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1、基本初等函数 一 【要点精讲】 1指数与对数运算 (1)根式的概念: 定义:若一个数的n次方等于 ), 1(Nnna且,则这个数称a的n次方根。即若 ax n ,则x称a的n次方根)1Nnn且, 1)当n为奇数时,na的次方根记作 n a; 2)当n为偶数时,负数a没有n次方根,而正数a有两个n次方根且互为相反数,记作 )0(aa n 性质: 1)aa nn )(;2)当n为奇数时,aa nn ; 3)当n为偶数时, )0( )0( | aa aa aa n 。 (2) 幂的有关概念 规定: 1)naaaa n (N *;2) )0( 1 0 aa; n个 3)p a a p p ( 1 Q
2、,4)maaa nm n m , 0(、nN * 且)1n 性质: 1)raaaa srsr , 0( 、sQ) ; 2)raaa srsr , 0()( 、s Q) ; 3)rbababa rrr ,0, 0()( Q) 。 (注)上述性质对r 、sR均适用。 (3) 对数的概念 定义:如果) 1,0(aaa且的b次幂等于N,就是Na b ,那么数b称以a为底 N 的对数,记作,logbN a 其中a称对数的底, N称真数 1)以 10 为底的对数称常用对数,N 10 log记作Nlg; 2)以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数,N e log,记作Nln; 基本性质: 1)真
3、数 N为正数(负数和零无对数); 2)01loga; 3) 1log a a ;4)对数恒等式:Na N a log 。 运算性质:如果,0,0,0,0NMaa则 1) NMMN aaa loglog)(log; 2)NM N M aaa logloglog; 3)nMnM a n a (loglogR) 换底公式:),0, 1,0, 0, 0( log log logNmmaa a N N m m a 1)1loglogab ba ;2)b m n b a n am loglog 。 2指数函数与对数函数 (1)指数函数: 定义:函数) 1,0(aaay x 且称指数函数, 1)函数的定义域
4、为R;2)函数的值域为),0(; 3)当10a时函数为减函数,当1a时函数为增函数。 函数图像: 1)指数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、二象限; 2)指数函数都以 x轴为渐近线(当 10a时,图象向左无限接近 x轴,当 1a时, 图象向右无限接近x轴) ; 3)对于相同的) 1,0(aaa且,函数 xx ayay与的图象关于y轴对称 函数值的变化特征: 10a1a 100yx时 , 10yx时 , 10yx时 10yx时 , 10yx时 , 100yx时 , (2)对数函数: 定义:函数)1, 0(logaaxy a 且称对数函数, 1)函数的定义域为),0(;2)函数的值域
5、为R; 3)当10a时函数为减函数,当1a时函数为增函数; 4)对数函数xy a log与指数函数)1,0(aaay x 且互为反函数 函数图像: 1)对数函数的图象都经过点(0,1) ,且图象都在第一、四象限; 2)对数函数都以y轴为渐近线(当10a时,图象向上无限接近y轴;当1a时, 图象向下无限接近y轴) ; 4)对于相同的) 1,0(aaa且,函数 xyxy a a1 loglog与的图象关于x轴对称。 函数值的变化特征: (3)幂函数 1)掌握 5 个幂函数的图像特点 2)a0 时,幂函数在第一象限内恒为增函数,a0时过( 0, 0) 4)幂函数一定不经过第四象限 10a1a 01y
6、x时 , 01yx时 , 010yx时 . 01yx时 , 01yx时 , 100yx时 . 四 【典例解析】 题型 1:指数运算 例 1 (1)计算: 25.0 2 1 2 1 3 2 5 .0 3 2 0625.0)32.0()02.0()008.0() 9 4 5() 8 3 3( ; (2)化简: 53 323 3 2 3 2 33 2 3 1 3 4 ) 2 ( 24 8 aa aa a b a aabb baa 。 解: (1)原式 = 4 1 3 2 2 1 3 2 ) 10000 625 ( 10 24 50) 8 1000 () 9 49 () 27 8 ( 9 2 2)2
7、9 17 ( 2 1 10 24 25 1 25 3 7 9 4 ; (2)原式 = 5 1 3 1 2 1 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 )( )(2 )2()2()( )2()( aa aa a ba bbaa baa 2 3 2 3 1 6 1 6 5 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 )2(aaaa a a ba a baa。 点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的 运算性质求解, 对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指数幂运算时, 化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序。 例 2 (1)已知 11 22 3xx,求 22 33 22 2 3 xx xx 的值 解: 11 22 3xx, 11 2 22 ()9xx, 1 29xx, 1 7xx, 12 ()49xx, 22 47xx, 又 3311 1 2222 () (1)3 (71)18xxxxxx,
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