几何综合问题选讲.pdf
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1、1 几何综合问题选讲2009.4 铁二中尹嵘 一、关于向量的应用: 向量具备的数形结合的特征,一方面使得它在处理几何的形方面的:平行、共线、垂直、夹角、距离、 判断多边形形状等方面,既可以从几何意义入手,又可以从坐标运算入手;另一方面 ,也可以发掘代数问题的 几何背景 ,转化为向量问题来处理. 要掌握的必备知识点有: 1.在处理平面几何问题时,要善于利用平面向量基本定理,把平面内的所有向量都用两个不共线的向量 ba,来表示 ,从而转化为ba,的运算 ;若能建系 ,则将相关点坐标化,转化为向量的坐标运算,即化” 形” 为” 数” ; 2.在几何问题中,利用平行四边形法则和三角形法则及向量共线定理
2、等熟练掌握向量的分解组合; 3.熟练掌握关于平行、共线、垂直、夹角、模等的向量关系的非坐标和坐标表述. 4.点、图像的按向量平移. 例 1.(08 北京理 10)已知向量a与b的夹角为120,且4ab,那么)2(bab的值为 _答案:0 例 2.(08 北京理 4)已知O是ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2OAOBOC0,那么 () AOOD 2AOOD3AOOD2AOOD答案: A 例 3. (06 江苏 6)已知两点M( 2,0) 、N (2,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足| |MNMPMNNP 0,则动点P(x,y)的轨迹方程为 (A)xy8 2 (B)xy8 2 (C
3、)xy4 2 (D)xy4 2 答案 : B 简析 :可直接用坐标形式化简即得答案,或用数量积公式的非坐标形式导出抛物线定义. 例 4.若向量._,/),)(cos,(sin),1 ,3(的最小值则且mbaRmba 答案: -2 二、解析几何综合问题: (一)必备的基础知识点: 圆锥曲线的定义应用和标准方程的探求几何性质: 离心率问题 焦点三角形问题 2 直线与圆锥曲线 位置关系问题 弦长问题:含焦点弦的转化 弦的中点问题 对称问题:如圆锥曲线上存在关于某直线对称的两点 (二)常见的解题方法和技巧: 决弦的中点问题。求解:如代点作差,解设点代入,构建方程组 判别式和韦达定理二次方程的 常用到“
4、设而不求” (三)数学思想方法:数形结合的思想方程和函数的思想分类讨论的思想 例 5.(分类讨论和转化:2004 江苏卷 21)已知椭圆的中心在原点,离心率为 1 2 ,一个焦点是F(-m,0 )(m 是大于 0 的常数 ). ( ) 求椭圆的方程; () 设 Q是椭圆上的一点,且过点 F、Q的直线l与 y 轴交于点M. 若QFMQ2, 求直线l的斜率 . 答案: ( ) 1 34 2 2 2 2 m y m x ; (2)分类讨论转化为定比分点:2,MQQF时解出 Q 点坐标代入椭圆方 程,得 2 6;k 同理 2,MQQF当时0.k 故直线l的斜率是0, 62 . (四)综合问题的几种常规
5、类型: 1圆锥曲线的定义和标准方程、几何性质: 对于圆锥曲线的方程探求,把握好待定系数法和轨迹法,对于定义要注意正、逆两方面的应用,准 确理解基本量,会用a、b、c 来表示,特别关注离心率的求法,关注平面几何性质和利用定义的简化解题 功能。 例 6.(2008 重庆卷 21) 如图( 21) ,M(-2 ,0)和N(2,0)是平面上的两点,动 点P满足:6.PMPN ()求点P的轨迹方程; ()若 2 1cos PMPN MPN , 求点P的坐标 . 答案 : () 22 1. 95 xy ( 定义法 ) ( ) 3 353 353 353 35 (,) 22222222 、(,-)、( -,
6、)或(,-).说明 : 关于焦点三角形, 常结合 : 圆锥曲线的第一定义和三角形的余弦定理求解. 题中由此推导出: 3 12)( 2 PNPM, 满足双曲线定义, 故点 P也在双曲线上,联立椭圆方程可求解. 例 7. (2008 湖南卷 12)已知椭圆 22 22 1 xy ab (ab 0)的右焦点为F,右准线为l, 离心率e= 5 . 5 过顶 点A(0,b)作 AMl, 垂足为 M ,则直线FM的斜率等于 . 答案 : 1 2 例 8. (2008 江西卷 7)已知 1 F、 2 F是椭圆的两个焦点,满足 12 0MFMF 的点M总在椭圆内部,则椭 圆离心率的取值范围是() A(0,1)
