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1、习题 1.2: 1 .写出四阶行列式中 11121314 21222324 31323334 41424344 aaaa aaaa aaaa aaaa 含有因子 1123 a a的项 解:由行列式的定义可知,第三行只能从 32 a、 34 a中选,第四行只能从 42 a、 44 a中选,所 以所有的组合只有 1324 1 11233244 a a a a或 1342 1 11233442 a a a a,即含有因子 1123 a a的项 为 11233244 a a a a和 11233442 a a a a 2. 用行列式的定义证明 1112131415 2122232425 3132 41
2、42 5152 000 000 000 aaaaa aaaaa aa aa aa =0 证明:第五行只有取 51 a、 52 a整个因式才能有可能不为0,同理,第四行取 41 a、 42 a,第三 行取 31 a、 32 a,由于每一列只能取一个,则在第三第四第五行中,必有一行只能取0.以第 五行为参考,含有 51 a的因式必含有0,同理,含有 52 a的因式也必含有0。故所有因式都为 0.原命题得证 .。 3.求下列行列式的值: (1) 0100 0020 ; 0001 000 n n (2) 0010 0200 1000 000 n n ; 解: (1) 0100 0020 0001 00
3、0 n n = 2341 1 n 1 23n= 1 1! n n (2) 0010 0200 1000 000 n n = 1221 1 nnn 123n= 12 2 1! nn n 4.设 n 阶行列式: A= 111 1 n nnn aa aa ,B= 11 11121 2 21222 12 12 n n n n nn nnnn aa ba b a baa b a ba ba ,其中0b,试 证明: A=B 。 证明: B= 11 11121 2 21222 12 12 n n n n nn nnnn aa ba b a baa b a ba ba = 1 2 12 12 1 2 12 1
4、2 1 n n n n s ss snss sss n s ssn a babab ! = 1 2 12 12 1 2 12 12 1() n n n n s ss snss sss n s ssn a aabbb ! = 1 2 12 12 1 2 (1) (2)() 12 1 n n n n s ss sssn sss n s ssn a aab ! = 1 2 12 1 2 12 1 n n n s ss sss n s ssn aaa ! =A 命题得证。 5.证明:如下2007 阶行列式不等于0: D= 2222 3333 2007200720072007 1220062007 23
5、20072008 3420082008 2007200820082008 ; 证明: 最后一行元素,除去 2007 2007是奇数以外, 其余都是偶数, 故含 2007 2008的因式也都 是偶数。若最后一行取 2007 2007,则倒数第二行只有取 2006 2007才有可能最后乘积为奇数, 以此类推,只有次对角线上的元素的积为奇数,其余项的积都为偶数。故原命题得证。 习题 1.3 1 求下列行列式的值: (1) 3111 1311 1131 1113 ; (2) 0111 1011 1101 1110 ;(3.)A= +c 232432 36310 +6b 3 abcd aa ba b c
6、a bd aa bab cabc d aa bab cac d , 解: (1) 3111 1311 1131 1113 34 23 12 3111 2200 0220 0022 43 32 21 cc cc cc 6321 0200 0020 0002 =48 ; (2) 0111 1011 1101 1110 34 23 12 0111 1100 0110 0011 43 32 21 cc cc cc 3321 0100 0010 0001 =3; (3.).A= +c 232432 36310 +6b 3 abcd aa ba b ca bd aa bab cabc d aa bab c
7、ac d , +c 232432 36310 +6b3 abcd aababcabd aababcabcd aababcacd = 0 232432 36310 +63 acd aaabcabcd aaabcabcd aaabcabcd + = 32432 6310 +63 a bcd a ba b ca b c d a bab cabc d a bab cabc d 00 232432 36310 +63 ad aaababcd aaababcd aaababcd 0000 += 2432232432 310 +6336310 +63 acda aacabcdaaababc aacabcda
8、aababc aacabcdaaababc 00000000 +=+= 2322343222432 3633610 +633310 +63 adaa aaabdaaaabcaababc aaabdaaaabcaababc aaabdaaaabcaababc 000000000000 += 2343232234233 3610 +63633610366 aaaa aaaabaaacaaaaaaab aaaabaaacaaaaaaab aaaabaaacaaaaaaab 2 4 3243 1 + 6 22 + 35 000 000 000 11 1100 00 26 26 234343 2340
9、5553610 3610 3610 a a a aa aaaaaa aaaa aaaaaaa aaaa aaaa aaaa 4 13 10 65 aaaaa 2.求下列 n 阶行列式的值: (1) 2 12 122 21223 1112 n nnn nnn nnnnn ; (2) 3222 2322 2232 2223 ; (3) 123 103 120 1230 n n n; (4) 123 113 121 1231 n xn xn x 解: (1) n D= 2 12 122 21223 1112 n nnn nnn nnnnn ; (1)若 n=1;则 n D=1; (2)若 n=2;则 n D= 12 34 =2; (3)若 3n,则 n D= 2 12 122 21223 1112 n nnn nnn nnnnn 23 12 2 12 1112 n nnn nnn nnnnn =0; 综上: n D= 11 22 03 n n n (2) 3222 2322 2232 2223 1ii 其中, i 先后取 n,n-1,2 3222 1100 0110 00011 1ii cc i 依次取 n,n-12 32122222 0100 0010 0 00001 nn =2n+1; (3)
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