD,对角线BD AD ,则 BCD 的度数是。 4、如图:在ABCD 中,AE BD 于 E, EAD 60 0,AE2,ACBD 16,则 BOC 的周长为。 第 4 题图 E O D CB A 第 5 题图 21 O F E D CB A 第 6、7 题图 F E
6、 D C B A 5、如图:ABCD 的对角线AC 、BD 相交于 O,EF 过点 O,且 EFBC 于 F, 1 30 0, 2450,OD 22,则 AC 的长为。 6、如图:过ABCD 的顶点 B 作高 BE、BF,已知 BF 4 5 BE,BC16,EBF 30 0, 则 AB。 7、如图所示,ABCD 的周长为30,AEBC 于点 E,AFCD 于点 F,且 AEAF 23, C1200,则平行四边形ABCD 的面积为。 二、选择题: 1、若ABCD 的周长为28, ABC 的周长为17cm,则 AC 的长为() A、11cm B、5.5cm C、 4cm D、3cm 2、如图,AB
7、CD 和EAFC 的顶点 D、 E、F、B 在同一条直线上,则下列关系中正确 的是() 探索与创新图 4 3 2 1 E P N M CB A A、DEBF B、DEBF C、DEBF D、DE FEBF 第 2 题图 E F D C B A 第 3 题图 M E D C BA 第 4 题图 E DC B A 3、如图,已知M 是ABCD 的 AB 边的中点, CM 交 BD 于 E,则图中阴影部分的面积与 ABCD 的面积之比是() A、 6 1 B、 4 1 C、 3 1 D、 12 5 4、如图,ABCD 中, BD CD, C 70 0,AEBD 于 E,则 DAE ( ) A、20
8、0 B、25 0 C、30 0 D、35 0 5、在给定的条件中,能作出平行四边形的是() A、以 60cm 为对角线, 20cm、34cm 为两条邻边 B、以 20cm、 36cm 为对角线, 22cm 为一条边 C、以 6cm 为一条对角线,3cm、10cm 为两条邻边 D、以 6cm、10cm 为对角线, 8cm 为一条边 6、如图,ABCD 中, E、F 分别是 AD 、BC 边上的中点,直线CE 交 BA 的延长线于G 点, 直线 DF 交 AB 的延长线于H 点, CG、 DH 交于点 O, 若ABCD 的面积为4, 则 OGH S () A、3.5 B、4 C、 4.5 D、5
9、第 6 题图 HG F E DC BA 第 7 题 图 O E D C B A 7、在ABCD 中, AB6,AD 8, B 是锐角,将 ACD 沿对角线AC 折叠,点D 落 在 ABC 所在平面内的点E 处,如果 AE 过 BC 的中点 O, 则ABCD 的面积等于 () A、48 B、610C、712D、224 三、解答题: 1、如图,在ABCD 中, AEBC 于 E, AFDC 于 F, ADC 60 0,BE 2,CF 1,连结 DE 交 AF 于点 P,求 EP的长。 第 1 题图 P F E D C B A 第 2 题图 H G F E D CB A 第 4 题图 F E D C
10、B A 2、在四边形ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点, 且 BE AE BF FC DG GC HD AH k(k0),阅读下列材料,然后回答下面的问题: 如上图,连结BD BE AE HD AH , BF FC DG GC EHBD ,FGBD 连结 AC ,则 EF 与 GH 是否一定平行,答:; 当k值为时,四边形EFGH 是平行四边形; 在的情形下,对角线AC 和 BD 只需满足条件时, EFGH 为矩形; 在的情形下,对角线AC 和 BD 只需满足条件时, EFGH 为菱形; 3、已知,在四边形ABCD 中,从 ABDC; AB DC; AD BC
11、; AD BC; A C; B D 中取出两个条件加以组合,能推出四边形ABCD 是平行四边形 的有哪几种情形?请你具体写出这些组合。 4、如图,在 ABC 中, ACB 90 0,D、F 分别为 AC、AB 的中点,点 E 在 BC 的延 长线上, CDE A。 (1)求证:四边形DECF 是平行四边形; (2)若 5 3 sin A,四边形 EBFD 的周长为22,求 DE 的长。 跟踪训练参考答案 一、填空题: 1、1a6;2、9; 3、60 0;4、 12;5、8;6、 5 64 或 12.8;7、327cm2; 二、选择题: DBCABCC 三、解答题: 1、提示:由 B ADC 60 0,BE2,AEBC 可得 AB4,再证 DFDCCF 3, AD 6,ECBCBE4DC,又 BCD120 0, EDC300,求得 APE EAP 60 0, AEP 为等边三角形, EPAE32。 2、是;任意正数;BD AC; AC BD 3、和;和;和;和;和;和;和;和;和 4、( 1)证 ECDF,EDCF;( 2)DE5
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