7、 B 1 (0, 2 C 2 (0,) 2 D 2 ,1) 2 答案: C 例 9. (2007 海南宁夏卷13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲 线的离心率为答案 :3 说明 :作出图 ,数形结合利用相似一举可得. 2关于轨迹问题、直线和圆锥曲线: 关于动点轨迹方程的求法,把握好常见方法:(1)直接法;(2)定义法;(3)相关点法;( 4)参数法。 北京卷在轨迹方程方面:05 年考察了直接法、06、07、08 年均考察了定义法,考察对圆锥曲线定义的灵 活准确的理解。 例 10.已知两定点 2 (2, 0),(2, 0) 1 FF,满足条件212PFPF 点
8、 P 的轨迹是曲线E, 直线1ykx与 曲线 E 交于 A、B 两点, 如果 |AB|=6 3,且在曲线E 上存在点C,使,OA OBm O C求 m 的值和ABC 的面积 S。 答案: m=4,S=3简析:(1)注意到所求的曲线E 是双曲线的左支,不是完整的双曲线,这在06、07 北京卷的解析答题中均有体现,突出对定义理解的准确性;(2)直线与双曲线一支相交于两点,通法是将 他们的方程联立消参后转化为一元二次方程的根的分布问题,利用判别式、韦达定理来求解,体现出的是 方程的思想;( 3)在曲线上存在一点,常利用点在线上带入曲线方程求解或转化。如题中:可设 1122 (,),(,),(,),
9、cc A x yB xyC xy则由 ,OAOBmOC得 1122 (,)(,)(,), cc x yxym xy故 1212 , cc xxyy xy mm 结 合 韦 达 定 理 , 将 4 58 (,)C mm 代入双曲线方程即可求得m=4。 例 11.( 2008 年北京市西城二模19)已知抛物线的方程为 2 2xpy,F 是抛物线的焦点,过点F 的直线l与 抛物线相交于A、B 两点,分别过点A、B 作抛物线的两条切线 1 l 和 2 l ,记 1 l 和 2 l 相交于点M。 ()证明: 1 l 2 l ; 4 ()求点M 的轨迹方程。 答案:() y=-1/2 3最值问题:多以函数
10、的思想,通过构建目标函数,求出目标最值。常见类型有:二次函数在给定区间 上的最值、均值不等式、导数法,注意不要忽视函数的自变量的取值范围的讨论。 例 12.双曲线 C 以 230xy 为渐近线且过A(3,2) (1)求双曲线C 的方程; (2) 已知动点 P 与曲线 C 的两个焦点所连的线段长的和为定长,且和这两条线段夹角的余弦最小值为-1/9, 求动点 P的轨迹方程; (3)在 x 轴的正半轴上是否存在一点Q,使得 Q 与 P的轨迹方程上的点的最短距离为1?若存在, 求出 Q 点的坐标;若不存在,说明理由。 答案: (1) 22 1 32 xy (利用共渐近线的双曲线系方程做); (2) 2
11、2 1 94 xy (利用余弦定理和均值不等 式求得 P点位于短轴端点时, 12 cos F PF有最小值); (3)设Q(a,0)(a0) ,P(x,y)是轨迹上的任一点,则 22 1 94 xy 。 2 5 22222 ()()4(1)24 3,3 99 3,3 x PQxayxaxaxax所以转化为在 的最值问题。由于对称轴x=的关系不确定,注意分类讨论。 9a 与 5 同理: ( 2008 年北京卷理19)已知菱形ABCD的顶点AC,在椭圆 22 34xy上,对角线BD所在直线 的斜率为1 ()当直线BD过点(0 1),时,求直线AC的方程; ()当60ABC时,求菱形ABCD面积的最
12、大值 答案:()20xy; (2)4 3.第二问:在设出直线AC的方程为yxn后关注菱形的的平 面几何特征,利用弦长公式将菱形ABCD面积转化为二次函数:( )Sf n最值( 4 34 3 33 n,由 2 12640n解得) (几何问题,要有几何意识) 例 13.(2008 年西城 1 月期末) 设点 3 0, 2 F ,动圆P经过点F且和直线 3 2 y相切 . 记动圆的圆心P 5 的轨迹为曲线W. ()求曲线W的方程; ()过点F作互相垂直的直线 12 ,l l,分别交曲线W于,A B和,C D. 求四边形ACBD面积的最小值 . ()解:定义法可求出,抛物线W的方程是 2 6 .xy
13、()解:依题意,直线 12 ,ll的斜率存在且不为 0 , 设直线 1 l的方程为 3 2 ykx, 由 12 ll得 2 l的方程为 13 2 yx k . 将 3 2 ykx代入 2 6xy,化简得 2 690xkx. 设 1122 ()()A xyB xy,则 1212 69.xxkx x, 22222 12121212 |()()(1)()46(1)ABxxyykxxx xk, 同理可得 2 1 | 61 .CD k 四边形ACBD的面积 22 22 111 | | 18(1)118272 2 SABCDkk kk , 当且仅当 2 2 1 k k ,即 1k 时, min 72.S故
14、四边形ACBD面积的最小值是72. 说明:与焦点三角形相似,焦点四边形(即圆锥曲线的内接四边形的对角线经过圆锥曲线的焦点)是近几 年高考中频频出现,这类问题往往将考察圆锥曲线的性质与最值结合起来,考察学生的综合运用知识的能 力。如 05、07 的全国高考试题中均有出现,其最值的求法依然转化为目标函数最值。 4定值问题: 在几何问题中,有些问题与参数无关,这就构成了定值问题,这类问题常通过取参数和特殊值来确定 “定值”是多少;或将该问题涉及到的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的。 例 14.(2007 重庆卷文21)如图,倾斜角为a 的直线经过抛物线xy8 2 的焦点 F,且与抛物线交
15、于A、 B 两点。 题( 21)图 x y O A BC D 6 ()求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程; ()若a 为锐角,作线段AB 的垂直平分线m 交 x 轴于点 P,证明 |FP|-|FP|cos2 a 为定值,并求此定 值。 答案: ()(2, 0) ,2x; ()解:设),( AA yxA,),( BB yxB,直线AB 的斜率为aktan,则 直线方程为)2( xky。将此式代入xy8 2 ,得04)2(4 2222 kxkxk,故 2 2 )2( k kk xx BA 。记 直线 m 与 AB 的交点为),( EE yxE,则 2 2 )2(2 2 k kxx x BA
16、E , k xky EE 4 )2(, 故直线 m 的方程为 2 2 4214 k k x kk y. 令 y=0,得 P 的横坐标4 42 2 2 k k xP故 ak k xFP P 22 2 sin 4) 1(4 2|。 从而8 sin sin24 )2cos1( sin 4 2cos| 2 2 2 a a a a aFPFP为定值。 例 15.(2007 山东卷理21)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最 大值为3,最小值为1 ()求椭圆C的标准方程; ()若直线: lykxm与椭圆C相交于A,B两点(AB,不是左右顶点) ,且以AB为直径的圆过 椭圆C
17、的右顶点,求证:直线 l过定点,并求出该定点的坐标 答 案 : ( ) 22 1 43 xy ;( ) 定 点 为 2 (, 0). 7 简 析 :以AB为 直 径 的 圆 过 椭 圆 的 右 顶 点 (2,0),D1 ADBD kk, 12 12 1 22 yy xx , 121212 2()40y yx xxx,由韦达定理,得出m 与 k 的关系 12 2 2 , 7 k mk m ,在满足判别式大于0 的前提下,代入直线方程,整理为点斜式或斜截 式,可求出直线过的定点。 例 16.(2007 湖南理 20)已知双曲线 22 2xy的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,过点 2 F的动直线
18、与双曲线 相交于AB,两点 (I)若动点 M 满足 1111 FMF AF BFO(其中 O为坐标原点) ,求点M 的轨迹方程; 7 ( II)在x轴上是否存在定点C,使CACB为常数?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理 由 解:由条件知 1( 2 0) F, 2(2 0) F,设 11 ()A xy, 22 ()B xy, 解法一:(I)设()M xy,则则 1 (2)FMxy , 111 (2)F Axy , 1221 (2)(2 0)F BxyFO ,由 1111 FMF AF BFO得 12 12 26xxx yyy , 即 12 12 4xxx yyy , 于是AB的中点坐标
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